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2024年中考数学6月定心模拟考试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 单项式的系数、次数分别为（ ）
A. 5和3 B. 5和5 C. ﹣5和3 D. ﹣5和5
3. 某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A 繁 B. 荣 C. 昌 D. 盛
4. 正十二边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 1800° C. 1440° D. 1080°
5. 分式有意义的条件是（ ）
A. x＝－3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≠0
6. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
7. 一个三角形两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则的长是（ ）
A. 2π B. π C. D.
9. 如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______．
12. 一组数据，，，，的方差为______．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．
14. ⊙的半径为5，弦的长为8，是弦上的动点，则线段长的最小值为______.
15. 如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、……在射线ON上，点B1、B2、B3、……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为__________
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16. 计算：．
17. 如图，已知中，．
（1）作边的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，则的周长为______．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18. 化简求值：，其中．
19. 我校文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖，为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分人数是______名，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是______．
（3）调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．
20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示；
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，）
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
22. 如图，将矩形沿对角线翻折，点落在处，交于点．
（1）过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形；
（2）若，求线段的长．
23. 一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
25. 如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
（3）在（2）条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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2024年中考数学6月定心模拟考试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
【详解】解：A、是小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、无理数，故本选项符合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 单项式的系数、次数分别为（ ）
A. 5和3 B. 5和5 C. ﹣5和3 D. ﹣5和5
【答案】D
【解析】
【分析】由单项式的系数，次数的概念，即可选择．
【详解】解：单项式系数、次数分别是和，
故选：D．
【点睛】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
3. 某正方体平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A. 繁 B. 荣 C. 昌 D. 盛
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方形的展开图是解题的关键．根据正方形的展开图找到对立面即可得到答案．
【详解】解：正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是“盛”，
故选：D．
4. 正十二边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 1800° C. 1440° D. 1080°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可得答案.
【详解】解：根据多边形的内角和公式为(n-2)180°,所以十二边形的内角和为(12-2)180°=1800°，
故本题正确答案为B.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式.
5. 分式有意义的条件是（ ）
A. x＝－3 B. x≠－3 C. x≠3 D. x≠0
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
即分式有意义的条件是，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
6. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
平移后抛物线的解析式为．
故选：D．
7. 一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【详解】解：设第三边的长为，
由三角形的三边关系可得，
即，
所以它的第三边的长可能是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
8. 如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则的长是（ ）
A. 2π B. π C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵点A、B、C都在⊙O上，∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=2，
∴=
故选：C．
9. 如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等边对等角”、三角形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．设交于点，由，且，得，则，由，得，而，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，
，，
，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可．
【详解】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG；
②正确．因为：EF=DE=CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
所以BG=3=6﹣3=GC；
③正确．
因为CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF；④错误．
过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误，
故选：C．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟记关于轴对称的点的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵点关于轴对称，
∴该对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 一组数据，，，，的方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求方差，先求出这组数据的平均数，再由方差的公式计算即可得出答案．
【详解】解：这组数据的平均数是：，
则方差是：．
故答案为：．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系“时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
14. ⊙的半径为5，弦的长为8，是弦上的动点，则线段长的最小值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据点O与AB上的点的距离中垂线段最短，利用垂径定理、勾股定理即可求得最小值．
【详解】由题意知，点O与AB上的点的距离中，垂线段最短；因此OM的最小值为O到AB的距离，此时M为AB的中点，OM⊥AB，则AM=，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，解题关键是构造直角三角形，然后根据勾股定理求解.解题时注意最小值为点到直线距离是垂线段的长.
15. 如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、……在射线ON上，点B1、B2、B3、……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为__________
【答案】22019
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…则△An-1BnAn+1的边长为 2n-1，即可得出答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△An-1BnAn+1的边长为 2n-1．则△A2019B2019A2020的边长为22019.
故答案是22019．
【点睛】本题考查等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案．
【详解】解：
．
17. 如图，已知中，．
（1）作边的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，则的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，证明得出，然后利用线段等量代换和三角形周长公式计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：即所求；
【小问2详解】
解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：13．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18. 化简求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式、多项式除以单项式去括号，再合并同类项即可化简，代入计算即可得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 我校文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖，为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分人数是______名，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是______．
（3）调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．
【答案】（1）60，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图圆心角度数、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据级的人数和所占的百分比即可求解，再求出级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用乘以级所占的比例即可；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次被抽取的部分人数是（名）．
级的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
【小问2详解】
解：扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是．
【小问3详解】
解：列表如下：
甲 乙 丙
甲
（甲，乙） （甲，丙）
乙 （乙，甲）
（乙，丙）
丙 （丙，甲） （丙，乙）
共有6种等可能的结果，其中丙被选中的结果有：（甲，丙），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共4种，
丙被选中的概率为．
20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示；
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键．
（1）根据题意过点O向下的箭头延长与过点P的水平延长线相交，再利用互余关系即可解答；
（2）设，则，得到，在中， ，得到，解方程即可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
由题意知在中，，则，即．
【小问2详解】
解：设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即，
解得：，
∴．
答：气球A离地面的高度是．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元．
【解析】
【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得，
解得：，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
【小问2详解】
解：由题意可得，，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最小值，
此时，，
即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键．
22. 如图，将矩形沿对角线翻折，点落在处，交于点．
（1）过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形；
（2）若，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据翻折性质可得，进而可以解决问题；
（2）先用矩形和折叠的性质证明，，设，则，根据勾股定理列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，
，
将矩形沿对角线翻折，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：由矩形的性质可知：，
将矩形沿对角线翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
23. 一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【小问1详解】
将代入，
得，，
∴,
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
【小问2详解】
联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得:当时，；
【小问3详解】
①当时，轴，
∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．
试题解析：（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA．
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径， ∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62， 解得x=．
则EC=2x=．
25. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，，或．
【解析】
【分析】（1）设二次函数的解析式为，化为一般式对照条件中的解析式可求出，从而得解；
（2）当A，P，C三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可；
（3）先求出直线的解析式，然后设出点F、E的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，分情况列等式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，设二次函数的解析式为，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令，代入得，
∴点，
设直线AC的解析式为，将点A、C坐标代入得，
，
解得，
则直线AC解析式为，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解： 由题可知点，点，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线BP上，
则设点的坐标为，点
已知以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点，点，
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
当为对角线时，，解得
点的坐标为；
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
综上可得，在直线BP上存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题、平行四边形存在性问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键．
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