2023-2024学年山东省青岛一中高一（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛一中高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.在正六边形中，( )
A. B. C. D.
3.平面向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，设向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
5.若将的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知圆的半径为，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点在同一个平面内，在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为米．
A. B. C. D.
8.如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是( )
A.
B. 若，则的最大值为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 若是关于的方程的一个根，则
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则一定是钝角三角形
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上含端点，连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，均为单位向量，且满足，则 ______．
13.已知点是边长为的正内一点，且，若，则的最小值为______．
14.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式其中、、、为三角形的三边和面积表示在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，其中，．
求与；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且．
求角；
求的取值范围．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，．
若四边形是平行四边形，求点的坐标；
若点，，三点共线，且，求的值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为；
已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
求内角的角平分线长的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．
如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值；
若角的终与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、求证：线段、、能构成一个三角形；
探究第小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得：，
所以，即．
故选：．
先求出，然后再求．
本题考查复数的模长的计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由正六边形的性质可知，、互为相反向量，
所以，．
故选：．
利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向量．
本题考查平面向量的线性运算、正六边形的几何性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
，
则，即，解得，
故在上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
故选：．
由向量平行的坐标表示可得，再由余弦定理计算即可．
本题考查向量平行的坐标表示和余弦定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
由关于轴对称，则，，
可得，，又，所以，
即，
当时，，
所以当时，即时，
此时有最小值故C正确．
故选：．
利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果．
本题主要考查了三角函数图象的变换，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，如图所示：
所以，
因为，所以的最小值为，最大值为；
所以，的最小值为，最大值为，
所以的取值范围是
故选：．
取的中点，连接，，计算，求出，得出的最小值和最大值，即可得出的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：在中，，
则，
，
因为，且，
则，
在中，则
故选：．
在中，利用正弦定理求，进而在中，求山的高度．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，
，
当且仅当、、共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为．
故选：．
连接，可知为的中点，计算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值．
本题主要考查两向量和的模的最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，设，则，，，A错误；
对于，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，B正确；
对于，，则复平面内对应的点位于第二象限，C正确；
对于，依题意，，整理得，
而，，因此，解得，，D错误．
故选：．
设出复数的代数形式计算判断；利用复数的几何意义判断；求出复数判断；利用复数相等求出判断．
本题考查复数的模长的应用，考查复数的几何意义，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，则由余弦定理得：，所以角为钝角，故A正确；
对于，在，，，，由三角形全等的“边角边”可知，三角形是唯一的，所以只有唯一解，
故B错误；
对于，因为，即由余弦定理得：，所以，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于，若为锐角三角形，所以，所以，则，故D正确．
故选：．
对于，利用余弦定理分析判断，对于，利用三角形全等的判定定理：边角边即可判定，对于，利用余弦定理统一成边形式化简判断，对于，利用正弦单调性计算判断．
本题考查利用正、余弦解三角形，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，则，
由可得，，
对于，若，则，解得负值舍去，故，故A错误；
对于，若，则，则，所以，故B正确；
对于，，
由于，故，故，所以，故C错误；
对于，由于，，
，
而，所以，所以，故D正确．
故选：．
作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，，根据可判断；利用向量数量积的坐标表示可判断；转化为三角函数求值域可判断；利用向量数量积的坐标表示转化为三角函数可判断．
本题考查向量与三角函数的综合应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，均为单位向量，
所以，即，
则，
，
所以．
故答案为：．
先求，再利用向量夹角公式可得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
则点、、，
设点，，，，
且，
则，可得，
由于点在正内，则，可得，则，
可得，，
，
所以当时，取最小值．
故答案为：．
取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
由题意，
令，则，
当，即时，取到最大值．
故答案为：，
先根据求出，结合三角形的面积公式和二次函数可得答案．
本题考查三角形的面积公式和二次函数的最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为，，
所以，，
所以，
所以；
与的夹角的余弦值为：
，．
【解析】根据平面向量的坐标运算求出、，再计算数量积与模长；
根据平面向量的坐标运算求两向量的夹角余弦值．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．
16.【答案】解：因为，
所以，即，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
可得；
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，整理得，
因为，
所以，
所以，可得的取值范围是．
【解析】本题考查了解三角形，考查了三角恒等变换，考查了利用三角函数性质求解范围问题，考查了函数思想的应用，属于中档题．
利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值；
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可求，进而利用正弦函数的性质即可求解．
17.【答案】解：如图：
设点坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以点坐标为；
因为点，，三点共线，且，
所以或，
当时，，
则，
当时，，
即，
综上，的值为或．
【解析】根据向量相等，求点的坐标；
点，，三点共线，且，可能有或，分别求出对应的坐标，再求的值．
本题考查了平面向量线性运算及数量积运算，属中档题．
18.【答案】解：由正弦定理得，即，
由余弦定理有，又，
所以；
由知，又的面积为，
则，解得，
也，
则
，
当且仅当时，等号取得到，
所以；
由题，，
所以，
因为，所以，
所以，
又，，
故，
由基本不等式，当且仅当时，等号取得到，
故，
故，所以．
【解析】由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值．
本题考查了向量运算和正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得，，
，均为锐角，，，
则；
证明：，，
，均为锐角，，
，，，
，
，
，
，同理，
，，能构成一个三角形．
解：三角形的外接圆的面积是定值，
证明如下：设中的三角形为中，角，，所对的边长为，，，
由余弦定理可得，
，
，，，
，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理可得，，，
外接圆的面积．
【解析】利用任意角的三角函数的定义，再结合两角和的余弦公式，计算即可；
要证明，，能构成一个三角形，只需证明任何两边之和大于第三边即可；
设线段，，构成的三角形为，利用余弦定理求出，从而求出，再利用正弦定理求出三角形外接圆的半径即可．
本题考查了三角函数的定义、两角和与差的正弦，余弦公式、正弦定理，余弦定理在求解三角形中的运用，属于中档题．
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