贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷（含解析）

贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10次，投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8.则这组数据的众数和中位数分别为( )
A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7
2．设集合，，则( )
A. B. C. D.
3．设，分别为椭圆C：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A，B两点，则的周长为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
4．设为等差数列的前n项和，若，公差，，则( )
A.8 B.7 C.6 D.5
5．已知，，，则( )
A.6 B.7 C. D.
6．已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
7．现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知实数x，y满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知i是虚数单位，z是复数，则下列说法正确的是( )
A. B.的虚部是
C. D.对应的点在第一象限
10．同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有( )
A. B. C. D.
11．已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是( )
A. B.0是的极值点
C.在上单调递增 D.的最小值为0
三、填空题
12．已知，.则______.
13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何？”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有______斛.
14．已知函数在上仅有两个零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
15．从4名男生和2名女生中任选3人参加中国凉都半程马拉松比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
16．如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求a的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切.
（1）求m的值；
（2）已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
19．若数列和的项数均为m，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为m.若，，数列和的距离，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
参考答案
1．答案：D
解析：数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D.
2．答案：A
解析：根据题意，，
则.
故选：A.
3．答案：C
解析：根据题意，椭圆中，
根据椭圆定义，的周长为
.
故选：C
4．答案：D
解析：由，公差，得，从而，所以，解得
故选D.
5．答案：B
解析：由题意可知：，
则，
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意可知：，且，，
又因为，，可得，，
所以，
若，即，
所以.
故选：B.
7．答案：C
解析：设事件“选中第一袋”，事件“选中第二袋”，事件“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各一份”，
则，且，，，
所以.
故选：C.
8．答案：C
解析：由，得
当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）；
当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为，没有意义，不表示任何图形.
作出的图形，如图，
设点为曲线上的一个动点，
则A到直线的距离为，
由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时，
即时，，达到最小值；
又双曲线、的一条渐近线方程为，
所以d小于直线与的距离，而这两直线的距离为，
故，解得，
即的取值范围为.
故选：C
9．答案：BCD
解析：对于选项A：，故A错误；
对于选项B：因为，
所以的虚部是，故B正确；
对于选项C：设，，则，，
所以，故C正确；
对于选项D：对应的点的坐标为，位于第一象限，故D正确；
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：对于A，是偶函数，且最大值为，满足条件，故A正确；
对于B，最大值为1，不满足条件②，故B错误；
对于C，无最大值，故C错误；
对于D，是偶函数，且最大值为，满足条件，故D正确.
故选：AD
11．答案：ABC
解析：由，
则，
令，易得，是单调递增函数且是奇函数，
由上可得，
，则，故A正确；
，
由恒成立，
所以时，，则单调递减，
时，，则单调递增，
且0是的极值小点，，
所以最小值为，故BC正确，D错误.
12．答案：
解析：根据题意，，
所以.
故答案为：
13．答案：10
解析：设圆锥的底面半径为r尺，则，解得，
所以圆锥的体积为立方尺，
所以堆放的米约有斛.
故答案为：10
14．答案：
解析：设函数，的图象的公切点，
在上仅有两个零点即在上仅有两个根，
即与的图象仅有两个交点.
即点A同时在函数，图象上，在点A处的切线斜率相等，
就有，，
则，有，
函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点，
实数a的取值范围介于当或者1时，
即
15．答案：（1）分布列见解析；
（2）1；
（3）
解析：（1）可能取的值为0，1，2
，.
所以，的分布列为
0 1 2
P
（参考新教材不列表不扣分，但是离散型随机变量的每一个取值和对应的概率要写出必要的步骤）
（2）由（1），的数学期望为（人）（无单位不扣分）
（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：由已知的中点为M，连接交于点O，连接，因为，
得点E是CM的中点，O是AC的中点
（2）解法一：以D为坐标原点，射线为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，.
故，.
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
解法二：由已知，，，
记平面与平面的夹角为
利用射影面积法可得
17．答案：（1）1；
（2）
解析：（1）当时.
.
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2），
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即a的取值范围是
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
19．答案：（1）7；
（2）3469；
（3）证明见解析；
解析：（1）解析：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解析：设，其中且
由，得，，，
所以，，….
因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4
所以数列中，，，，，，
数列中，，，，
因为，
所以项数m越大，数列和的距离越大
因为，
而，又因为
因此，当，
.
故m的最大值为3469
（3）假设T中的元素个数大于或等于17.
因为数列中，或1
所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的，，.
设这3个元素分别为：，，，，，，；
：，，，，，，；
：，，，，，，，
其中，，
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在与中，至少有3个成立
不妨设，，.
由题意得，中一个等于0，另一个等于1.
又因为或1，所以和中必有一个成立.
同理得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
所以“中至少有两个成立”和“中至少有两个成立”中必有一个成立.故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以T中的元素个数小于或等于16.