湖南省衡阳市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

衡阳市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
4．设定义在上的函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
6．衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
7．已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.函数的最大值为-4
B.关于x的不等式的解集是，则
C.若正实数a，b满足，则的最小值为
D.若函数在区间单调递减，则实数m的取值范围是
10．已知函数为奇函数，且，当时，，则( )
A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称
C.的最小正周期为2 D.
11．关于函数，下列说法正确的是( )
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正整数k，使得恒成立
D.对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题
12．的单调递减区间为______.
13．已知函数，则______.
14．已知，函数恒成立，则a的最大值为______.
四、解答题
15．已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时x的取值集合.
16．记等差数列的前n项和为，已知，且.
(1)求；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在三棱锥中，E为BC的中点，O为DE的中点，，，都是正三角形.
(1)求证：平面BCD；
(2)求二面角的正弦值.
18．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点M，N，其中，
证明：直线MN过定点，并求出定点坐标；
19．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由，得，故，
由得，得，故，
所以D.
2．答案：A
解析：由题意可知，不等式在R上有解，
，解得，
实数m的取值范围是.
故选：A.
3．答案：B
解析：解法一：由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选：B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选：B.
4．答案：B
解析：对于，有，
故选：B
5．答案：C
解析：因为，，，
观察a，c的式子结构，构造函数，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，所以，即，
所以，即，即；
又，所以，即；
综上，.
故选：C.
6．答案：D
解析：由题意可设比例系数为k，所以，，
，，
当时，，
故选：D
7．答案：C
解析：因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
8．答案：B
解析：设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则m的取值范围是：.
故选：B.
9．答案：AB
解析：对于A：因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
即函数y的最大值为-4，故A正确；
对于B：关于x的不等式的解集是，
可得-1，2为关于x的方程的解，所以，即，故B正确；
对于C：因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
又在上单调递减，当时，，
所以，即，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：若函数在区间单调递减，
，解得，故D不正确.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：对A：因为为偶函数，则，
即，所以是奇函数，
所以的图象关于点对称，故A；
对B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对C：因为，，
则，则，
所以的最小正周期为4，故C错误；
对D：因为当时，，所以，，
因为的图象既关于点对称，又关于直线对称，
所以，，
因为的最小正周期为4，
所以，所以，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：对于A，定义域为，，
时，，时，，是的极小值点，A错误；
对于B，令，，
在上递减，，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，，
令，，时，，时，，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又，所以，即成立，D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：复合函数可以分为：外部函数与内部函数，
因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间，
易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为，故答案为：.
13．答案：
解析：
14．答案：1
解析：当a为正偶数时，当时，，显然不符合题意;
当a为正奇数时，则当时，恒成立，因此只需研究时，恒成立即可，当时，成立，
则当时，，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值
，
要使时，恒成立，则,
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，综上所述，a的最大值为1.
故答案为：1.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）
.
所以的最小正周期.
（2），则函数最大值为0.
当取得最大值时，，，即，.
所以的最大值为0，取得最大值时x的取值集合为.
16．答案：（1）；（2）
解析：（1）；
（2）由，可得恒成立.
设，则，
当，即，2时，，，
当，即时，，，
所以…，故，所以，
即实数的取值范围为.
17．答案：(1)证明见解析；(2)
解析：（1）因为是正三角形，O为DE的中点，所以.
因为，都是正三角形，E为BC的中点，所以，，
因为，AE，平面AED，所以平面AED，因为平面AED，
所以.因为，BC，平面BCD，所以平面BCD.
（2）以O为坐标原点，直线OE为x轴，过点O且与BC平行的直线为y轴，直线OA为z轴建立的空间直角坐标系如图所示：
设，则，，，，
所以，，.
设平面ABD的法向量为，则
，即，取，得，，
所以.
设平面ABC的法向量为，
则，即，取，得，，
所以.
设二面角的平面角为，则
，
所以二面角的正弦值.
18．答案：(1)；(2)①证明见解析，；②.
解析：（1）长轴长为4，，椭圆上的点到点的最大距离为，
，，，椭圆C的方程为：.
（2）①证明：由（1）得，，
直线，的方程分别为，，
由，得
，可得，，
由，得
，可得，，
，直线MN的方程为：，
即.
可得直线MN过定点.
②设MN的方程为：，
由，得，
设，，则，，
，
令，，，
由，且函数在递增，
时，取得最大值.
19．答案：(1)；(2)证明见解析；(3)
解析：（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；
（3），
当时，，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，
令，则在区间上恒成立，
所以在单调递减，且，
①当时，此时，在区间上恒成立，
所以在区间单调递减，
所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于，且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，a的取值范围为.