上海市华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．化简等于( )
A. B. C. D.
2．将函数的图象向左平移个单位长度.所得图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
3．在中，，，则( )
A. B. C. D.
4．下列命题正确的是( )
A.零向量没有方向 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
5．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则( )
A.-16 B.16 C. D.
6．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．如图，一个筒车按逆时针方向转动.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）.若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：分钟）之间的关系为.某时刻（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒W( )
A.在水面下 B.在水面上 C.恰好开始入水 D.恰好开始出水
8．已知非零且不垂直的平面向量,满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则,夹角的余弦值的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．[多选]向量,，则下列说法正确的是( )
A. B.向量,方向相反
C. D.
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )
A.向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B.若点G是的重心，则
C.若，则或
D.若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．已知函数，，则( )
A.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C.函数与的图象关于直线对称
D.函数与的图象关于点对称
三、填空题
12．将函数的横坐标伸长为原来的两倍所得到图像的解析式为______.
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F为BE的中点，若，则_____.
四、双空题
14．已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，定义为向量与的向量积，是一个向量，它的模.若，则
(1)当时，θ=___.
(2)若向量与为单位向量，当时，在上的投影向量(与同向的单位向量为)为__.
五、解答题
15．已知点，，，M是线段的中点.
（1）求点M和的坐标：
（2）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标.
16．已知向量、的夹角为，，.
（1）求的值
（2）当时，对于任意的，证明，和都垂直.
17．已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
18．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
（1）将矩形的面积S表示成关于的函数的形式；
（2）求的最大值，及此时的角.
19．如图，E，F分别是矩形的边和上的动点，且，.
（1）若E，F都是中点，求.
（2）若E，F都是中点，N是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D
2．答案：C
解析：将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：
.
故选：C.
3．答案：C
解析：，
故选：C.
4．答案：C
解析：对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意得，，
因为B，C，D三点共线，
所以，
则，得.
故选：A.
6．答案：C
解析：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即
，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为3个.
故选：C
7．答案：B
解析：由题意，，
可得，或（舍去）.
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上.
在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为，所以，
当且仅当时，取等号，
设,的夹角为，由题意得，
因为向量,非零且不垂直，所以且，
所以，
所以,夹角的余弦值的最小值为.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：因为,，
所以，故D正确；
由向量共线定理知，A正确；
－3<0，与方向相反，故B正确；
由上可知，故C错误.
故选：ABD
10．答案：BD
解析：因为向量，，则，即，则，不能作为平面内的基底，故A错误；
如图所示，连接并延长交于E点，点E为中点，延长到点D，使得，则，，所以，故B正确；
因为，若，则或或，故C错误；
因为向量，，则向量在向量上的投影向量为
，故D正确；
故选：BD
11．答案：ACD
解析：因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，
故A正确，B错误；
由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，
则在上取点关于的对称点必在上，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：的横坐标伸长为原来的两倍，则变为原来的，
故答案为：.
13．答案：
解析：
，
所以，，
故答案为：.
14．答案：①.或②.
解析：由，得，即，
又，所以.
由，得，即，
当时，，则，所以===，
由于与的夹角为，
故在上的投影向量为.
故答案为：；.
15．答案：（1），；
（2）
解析：（1），，M是线段的中点，
M点的坐标为，
故；
（2）设，则，，
因为与平行，所以
解得，
点D的坐标是.
16．答案：（1）2；
（2）证明见解析
解析：（1）.
（2）当时，，
则，与实数t的值无关，
即当时，对于任意，和都垂直.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.
18．答案：（1）（）
（2）时，取得最大值
解析：（1）在中，，，
，，
，
，
；
（2），
，
，
因为，
，
当，即时，
取得最大值.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
（1）以点A为原点建系，得，，，，,，
.
（2）由（1）知，设，，
，，，，
当时，最大值.
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，故最小值是.