19．1．1变量与函数
学情分析
山东省费县费城镇初级中学 王晶晶
初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。我班的学生求知欲很强，思维活跃，有较好的接受能力，学生能够较为有条理的思考.但是，他们也是非常好动的，注意力容易分散，爱发表见解的同时不是很善于倾听，特别希望得到老师的关注或表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了《变量与函数》第一课时的内容，能从实际问题中概况出两个量之间的对应关系，对变量常量已经有了初步的认识。学生在生活中也具有对两个量之间存在依存关系的体验，如气温随着时间或者海拔高度的变化而变化等，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。但他们毕竟初次接触函数这样抽象的概念，特别是难以概括出“当一个变量确定一个值时另一个变量有唯一确定的对应值”这一核心。由于其抽象程度较高，造成对函数概念的理解产生一定的困难。本节课所教授的内容与学生的生活之际和以前学习的知识都有较为密切的联系，所以在教授过程中大可以利用这一特点，让学生体会生活中有关是实例，通过这些例子，促进学生积极思考，主动探究， 并能从中提出问题、分析问题和解决问题.同时还培养了学生的团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.
19．1．1 变量与函数
效果分析
山东省费县费城镇初级中学 王晶晶
函数概念本身是抽象的，学习过程也是比较枯燥的，而利用课件演示世界的运动变化现象让学生初步体会到学习函数的必要，然后再让学生自己完成学案自主探究前两题，既能检查学生的学习情况，发现学生存在问题，也能够引发学生的思考．题目不难，学生独立完成，用时也不多，为函数概念的学习做好铺垫．此后的观察思考题目我有意识的进行了调整，特别将课本中的人口数统计表换成世博会入园人数统计表。在具体处理时我先让学生进行小组讨论，然后再根据情况进行引导．这个环节中，学生既有独立思考机会，又有分组讨论和互相补充的时间，培养了学生的自主学习和合作意识，同时将数与形有机结合，让学生初步体会“数形结合”的数学思想及数学与现实生活之间的联系．
在明确函数的概念之后，学生运用探究得到的知识，解决“尝试应用”部分的题目，从解析式和图像两方面进一步加深对函数概念的理解----对于自变量的每一个确定的值，另一个变量有唯一确定的对应值．还要反复加深对函数概念的理解，第一题和第三题学生能较容易得出正确答案，但是第二题图象问题是学生感觉比较困难的，学生无法判断出正确结果，在处理时我让部分掌握比较好的学生详细的讲解，同时利用多媒体课件展示两个变量之间的对应关系，再引导学生归纳总结，让学生系统的认识函数概念，明确确定函数关系的关键，初步体会函数的三种表示方法，即解析式法、图像法、列表法．
“拓展提高”中的第一题是训练学生求函数解析式中自变量的取值范围。“自变量的取值应使函数解析式有意义”这一点学生比较容易解决，我在学生解决之后还结合具体题目引导学生归纳函数的解析式有意义的不同情况：①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数；②函数解析式中自变量在分母中（分式）时，自变量的取值应使分母不等于0；③函数的解析式中自变量出现在被开方数中（二次根式）时，自变量的取值应使被开方数大于或等于0． 在此基础上再要求学生完成拓展提高的第二题，从而让学生体会如何解决蕴含函数关系的实际问题．在本环节中，通过列函数解析式、确定自变量的取值范围、求函数值等问题，让学生掌握解决具体函数问题的办法，为后面的学习积累感性认识．
“综合运用”题目是前面例题的延伸，目的是在训练新学知识的同时，也将前面所学的不等式、方程等内容联系起来，以新代旧，达到了让学生将数学知识系统化的效果．
最后让学生自己总结本节课我们学习了哪些知识，你是如何学得新知识的，你又有什么收获．启发学生的思考、归纳总结所学知识，培养学生的归纳总结与自我反思能力，让学生更加明确本节课的知识点．
总之，我根据学生的认知基础，创设一定条件下的现实情景，使学生从中感受到变量与函数的存在和意义，体会变量与函数之间的相互依存关系和变化规律，符合学生的认知规律。在具体操作中，以教师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究新知。让学生领悟到现实生活中存在的多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题，分析问题和解决问题，并培养学生合作意识，探究和应用的能力，取得了良好的教学效果。
19．1．1 变量与函数教学设计
山东省费县费城镇初级中学 王晶晶
教学目标
（一）知识与能力
1．通过回顾与思考，探究认识变量中的自变量与函数．
2．体会生活中蕴涵的函数关系，会确定函数关系式及自变量取值范围．
（二）过程与方法
3．经历回顾思考过程，理解反映变量之间关系的实例，提高归纳总结概括能力，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．
4．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
（三）情感态度与价值观
5．培养学生参与数学活动的积极性和良好的学习态度，形成合作探究意识及独立思考的习惯．
6．让学生体会到数学来源于生活，服务于生活，增强学生学习数学的热情．
教学重点
理解函数概念，会确定函数关系式及自变量的取值范围．
教学难点
函数概念的归纳与理解．
教学方法
回顾思考─探究交流─归纳总结．
教具准备
ppt课件．
教学过程
活动一
教师活动：运用课件设置问题情境， 引导学生进行自主探究，回顾上节课所研究的问题，完成学案自主探究问题1和2．
自主探究：
1． 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行使时间为t小时，行驶里程s与行驶时间t之间的关系式是s = ，当t =1时，s = ；当t =2时，s = ；当t =5时，s = ．
2． 在一根弹簧的下端悬挂重物，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为m kg，受力后的弹簧长度为l cm,用含有m的式子表示l为 ，当m =1时，l = ；当m = 2时，l = ；当m =10时，l = ．
学生活动：独立完成以上两题后学生自己订正．
师生互动：教师引领，师生共同归纳总结这两个问题中变量的共同特点，完成学案探究收获：
在上面两个问题中，每个问题都有 个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就 ．
教师活动：教师要规范学生的语言描述，强调两个变量是一一对应的。在此基础上，
运用课件出示观察思考，引导学生认识生活中用图和表格描述的变化问题．
观察思考：
1． 下面是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，对于x 的每一个确定的值， y都有唯一确定的对应值吗？
2． 下面的我国世博会入园人数统计表中，月份与入园人数可以记作两个变量x 与 y，对于表中每一个确定的月份（x），都对应着一个确定的入园人数（y）吗？
2010中国世博会入园人数统计表
月 份( x )
入 园 人 数( y )
5月
803万
6月
1309万
7月
1378万
8月
1245万
9月
1024万
学生活动：学生先自主探究，分组讨论，自己经历操作、分析、推理、确认等一系列过程，寻找以上问题的共同特点．
师生活动：教师适时引导，对学生的观察、推广、辨析等结果进行适时评价，在此基础上，让学生结合课本97页内容，完成知识驿站，明确函数概念：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都
有 与其相对应，那么我们就说x是 ，y是x 的 ，如果
当x = a时y = b，那么 叫做当自变量的值为a时的函数值．
教师活动：引导学生掌握函数概念的关键，辨析函数与函数值的区别，强调两个变量之间的一一对应关系。
设计意图：函数概念本身是抽象的，学习过程也是比较枯燥的，为了提高学生学习兴趣，特别将课本中的人口数统计表换成世博会入园人数统计表。这个环节中，学生既有独立思考机会，又有分组讨论和互相补充的时间，可以培养学生的自主学习和合作意识，同时将数与形有机结合，让学生初步体会“数形结合”的数学思想及数学与现实生活之间的联系．
活动二
教师活动：运用课件出示尝试应用3个问题，要求学生运用探究得到的知识，完成下面题目：
1． 下列式子中，y是x的函数的是 ，y不是x的函数的是 ．
（1） y =-x-3 （2） y =± (3) y = （4） y =
2． 下列图象反映了y与x的对应关系，其中y不是x的函数的是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
3． 某体育爱好者统计了我国历届奥运会金牌数，绘制了金牌数y（枚）与届数x（届）的关系图，根据图象，回答下列问题：
根据图象填表：
届数x（届）
23
（1984年）
24
（1988年）
25
（1992年）
26
（1996年）
27
（2000年）
28
（2004年）
29
（2008年）
金牌数y（枚）
（2） 当x取23到29之间的一个确定值时，相应的金牌数确定吗？
（3） 金牌数y是届数x的函数吗？
学生活动：先试着独立完成，遇到困难可以采用小组讨论的方式解决。
师生互动：教师参与讨论，引导学生正确寻找答案．在订正问题答案时，教师要求学生解释确立答案的理由，从中关注学生能否正确应用函数概念，辨析用图像描述的变化问题是否存在函数关系．引导学生进一步领会函数意义．并结合第三题，对学生进行爱国主义教育，激励学生好好学习．
设计意图：让学生在经过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程后，进一步掌握辨析不同的变化问题中是否存在函数关系的办法，更加深刻理解函数意义，同时初步体会函数的三种表达形式．
活动三
教师活动：利用课件出示拓展提高问题．
1． 指出下列函数关系式中自变量x的取值范围：
（1） y = 2x -1 （2） y = （3） y =
2． 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
（1） 写出表示y与x 的函数解析式．
（2） 指出自变量x 的取值范围．
（3） 汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？
学生活动：学生先试着独立完成，遇到困难后进行小组讨论．第一题由学生口答，并归纳要注意的地方。第二题一生板演，规范解题步骤。学生有不同意见可以去黑板板演。
师生互动：在集体订正时，要求学生从不同的角度说明是如何确定自变量的取值范围的，教师还要引导学生归纳总结：如何确定函数解析式和实际问题中自变量的取值范围．
设计意图：让学生掌握确立函数自变量的取值范围方法，明确需要注意的地方，体会函数与现实生活的联系，同时将数学新旧知识进行融会贯通．
活动四
教师活动：出示成果展示题目，检测学生的学习情况．
一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h?(cm)随燃烧的时间 t（小时）变化．
（1） 指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式，确定自变量的取值范围．
（2）若剩下的蜡烛长度为10cm，则蜡烛燃烧了多少小时？
学生活动：学生独立完成本题，一生板演解题过程，集体订正．
设计意图：通过解决实际问题，掌握确立函数解析式、确定自变量取值范围的一般方法，加深学生对函数概念的理解，体会函数意义。
活动五
总结反思：你这节课有什么收获？
设计意图：让学生充分发表自己的意见，然后相互补充，让学生说一说本节课我有哪些收获，培养学生的归纳总结能力．
活动六
补偿提高
1． 下列各曲线中y不是x的函数的是（ ）．
2． 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）．
（A） |y| = x (B) y = x2 (C) y = (D) y =
3． 某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年再增加2万元，年产值y (万元)与年数x 的函数关系式是_________，其中自变量的取值范围是 ___________．
4． 寻找生活中蕴涵的函数关系事例，编一道数学题，指出其中的自变量与函数，确定函数解析式及自变量的取值范围．
设计意图：教师根据时间情况灵活处理．前三题作为补偿提高的形式出现，第四题是一道应用题，目的是让学生进一步体会数学与实际的联系．
板书设计
14．1．2 函数
函数解析式 自变量 函数 函数值
s = 60 t t s t =2 s =120
l =10+0.5m m l m =1 l =10.5
