2024年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学六模试卷（含解析）

2024年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学六模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．3
2．（2分）水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术，被称为水环境治理的“福尔摩斯”，经测算，一个水分子的直径约有0.0000004mm，数据0.0000004用科学记数法表示为4×10a，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．7
3．（2分）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2分）化简x6÷x2的结果是（　　）
A．x8 B．x4 C．x3 D．x
5．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，且OA⊥BC，若∠AOB＝56°，则∠OAC的度数是（　　）
A．34° B．56° C．62° D．76°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解：2a2b+6ab2＝　 　．
8．（3分）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 　 　．
9．（3分）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程3x2﹣3x+c＝0没有实数根．则实数c的取值范围是 　 　．
11．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝63°，则∠2的大小是 　 　．
12．（3分）一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC＝30cm，CE＝50cm，BD＝45cm，则BF的长为 　 　cm．
13．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 　 　．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 　 　．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．
16．（5分）已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE＝CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．
17．（5分）2024年2月，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区举办，吉祥物蒙古彩娃“安达”和“赛努”深受人民喜爱．某商店在销售一种印有蒙古彩娃的文化衫时，按文化衫每件标价的8折销售15件的销售额，与按文化衫每件的标价降低10元销售16件的销售额相等，求文化衫每件的标价．
18．（5分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动，要求人人参与.9年1班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，点P（3，2）在反比例函数的图象上，过点P作PM∥x轴交反比例函数的图象于点M，作PN∥y轴交反比例函数的图象于点N，连接MN．
（1）求k的值；
（2）求△PMN的面积．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABC；
（2）在图②中，画△ABE的高线ED；
（3）在图③中，在AB边上找一点F，连接HF，使得HF平分△ABH的面积.
21．（7分）木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处．
（1）填空：∠BOC＝　 　度，∠D＝　 　度；
（2）求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．结果精确到小数点后一位）．
22．（7分）某校举办“跨学科综合实践活动”，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、丙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给乙组参赛作品的打分中，其中三位评委打分分别为87，93，95，其余两位评委的打分均高于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数：
甲组 乙组 丙组
88 90 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）若某组参赛作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组参赛作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、丙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 　 　组（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为 　 　千瓦时；
（2）求BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程s的取值范围．
24．（8分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转，使线段AB的对应线段A'B'恰好经过点B，得到图2，线段A'C与AB相交于点D．
初步分析：（1）判断△CBB'的形状，并说明理由；
深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的△BDC沿射线BA的方向平移得到△EFG（点E，F，G分别是点B，D，C的对应点），线段EG，FG分别与边AC相交于点M，N．
①如图3，当点M恰好是线段EG的中点时，他们发现MN＝FN，请证明这个结论；
②若BC＝4，当点N恰好是线段AM的中点时，请直接写出△BDC平移的距离．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，CD是边AB上的中线，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿线段CD向终点D运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作等腰直角三角形PQN，∠QPN＝90°，使点N、C始终在PQ的两侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQN与△ADC重合部分图形的面积为S．
（1）用含t的代数式表示DP的长；
（2）当点N落在边AB上时，求t的值；
（3）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+ax﹣3（a为常数）经过点（﹣1，0）．
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）点P在此抛物线上，其横坐标为m．
①当点P在y轴右侧，且点P到x轴的距离等于3，求点P的坐标；
②若点Q也在此抛物线上，其横坐标为m+1，当点P、Q之间（含点P、Q）的抛物线上恰好只有一个点到x轴的距离等于5时，请直接写出m的取值范围；
（3）设点E的坐标为（n﹣2，n﹣2），点F的坐标为（n+2，n﹣2），连接EF，当抛物线y＝x2+ax﹣3（a为常数）和线段EF只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．（2分）水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术，被称为水环境治理的“福尔摩斯”，经测算，一个水分子的直径约有0.0000004mm，数据0.0000004用科学记数法表示为4×10a，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．7
【解答】解：∵0.0000004＝4×10﹣7，
∴a＝﹣7．
故选：B．
3．（2分）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．折叠后有一行两个面无法折起来，缺少一个面，故本选项不合题意；
B．折叠后是三棱柱，故本选项不合题意；
C．折叠后能折叠成正方体，故本选项符合题意；
D．折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面有两个面重合，不能折成正方体，故本选项不合题意；
故选：C．
4．（2分）化简x6÷x2的结果是（　　）
A．x8 B．x4 C．x3 D．x
【解答】解：x6÷x2＝x6﹣2＝x4．
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，DE＝CD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED，
∴∠EAC＝2∠CAD，
∵∠C＝2∠CAD，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，
在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°．
故选：A．
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，且OA⊥BC，若∠AOB＝56°，则∠OAC的度数是（　　）
A．34° B．56° C．62° D．76°
【解答】解：如图，设OA⊥BC于D，
∵OA⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠AOB＝56°，
∴∠C＝AOB＝28°，
∴∠OAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解：2a2b+6ab2＝　2ab（a+3b）　．
【解答】解：2a2b+6ab2＝2ab（a+3b）．
故答案为：2ab（a+3b）．
8．（3分）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 　三角形的稳定性　．
【解答】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
9．（3分）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是　﹣3　．
【解答】解：去括号，得
3x+1＞2x﹣2，
移项、合并同类项，得
x＞﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（3分）若关于x的一元二次方程3x2﹣3x+c＝0没有实数根．则实数c的取值范围是 　c＞　．
【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣3x+c＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×3×c＜0，
∴c＞．
故答案为：c＞．
11．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝63°，则∠2的大小是 　57°　．
【解答】解：如图，
由题意得∠ABC＝60°，
∵∠1＝63°，
∴∠CBD＝180°﹣∠1﹣∠ABC＝57°，
由直尺可得：AC∥BD，
∴∠2＝∠CBD＝57°．
故答案为：57°．
12．（3分）一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC＝30cm，CE＝50cm，BD＝45cm，则BF的长为 　120　cm．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AC＝30cm，CE＝50cm，BD＝45cm，
∴＝，
解得：DF＝75，
则BF＝BD+DF＝45+75＝120（cm），
故答案为：120．
13．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 　　．
【解答】解：由题意可得：
，
故答案为：．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 　2　．
【解答】解：连接CE，则CB＝CE＝CF，
设CB＝R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝CF＝DA，
∵AE＝DF，
∴DE＝DC，
∴DCE＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得R＝4，
在Rt△DCE中，
DE＝CE sin 45°＝4×B＝2．
故答案为：2．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．
【解答】解：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240
＝2×2+4÷（﹣2）﹣1
＝4+（﹣2）+（﹣1）
＝1．
16．（5分）已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE＝CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵DE＝CF，
∴AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
17．（5分）2024年2月，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区举办，吉祥物蒙古彩娃“安达”和“赛努”深受人民喜爱．某商店在销售一种印有蒙古彩娃的文化衫时，按文化衫每件标价的8折销售15件的销售额，与按文化衫每件的标价降低10元销售16件的销售额相等，求文化衫每件的标价．
【解答】解：设文化衫每件的标价为x元，
根据题意得：15×0.8x＝16（x﹣10），
解得：x＝40．
答：文化衫每件的标价为40元．
18．（5分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动，要求人人参与.9年1班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【解答】解：列表如下：
男 女 女 女
男 （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有6种，
∴所选同学中有男生的概率为＝．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，点P（3，2）在反比例函数的图象上，过点P作PM∥x轴交反比例函数的图象于点M，作PN∥y轴交反比例函数的图象于点N，连接MN．
（1）求k的值；
（2）求△PMN的面积．
【解答】解：（1）∵点P（3，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝2×3＝6．
（2）设点P（m，），则M（，），N（m，）
∴S△PMN＝
＝×）
＝×
＝．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABC；
（2）在图②中，画△ABE的高线ED；
（3）在图③中，在AB边上找一点F，连接HF，使得HF平分△ABH的面积.
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，线段ED即为所求；
（3）如图③中，线段HF即为所求．
21．（7分）木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处．
（1）填空：∠BOC＝　45　度，∠D＝　50　度；
（2）求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．结果精确到小数点后一位）．
【解答】解：（1）由题意可知，OC⊥BD，
∵∠CBO＝45°，
∴∠BOC＝90°﹣∠CBO＝45°，
∴∠COD＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝50°，
故答案为：45，50；
（2）由题意可知：BC＝3km，
在Rt△BOC中，
∠CBO＝45°，
∴OC＝BC＝3km，
在Rt△DOC中，∠D＝50°，
∴OD＝＝≈3.9（km），
答：点D到灯塔O的距离约为3.9km．
22．（7分）某校举办“跨学科综合实践活动”，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、丙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给乙组参赛作品的打分中，其中三位评委打分分别为87，93，95，其余两位评委的打分均高于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数：
甲组 乙组 丙组
88 90 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）若某组参赛作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组参赛作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、丙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 　丙　组（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，n＝＝90；
（2）由折线统计图可知，丙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是丙组．
故答案为：丙；
（3）由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小组的作品到区里参加比赛，
又因为乙组的最低分比丙组的最低分高，所以应该推荐乙组．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为 　60　千瓦时；
（2）求BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程s的取值范围．
【解答】解：（1）观察函数图象可知，电池充满电的电量为60千瓦时；
故答案为：60；
（2）设BC所对应的函数关系式为 y＝kx+b，
把（150，35）和（200，10）代入得：
，
解得，
∴BC所对应的函数关系式为y＝﹣x+110；
（3）当在AB段消耗了10千瓦时的电量时，s＝×10＝60（千米）；
当在BC段消耗了10千瓦时的电量时，s＝×10＝20（千米）；
∴20≤s≤60．
24．（8分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转，使线段AB的对应线段A'B'恰好经过点B，得到图2，线段A'C与AB相交于点D．
初步分析：（1）判断△CBB'的形状，并说明理由；
深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的△BDC沿射线BA的方向平移得到△EFG（点E，F，G分别是点B，D，C的对应点），线段EG，FG分别与边AC相交于点M，N．
①如图3，当点M恰好是线段EG的中点时，他们发现MN＝FN，请证明这个结论；
②若BC＝4，当点N恰好是线段AM的中点时，请直接写出△BDC平移的距离．
【解答】（1）解：△CBB′是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由旋转得：BC＝B′C，∠B′＝∠ABC＝60°，
∴△CBB′是等边三角形；
（2）①证明：如图3，连接EN，
∵△CBB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
由旋转得：∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠BCB′
＝90°﹣60°
＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝90°，
由平移得：∠G＝∠BCD＝30°，∠EFG＝∠BDC＝90°，EG∥BC，
∴EF＝EG，∠EMN＝∠ACB＝90°，
∵点M恰好是线段EG的中点，
∴EM＝EG，
∴EF＝EM，
在Rt△EFN和Rt△EMN中，
，
∴Rt△EFN≌Rt△EMN（HL），
∴MN＝FN；
②解：设MN＝x，
∵N是AM的中点，
∴AN＝x，AM＝2x，
由①得：GN＝2MN＝2x，AE＝2EM，AB＝2BC＝8，
∴MG＝＝x，
∵EM2+AM2＝AE2，
∴EM2+（2x）2＝（2EM）2，
解得：EM＝x，
∴EG＝EM+MG＝x+x＝x，
由平移得：EG＝BC＝4，
解得：x＝．
∴EM＝×＝，
∴AE＝2EM＝，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣＝，
故△BDC平移的距离为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，CD是边AB上的中线，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿线段CD向终点D运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作等腰直角三角形PQN，∠QPN＝90°，使点N、C始终在PQ的两侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQN与△ADC重合部分图形的面积为S．
（1）用含t的代数式表示DP的长；
（2）当点N落在边AB上时，求t的值；
（3）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵CD是边AB的中线，
∴DC＝AB＝，
∵动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线CD﹣DB向终点B运动，
∴PC＝t，
∴DP＝﹣t，
（2）当点N落在AB边上时，点P只能在CD上，
∵CD是直角三角形ABC的中线，则△ACD为等腰三角形，
则∠DCA＝∠A＝α，
则tanA＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
过点D作DH⊥NP于点H，
由题意得，△NPD为等腰三角形，且∠DNP＝∠A＝α，
则NP＝2HP＝2PDcosα＝2×（﹣t）×＝4﹣4t，
而PQ＝PCsinα＝t ，
∴t＝4﹣4t，
解得：t＝；
（3）当0＜t时，由（2）知PQ＝t，
∴△PQN与△ADC重合部分图形的面积S＝；
当＜t＜1时，如图，过点H作HF⊥PN于点F，
由（2）知PE＝4﹣4t，
∴EN＝PN﹣PE＝5t﹣4，
∵tanA＝tan∠FEH＝，
∴，
∴，即，
∴HF＝，
∴＝，
∴△PQN与△ADC重合部分图形的面积S＝S△PQN﹣S△ENH＝＝﹣，
即．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+ax﹣3（a为常数）经过点（﹣1，0）．
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）点P在此抛物线上，其横坐标为m．
①当点P在y轴右侧，且点P到x轴的距离等于3，求点P的坐标；
②若点Q也在此抛物线上，其横坐标为m+1，当点P、Q之间（含点P、Q）的抛物线上恰好只有一个点到x轴的距离等于5时，请直接写出m的取值范围；
（3）设点E的坐标为（n﹣2，n﹣2），点F的坐标为（n+2，n﹣2），连接EF，当抛物线y＝x2+ax﹣3（a为常数）和线段EF只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，把点（﹣1，0）代入抛物线 y＝x2+ax﹣3，
∴0＝12﹣a﹣3．
∴a＝﹣2．
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①由题意，设点P的坐标为（m，3），
∵P到x轴的距离等于3，即|y|＝3，
∴y＝3或y＝﹣3．
当y＝3时，3＝m2﹣2m﹣3，
∴ 或 ．
当y＝﹣3时．﹣3＝m2﹣2m﹣3，
∴m＝0或m＝2．
∵P点在y轴右侧，
∴m＞0．
∴ 或m＝2．
∴P ，3）或 （2，﹣3）．
②∵P、Q之间只有一个点到x轴的距离为5，
∴y1＝5，即5＝m2﹣2m﹣3．
∴m＝﹣2或m＝4．
∵点Q的横坐标为m+1，且点P、Q之间（含P、Q）的抛物线上恰好只有一个点到x轴的距离等于5，
∴﹣3≤m≤﹣2或3≤m≤4．
（3））∵点E的坐标为（n﹣2，n﹣2），
∴yE＝n﹣2，xE＝n﹣2，即yE＝xE，
∴点E在直线y＝x上，
∵点F的坐标为（n+2，n﹣2），
∴同理可求出点F在直线y＝x﹣4上，
结合平移可知：直线y＝x向右平移4个单位即可得到直线y＝x﹣4，
设直线y＝x、y＝x﹣4与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于点A、B、C、D四点，
∵点E的坐标为（n﹣2，n﹣2），点F的坐标为（n+2，n﹣2），
∴EF＝n+2﹣（n﹣2）＝4，且线段EF在直线y＝n﹣2上，
∴DF∥x轴，
如图，
联立：，
解得：，．
∴，．
联立：．
解得：，．
∴，．
结合图形可知：当点E在点A与点B之间（含点A，不含点B）或者当点F在点C与点D之间（含点D，不含点C）时，抛物线y＝x2﹣2x﹣3和线段EF只有一个有公共点，
∴＜n﹣2≤或＜n+2≤．
∴＜n≤或＜n≤．
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