高一下册期末测试基础卷（含解析）

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高一下册期末测试基础卷（含解析）
一、单选题
1．已知复数z满足，则（　　）
A． B．2 C． D．
2．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
3．已知 为 的一个内角，向量 .若 ，则角 （　　）
A． B． C． D．
4．直三棱柱 的6个顶点在球 的球面上.若 ， . ， ，则球 的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．某校抽取100名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组 ，第二组 ， ，第五组 ．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于 即为优秀，如果优秀的人数为14人，则 的估计值是（　　）
A．14 B．14.5 C．15 D．15.5
6．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率等于（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．棱 上存在点 使得 面
B．当 落在 上时， 的取值范围是
C．当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是2
D．存在 的值使得点 到面 的距离为
二、多选题
9．在 中，角 、 、 所对的边分别为 ， ， ．则下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 ， ， ， 的面积为3
10．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　）
A．两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88
C．至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
11．如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（　　）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
三、填空题
12．在中，若，，且，则　 　．
13．如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是　 　.
14．在中，内角、、的对边分别是、、，且，则　 　；若的角平分线与边交于点，且，则　 　.
四、解答题
15．已知复数，其中．
（1）若为实数，求的值；
（2）若为纯虚数，求的虚部．
16．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的面积；
（Ⅲ）求 的最大值．
17．如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
18．某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
19．如图，在四棱台 中，底面四边形 为菱形， ， ， 平面 .
（1）若点 是 的中点，求证： ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】令，则，且，
所以，则，
所以，可得，即，
所以.
故答案为：C
【分析】 先由复数的运算求复数z，再由复数模的运算求解即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ 在 方向上的投影为
故答案为：B
【分析】根据向量的投影求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴ =2cos2C-cosC-2cosC-2=2cos2C-3osC-2=（2cosC+1）（cosC-2）=0，
则(舍去)
又∵C∈(0，π)
∴
故答案为：B
【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合一元二次方程的解法即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：将直三棱柱补形为长方体 ，则球 是长方体 的外接球，所以体对角线 的长为球 的直径.因此球 的外接圆直径为 ，故球 的表面积 。
故答案为：B.
【分析】将直三棱柱补形为长方体 ，则球 是长方体 的外接球，所以体对角线 的长为球 的直径，再利用勾股定理求出长方体的体对角线，进而求出长方体外接球的半径，再利用球的表面积公式，从而求出长方体外接球的表面积，进而求出直三棱柱外接球的表面积。
5．【答案】B
【解析】【解答】优秀人数所占的频率为 ，
测试结果位于 的频率为 ，测试结果位于 的频率为 ，所以， ，
由题意可得 ，解得 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而求出a的估计值。
6．【答案】D
【解析】【解答】由已知得：即，
即，
即，
即，
所以，所以
故选：D.
【分析】利用相互独立事件的乘法公式即可得解。
7．【答案】C
【解析】【解答】由已知条件可得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积的定义求出点 到平面 的距离。
8．【答案】A
【解析】【解答】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，
∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 面BFS， 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF，
又 面BFS， 面BFS，∴DE面BFS；
又 ，∴面PDE∥面BFS，∴ 面 ，
A符合题意；
对于B：∵ 为等边三角形， ，∴，
当 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， ，∴，
当且仅当 时， 的最大值为1.C不符合题意；
对于D：由C的推导可知：当 的最大时，点B到面 的距离d最大，
，
此时 ，
∴，
∴ ，D不符合题意。
故答案为：A
【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。
9．【答案】B,C
【解析】【解答】解： 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
对于 ：由于 ， ， ，利用正弦定理 ，解得 ，由于 ，所以 或 ，故错误；
对于 ：当 时，所以 ，根据正弦定理 ，整理得 ，故正确；
对于 ：若 ，整理得 ，故 ，结合余弦定理．整理得 ，故 为钝角三角形，故正确；
对于 ：若 ， ，且 ，利用余弦定理可得 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故D错误。
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合正弦定理结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值；利用大边对应大角的性质结合正弦定理，得出；利用已知条件结合余弦定理，从而推出三角形 为钝角三角形；再利用已知条件结合余弦定理，从而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围求出角C的值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积，进而找出命题正确的选项。
10．【答案】A,D
【解析】【解答】设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立
A选项：都中靶的概率为 ，A项对；
B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶
故至少一人中靶的概率为 ，B项不对；
C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶
至多一人中靶的概率为 ，C不符合题意；
D选项：恰好有一人脱靶的概率为 ，D对.
故答案为：AD
【分析】 根据独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解即可得出答案.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A：连接 交 于点 ，连接 ，点 为 中点，点 为 中点，∴ ，∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，A符合题意；
对于B：三棱柱 为正三棱柱， 是边长为2的等边三角形，∴平面 平面 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ，∴ 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
在三角形 中易得 ，∴ ， ，在直角三角形 中 ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D：设 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即 面 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出直线 与平面 所成的角；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】或
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，故，
所以，由余弦定理可得：，
所以，可得，则，
又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，
所以，解得：或，
故或.
故答案为：或.
【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.
13．【答案】②③
【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，
当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ，所以 ，同理 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；
对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用已知条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。
14．【答案】；
【解析】【解答】如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
【分析】第一问利用正弦定理和正弦两角和公式化简求解；第二问利用和正弦的二倍角公式化简求解。
15．【答案】（1）解：由实数定义可知：，解得：；
（2）解：由纯虚数定义知：，解得：，；
，的虚部为8.
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解出 的值；
(2)根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解出 的虚部．
16．【答案】解：（1）因为 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
（Ⅲ）由 得 ，
因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号）．
设 ，则 ，且 ，所以 ．
设 ，
则 在区间 上单调递增，所以 的最大值为 ．
所以， 的最大值为
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，以及两角和的正弦公式求解即可；
（Ⅱ）根据余弦定理，结合三角形的面积公式求解即可；
（Ⅲ）根据余弦定理及基本不等式，结合对勾函数的单调性与最值求解即可.
17．【答案】（1）证明：设 交点为 ，连接 ，
又 ，
又 ，所以四边形 是菱形，则 是 中点，
又 为 中点， 是 中位线， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）证明：由（1）可知四边形 是菱形， ，又 平面 可得 ，
为 中点可得 ，又 ， 四边形 为平行四边形， ，
， ， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面
【解析】【分析】（1）设 交点为O，连接OF，则可根据OF是 中位线求证 ，进而得证；（2）由线段关系可证 ，又由 平面 可得 ，进而可得 ，再结合四边形 是菱形可得 ，即可求证；
18．【答案】（1）解：根据题意，甲进入复试的概率为 ，
乙进入复试的概率为 ，丙进入复试的概率为
由于 ，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为 .
【解析】【分析】(1)根据题意由概率的乘法公式代入数值计算出结果，由此即可比较出大小。
(2)由相互独立、对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
19．【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，
因为四边形 为菱形，则 ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
∵ 为 的中点，则 ，
∵ ，∴ ，
由于 平面 ，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ；
（2）假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
取 ，则 ， ，所以， ，
平面 的一个法向量为 ，
所以， ，解得 ，
又由于二面角 为锐角，由图可知，点 在线段 上，
所以 ，即 .
因此，棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时 .
【解析】【分析】 (1) 取 中点 ，连接 ， ， ， 推导出AQ⊥BC， AQ⊥AD， 以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 由向量数量积为0，证明 ；
(2)假设点E存在，使得二面角 的余弦值为 ， 设点 的坐标为 ， ，分别求出平面 的法向量与平面 的法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求解值，可得结论.
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