高中数学专练：平面向量

平面向量板块测试
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(12×5′＝60′)
1.下列五个命题：①|a=;②;③;④;
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
2.若=3e,=-5e且||=|，则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形
3.将函数y=sinx按向量a＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( )
A.y′=sin(x′-1)-1 B.y′=sin(x′+1)-1
C.y′=sin(x′+1)+1 D.y′=sin(x′-1)+1
4.若有点(4，3)和(2，-1)，点M分有向线段的比λ＝-2，则点M的坐标为 ( )
A.(0，-) B.(6，7) C.(-2，-) D.(0，-5)
5.若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是 ( )
A.a=0或b=0 B.|a|=|b| C.ab=0 D.以上都不对
6.若|a|=1，|b|=2，|a+b|=，则a与b的夹角θ的余弦值为 ( )
A.- B. C. D.以上都不对
7.已知a=3-4,b=(1-n)+3n,若a∥b则n的值为 ( )
A.- B. C.4 D.2
8.平面上三个非零向量a、b、c两两夹角相等，|a|=1，|b|=3,|c|=7,则|a+b+c|等于 ( )
A.11 B.2 C.4 D.11或2
9.等边△ABC中,边长为2,则·的值为 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
10.已知△ABC中，，则∠C等于 ( )
A.30° B.60° C.45°或135° D.120°
11.将函数y=f (x)cosx的图象按向量a=(,1)平移，得到函数的图象，那么函数f (x)可以是 （ ）
A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx
12.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ( )
A.3x+2y-11=0 B. C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(4×4′＝16′)
13.已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,则a在b上的投影为 .
14.设a=(-4,3),b=(5,2),则2|a-ab＝ .
15.已知a=(6,2),b=(-4,),直线l过点A(3,-1)?,且与向量a+2b垂直，则直线l的一般式方程是 .
16.把函数的图象按向量a平移后，得到的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b= .
三、解答题(5×12′+14′＝74′)
17.若向量a的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求：
(1)向量a的模.
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
18.设两向量、满足||=2，||=1,、的夹角为60°，若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
19.已知向量a=(,),b=(,),且x∈［-,］.
（1）求a·b及|a+b|;
（2）若f (x)=a·b-|a+b|,求f (x)的最大值和最小值.
20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|.
(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程；
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设=+，求证：四边形OAPB为矩形.
21.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且=3，P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.
22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用4 km/h的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.
(1)起初，两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t h后两人的距离.
(3)什么时候两人的距离最短?
参考答案
1.B 由向量的数量积的定义即知.
2.C ∵AB∥CD,且AD=BC,AB≠CD,故选C.
3.A 点(x,y)按向量a＝（1，-1）平移后的点(x′,y′)，
∴ 即
∴y′+1＝sin(x′-1),即y′=sin(x′-1)-1.
4.D 设点M(x,y)，∴
∴点M的坐标为(0,-5).
5.C 设a=(,)，b=(,)，由|a+b|=|a-b|，
得，即＋＝0.
又a·b=＋，∴ab＝0.
6.B |a+b|=,
∴7=1+4-4cosα即cosα=-，∴a与b的夹角θ的余弦值为.
7.A ∵a=(3,-4),b=(1-n,3n),∴9n=-4(1-n),∴n=-,故选A.
8.D 若两两夹角为0°,则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=11;
若两两夹角为120°,则
|a+b+c=|a+|b+|c+2|a||b|cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120°
=1+9+49+2×(-)×(1×3+3×7+1×7)=28,|a+b+c|=2.
9.D ·=·cos120°=-2.故选D.
10.C 由，
得，
∴=±ab=2abccosC，∴cosC=±,∴C=45°或135°.
11.D 由平移公式，应有.
即 ,∴f (x)=2sinx.
12.D 设C(x,y),∵=α+β,
∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
∴ 又∵α+β=1,∴x+2y-5=0.
13. ∵a·b=|a|·|b|·cosθ,∴a在b上的投影为.
14.57 2|a-·a·b=2(16＋9)- (-20+6)=50+7=57.
15.2x-3y-9=0 设l的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线l与向量a+2b垂直，即-2m+3n=0,直线l的斜率k=,直线l的方程为y+1=(x-3),即2x-3y-9=0.
16.(3,-1) ,
∴a=(-1,-3),
设b=(,),则.
17.解 (1)a＝＝（2，1）-（-2，4）=（4，－3），∴|a|＝.
(2)与a平行的单位向量是±＝±(4，-3)=(，-)或(-，).
(3)设与a垂直的单位向量是e=(m,n)，则a·e＝4m-3n＝0,∴.
又∵|e|＝1，∴.解得m=,n=或m=-,n=-.
∴e＝(，)或(-，-).
18.解 =4,=1,=2×1×cos60°=1,
∴(2t+7)·(+t)=2t+(2+7) ·+7t=2+15t+7.
∴2+15t+7<0,∴-7设2t+7=λ(+t)(λ<0) 2=7t=-,
∴λ=-.
∴当t=-时，2t+7与+的夹角为π,
∴t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).
19.解 (1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x.
|a|=|b|=1,设a与b的夹角为θ，
则cosθ=.
∴|a+b=+2a·b+=1+2×1×1·cos2x+1=2+2cos2x=4cos2x,
又x∈［-,］,cosx>0,∴=2cosx.
(2)f (x)=cos2x-2cosx=2.
∵x∈［-,］,∴≤cosx≤1.
∴当cosx=时，f (x)取得最小值-;当cosx=1时，f (x)取最大值-1.
20.(1)解 由已知|a|=|b|，即,
整理得 ①
(2)证明 由已知只需证⊥即可，即证·=0.
设A (,),B (,), 当l⊥x轴时，A (4,4),B (4,-4),∴+=0,即⊥.
当l不与x轴垂直时，设l的斜率为k，l的方程为y=k(x-4)(k≠0)， ②
将②代入①得.
∴,=16.
=.
∴+=0,∴⊥.故得证.
21.解 如图，M分的比λ＝3，则M的坐标为
由，得.
又∵，∴.
∴，即P分所成的比λ＝2.
则M(3，6)，P(4，-)为所求.
22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A、B，
则由余弦定理＝－2×3×1×＝7.
所以甲、乙两人的距离是AB＝km.
(2)设甲、乙两人t h后的位置分别是P、Q，则AP＝4t,BQ＝4t.
当0≤t≤时，由余弦定理得，
当t>时，.
注意到上面两式实际上是统一的，所以
即PQ＝.
(3)∵，∴当t=时，PQ的最小值是2.即在第15 min末PQ最短.