课件16张PPT。第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数教学重点：二次函数的概念.
教学难点：寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应关系. 一、创设情境，导入新课 教学过程欣赏下面两幅图片： 篮球和水珠在空中走过一条曲线，在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示（教师引出课题）.
教师展示课件，出示问题，引出课题.
学生观察欣赏图片，初步了解本节课所要研究的问题. 二、合作探究，感受新知 1.问题探究
（1）正方体的六个面是全等的正方形，如果正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关系可以怎样表示？
（2）n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系？
教师适时引导、点拨，然后由小组推荐三名学生板书三个问题，其他小组学生讲评. 教师提出问题：我们学习过一次函数和反比例函数，下面三个函数有什么共同特征？请学生类比思考解决：
（1）y=6x2；
（2）d=12n2-32n；
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系应怎样表示？ y=20x2+40x+20.
教师对问题（3）引导：
①这种产品的原产量是多少？
②一年后的产量是多少？
③再经过一年后的产量是多少？
④两年后的产量与x有怎样的关系？
学生在自主探究的基础上，尝试分析问题，解决问题，小组交流. 2.观察思考
请观察下面三个式子，它们的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1）y=6x2；
（2）d=12n2-32n；
（3）y=20x2+40x+20.
教师引导学生观察、分析、比较三个函数关系式. 引导学生观察时应注意：
（1）学生能否找出自变量及因变量的函数.
（2）学生能否归纳出三个函数的共同特点；经化简后都具有y=ax2+bx+c的形式（a，b，c是常数，a≠0）.
学生观察、思考问题，尝试回答问题. 3.归纳总结
二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
问题：
（1）二次函数概念中a、b、c有怎样的要求？
（2）当a=0时，这个函数还是二次函数吗？为什么？
（3）b或c能为0吗？ 教师引导学生尝试归纳总结得出二次函数的定义.教师让学生尝试回答.
教师适时引导、完善：（2）当a=0时，这个函数不是二次函数，有可能是一次函数，若b≠0时，是一次函数；若b=0时，是一个常数函数.
学生归纳总结，初步感知二次函数的特征. 4.典型例题
例（补充）：关于x的函数y=（m+1）xm2-m是二次函数，求m的值.
分析：若y=（m+1）xm2-m是二次函数，须满足的条件是：m2-m=2，m+1≠0.
解：由题意可得m2-m=2，m+1≠0，
解得，m=2.
∴m=2时，函数为二次函数. 教师投影出示例题，引导：
（1）二次函数自变量最高次数为2.
（2）二次函数有意义的前提条件是二次项系数不为零.
教师随意找两名学生的求解过程投影，师生共同点评.
学生先自主探究，再合作交流，完成例题. 三、课堂小结，梳理新知 1.师生小结
（1）通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听.
（2）二次函数的一般形式怎样？特殊形式有哪些？一个函数是二次函数，关键看什么？
师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识.
教师聆听同学的收获，解决同学的疑惑.
学生归纳、总结发言，体会、反思.谢谢观赏！课件9张PPT。第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图像和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学重点：二次函数y=ax2的图象.
教学难点：从有关的图象中得出二次函数y=ax2的性质. 一、创设情境，导入新课 教学过程 问题1：我们已经学习了一次函数、正比例函数和反比例函数，在研究这些函数时，通常是按照怎样的顺序进行的?
问题2：我们已经学习了一次函数、正比例函数和反比例函数，这些函数的图象分别是什么形状?二次函数的图象又会是怎样的形状?
教师出示问题，引导学生：按“概念——图象——性质——应用”的顺序. 二、合作探究，感受新知 1.用描点法画y=x2的图象.
（1）用描点法画图象通常有哪些步骤?
列表、描点、连线.
（2）列表时，应注意什么问题?
自变量的取值. (3)描点时应以哪些数值作为点的坐标?
(4)连线时应注意什么?
教师出示问题，适时引导、点拨.然后由小组讨论解决.
教师引导点拨：
第（1）个问题描点法画图象的一般步骤：第一步，列表(表中给出自变量的值及其相对应的函数值)；第二步，描点；第三步，连线.
第（2）个问题需要弄清：y=x2中的自变量x可以是任意实数.
对问题（3）引导：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 2.思考与归纳
让学生观察教师所画的图象，给出抛物线的概念.并说明：二次函数y=x2的图象是一条抛物线.实际上，二次函数的图象都是抛物线.
思考：（1）表格中的数据是否反映了一种规律?
（2）观察图象，这条抛物线有什么特征?请把你的发现说出来. 问题（4）连线时应注意：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.
教师引导：任取一个x的值，计算出相应y的值，验证一下这个点关于y轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念.
学生观察、探究、交流、总结. 三、课堂小结，梳理新知 1.本节课我们学习了哪些内容?
2.画函数图象应注意哪些问题?
3.对本节课你有什么困惑?说给同学听.
教师引导学生.
同学谈谈自己的收获和疑惑.谢谢观赏！课件18张PPT。第二十二章 二次函数22.1.3 二次函数y=ax2的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学重点：二次函数y=ax2+k的图象和性质.
教学难点：理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系.一、创设情境，导入新课 教学过程1.同学们还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗? 221-1102.你能由此猜想二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间的关系吗? ，那么y=x2与y=x2-1的图象之间又有何关系? .
引出课题——y=ax2+k是的图象和性质.
学生观察、思考、回顾回答.
学生猜想、交流，初步了解本节课所要研究的问题. 二、合作探究，感受新知 1.实践例
1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1和y=x2-1的图象.
解：先列表：然后描点画图，得到y=x2+1和y=x2-1的图象，如下图所示： 教师课件演示例题中的两个函数图象的画图过程.
教师引导：
1.画图步骤：①列表；②描点；③连线.
2.两个函数可以在一个表格中列出自变量与函数对应值表.
3.两条抛物线也在同一坐标系中画出.
学生课前画出这三条抛物线，课上结合自己的图象仔细观察课件中的图象. 2.思考讨论
（1）抛物线y=x2+1，y=x2-1的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么?
（2）抛物线y=x2+1，y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
（3）它们的形状由什么决定?它们的位置关系由什么决定? 教师先让学生观察自己画出的图象再观看多媒体动画演示.通过图象上下平移，让学生观察总结得出结论.教师引导：两条抛物线的关系，可以从以下几个方面来探究：形状、大小、位置. 结论：①学生仔细观察、大胆猜想、细致总结，小组交流. ②三条抛物线的形状大小完全一样，抛物线y=x2向上平移1个单位就可得到抛物线y=x2+1，向下平移1个单位就可得到抛物线y=x2-1.
③抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1形状由二次项系数决定，图象的位置由常数项+1、-1决定.
教师适时引导、点拨：仔细观察平移过程，你发现了二次函数y=x2、y=x2+1、y=x2-1图象的大小、形状有什么规律?它们之间位置有什么规律？
教师补充完善. 3.思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线?向下平移3、4个单位呢?由此，你会得出怎样的猜想?把你的想法说给同学听听.
小结：(1)一般地，把抛物线y=ax2向上平移k（k＞0)个单位，就得到抛物线y=ax2+k；把抛物线y=ax2向下平移k(k＞0)个单位，就得到抛物线y=ax2-k.
（2）抛物线y=x2+1与y=x2-1可以经过怎样的相互平移得到? 教师引导学生画图、观察、思考、归纳总结得出结论.
教师点拨：抛物线y=x2+1沿y轴向下平移1个单位得到抛物线y=x2，再向下平移1个单位就得到抛物线y=x2-1；反之y=x2-1也可以向上平移得到抛物线y=x2+1.
学生类比观察、归纳总结，小组交流得出结论. 4.应用
例2(补充)：在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2+1得到抛物线y=-x2-1，指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标. 解：列表 描点、连线，画出这两个函数的图象. 可以看出，抛物线y=-x2-1是由抛物线y=-x2+1向下平移两个单位得到的.y=-x2-1的开口方向：向下，对称轴：y轴，顶点坐标（0，-1）；y=-x2+1开口方向：向下，对称轴：y轴，顶点坐标（0，1）.
教师引导：例2中的两个函数图象与例1中的图象相比，开口方向不同，平移规律不变.
学生独立解决后，与同伴交流看法. 小结：抛物线y=ax2+k（k＞0）向下平移2k个单位就可得到抛物线y=ax2-k（k＞0）；抛物线y=ax2-k（k＞0）向上平移2k个单位就可得到抛物线y=ax2+k（k＞0）.
抛物线y=ax2+k开口方向由a的符号决定(a＞0，开口向上，a＜0，开口向下)，对称轴都是y轴，顶点坐标(0，k).
教师引导学生得到平移规律.y=ax2+k型的二次函数图象平移由k决定，k由小变大，则向上平移，反之，向下平移，平移的距离是大k与小k的差. 三、课堂小结，梳理新知 1.师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获?
从二次函数y=ax2+k的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和大小等方面去总结.
(2)你对本节课有什么疑惑?说给老师或同学听听.师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识.
教师聆听同学的收获的同时，认真解决同学的疑惑，教师补充完善.
学生归纳、总结自由发言，学生体会、反思.谢谢观赏！课件15张PPT。第二十二章 二次函数22.1.3 二次函数y=ax2的图象和性质第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教学重点：二次函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学难点：把实际问题转化为数学问题. 一、创设情境，导入新课 教学过程2 1.由前面的知识，我们知道，函数y=- x2图象，向下平移1个单位，可以得到函数y=- x2-1的图象；函数y=- x2的图象，向左平移1个单位，可以得到函数y=- (x+1)2的图象，那么函数y=- x2的图象，如何平移，才能得到函数y=- (x+1)2-1的图象呢？ 2.引出课题——二次函数y=a(x-h)2+k图象和性质及实际应用.
教师投影出示问题.
教师板书课题.学生自主探究，画图象，类比给出二次函数性质.
初步了解本节课所要研究的问题.二、合作探究，感受新知 (1)在同一坐标系中画出函数y=-12x2,y=-12x2-1,y=-12(x+1)2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴及顶点.先列表： 然后描点画图，如下图所示： 教师充分放手，让学生到黑板画图，并在学生观察的基础上，让学生回答探究任务.
教师请学生独立完成填空.
教师播放动画演示平移过程，引导：对于问题①可以把函数y=- x2的图象，先向下平移1个单位，再向左平移1个单位或把函数y=- x2的图象，先向左平移1个单位，再向下平移1个单位. 学生画图象.
学生结合自己的图象仔细观察、分析、思考填空.
学生仔细观看平移动画过程，完成教师提出的问题.
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 . (2)观察图象探究下列问题：
①抛物线y=- x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=- (x+1)2-1?②当x时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大，当x 时，函数取得最 值，最 值y= .对于问题②，要从图象、自变量与函数对应值表两方面分别研究. 例(教材例4)
分析：本题是运用所学的二次函数的有关知识解决实际问题.关键是把实际问题转化为二次函数，那么，建立恰当的直角坐标系尤为重要.
解法一：从问题中的信息可知，可设抛物线的顶点坐标为(1，3)，则抛物线经过点(3，0)，画出抛物线草图，设出解析式为y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，由抛物线经过点(3，0)，解得a=- 即可得到问题的答案. 2.实际应用解：如右图，建立直角坐标系，点(1，3)为抛物线的顶点，
因此可设这段抛物线所对应的函数是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，由抛物线经过的点(3，0)可得：0=a(3-1)2+3，
解得a=- .
因此y=- (x-1)2+3(0≤x≤3).
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管长2.25 m.
讨论：直角坐标系还有其他建立的方法吗?若有，求出结果还一样吗? 解法二：让抛物线的最高点在直角坐标系的原点上.
教师投影例1及大致图象，让学生独立完成后，再小组交流.
教师引导：此图象只是抛物线的一部分，原因是自变量的取值范围决定的.
教师让学生尝试解决后，集体点评.教师引导点拨：还有一种比较简便的方法是让抛物线的最高点在直角坐标系的原点上.
不管怎样建立直角坐标系，虽然解析式不同，但是最后结果应该一致.
学生独立解决后，与教师和同学共同完善解题过程及方法.学生小组讨论解决. 三、课堂小结，梳理新知 师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获?二次函数y=a(x-h)2+k的性质及平移规律，建立坐标系解决实际问题.
(2)你对本节课有什么疑惑?说给老师或同学听听.
师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识.教师聆听同学的收获的同时，认真解决同学的疑惑，教师补充完善.谢谢观赏！课件11张PPT。第二十二章 二次函数22.1.3 二次函数y=ax2的图象和性质第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 教学重点：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
教学难点：把抛物线y=ax2通过平移后得到抛物线y=a(x-h)2时，确定平移的方法和距离. 一、创设情境，导入新课 教学过程1.抛物线y= x2+4与y= x2的位置有什么关系?
2.抛物线y= x2+4开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
3.函数y= (x-2)2的图象是怎样的一条抛物线?它与y= x2有什么关系呢?
教师出示问题，引导学生回顾回答1、2.
教师让学生类比猜想3，由此引出新课并板书课题.2 1.画图：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.
y=- x2，y=- (x+1)2，y=- (x-1)2
2.思考：按照所列表格，描点画出的图象不对称，是什么原因造成的?是图象的原因，还是取值的原因？ 二、合作探究，感受新知 重新考虑表格（补充内容如下表）： 结论：三条抛物线的对称轴不同，我们把经过点(-1，0)且与x轴垂直的直线，记作x=-1，三条抛物线的对称轴分别是x=0，x=-1，x=1；顶点坐标分别为：(0，0)，(-1，0)，(1，0).
学生独立画图（坐标系的单位长度一致，画在较透明的薄纸上）.
教师关注：学生画图时，由于事先不知道每一条抛物线的对称轴，所以在列表和画图时必然会出现所取的点不对称和所画的图象不对称.此时应及时作以下引导：
(1)是图象本身不对称，还是取的点不对称? 3.探究：
三条抛物线之间的位置关系.
（1）从图象上看，这三条抛物线能否经过相互的平移得到?若能，应该怎样平移?
（2）从所列的表格来看，点的坐标是否具有这种平移关系?
（3）图象叠放直观演示平移过程. 4.归纳：
y=a(x-h)2的平移规律：当h＞0时，将抛物线y=ax2向右平移h个单位；当h＜0时，将抛物线y=ax2向左平移｜h｜个单位.
(2)若使画出的图象对称，应该再取哪个点?教师组织学生小组内讨论、思考解决. 教师引导：三个同学一组，每人画出一条抛物线(组长分好工，把其余的两条抛物线擦去)，然后两两叠放在一起，通过平移，观察、思考、总结规律.三、课堂小结，梳理新知 1.抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系.
2.抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
3.y=a(x-h)2与y=ax2+k的联系与区别.
教师引导学生谈谈自己所学到的知识、方法和自己的疑惑.谢谢观赏！课件18张PPT。第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax2的图象和性质教学重点：1.通过配方把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，求对称轴和顶点坐标.2.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.
教学难点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质，能灵活选择合适的表达式使求解达到简便快捷的效果.一、创设情境，导入新课 教学过程2 1.我们已经发现，二次函数y= (x-6)2+3的图象，可以由函数y= x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数y= (x-6)2+3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
2.对于任意一个一般形式的二次函数，如y= x2-6x+21，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗?
3.引出课题——二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质.
教师投影出示问题，要求学生口答完成问题1，简单思考问题2后，接着引出本节课题.
学生自主完成问题1，通过对问题2稍作思考，初步了解本节课所要研究的问题. 二、合作探究，感受新知 1.思考
例1.画二次函数y=12x2-6x+21的图象，指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.
先列表： 教师充分放手，让几名学生到黑板列表，画图(其余同学在练习本上完成)，让学生产生认知冲突，为进一步作下面的探究做准备.
教师点拨：这样列表，没有对称的取点，导致描出的点也不对称，图象因此也不对称，所以现在不能准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标. 然后描点画图，如下图所示：
观察图象，你能准确说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?为什么画出的抛物线不是对称的?该怎样解决这个问题? (2)我们知道，像y=a(x-h)2+k是这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，对称轴为x=h，根据对称性列表，画出图象.二次函数y= x2-6x+21也能化成这样的形式吗?若能，再画一遍图象试试.
配方可得：
y= x2-6x+21= (x2-12x+42)= (x2-12x+36+6)
= ［(x-6)2+6］= (x-6)2+3.
因此，抛物线开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 描点、连线，如下图所示： 由对称性列表： (3)当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x= 时，函数取得最 值，最 值y= .
教师引导：这里配方与一元二次方程中的配方不完全相同.一元二次方程中可以利用等式的基本性质两边除以二次项系数变为1，这里只能在一边提取二次项系数. 2.归纳
(1)尝试：
通过配方，确定抛物线y=-2x2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：y=-2x2+4x+6
=-2(x2-2x)+6
=-［2(x-1)2-2］+6
=-2(x-1)2+8.
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8).教师随便写出一个一般形式的二次函数，让学生通过配方变形.教师让学生观察自己画出的图象归纳总结得出一般结论.
教师补充完善. (2)归纳：
你能用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴吗?
解：y=ax2+bx+c
=a(x+ )2+ . 因此，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口方向、顶点与对称轴：
学生尝试练习，加深认识.学生经过仔细观察、大胆猜想、细致总结，小组交流，得出一般结论. 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为y=x2+x-2.
例3.已知二次函数图象的顶点是（1，3），且经过点M（2，0），这个函数的解析式为y=3x2-6x .例4.已知二次函数的图象如图所示，此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
例5.已知一抛物线与x轴的交点是A(-1,0),B(m,0),且经过第四象限的点C（1，n），而m+n=-1,mn=-12,此抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 2.学生交流，归纳总结.
求解二次函数的解析式所设置的表达式
（1）一般式：y=ax2+bx+c.
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k.
（3）交点式（两根式）：y=a(x-x1)(x-x2).
（4）y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2等特殊形式. 三、课堂小结，梳理新知 师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获?
(2)你对本节课有什么疑惑?说给老师或同学听听.
师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识.教师聆听同学的收获的同时，认真解决同学的疑惑.
学生归纳、总结自由交流发言. 谢谢观赏！
