2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（　　）
A．i B．1 C． D．
3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（　　）
A．y＝0 B．4x﹣3y＝0 C． D．
4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（　　）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
6．（5分）△ABC中，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知椭圆的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不必要也不充分条件
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知向量，其中x∈R，下列说法正确的是（　　）
A．若，则x＝6
B．若与夹角为锐角，则x＜6
C．若x＝1，则在方向上投影向量为
D．若
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3
B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3
D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于对称
C．f（x）在[0，2π]上有四个零点
D．f（x）的值域为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（　　）
A．sinα＞tanβ B．∠AEF＝∠BEF C．∠AEB＜90° D．α＜2β
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）展开式中x2y3的系数为 　 　（用数字作答）
14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝　 　．
15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2， ，xn， ，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为 　 　．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足．
（1）求an；
（2）设，设数列{bn}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求证：B＝C；
（2）若asinC＝2，求的最大值．
19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；
（2）当时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．
21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若Pi（i＝0，1， ，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2， ，5）为等比数列．
22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若，求△PQE周长的取值范围．
2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，
集合B为函数y＝x2图象的点集，
两函数的图象有三个交点，
所以A∩B的元素个数为3个．
故选：C．
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（　　）
A．i B．1 C． D．
【解答】解：，其虚部为．
故选：D．
3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（　　）
A．y＝0 B．4x﹣3y＝0 C． D．
【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（﹣2，﹣1），半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线．
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，
另两条切线与直线MN平行且相距为1，，
设切线，则，
解得（或通过斜率排除）．所以D项不正确．
故选：D．
4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，
∴△PAB是等腰三角形，
由余弦定理可得，，
由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，
取AC中点D，连接PD、OD，
显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°，
∴，则，
∴．
故选：B．
5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（　　）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【解答】解：f′（x）＝5x4+an+1cosx﹣（2an+3），
易知函数f′（x）为偶函数，
又f′（x）有唯一零点，
则必有f′（0）＝an+1﹣（2an+3）＝0，
即an+1＝2an+3，
则有an+1+3＝2（an+3），
所以数列{an+3}是以2为公比的等比数列，
又a1＝1，
则，
所以．
故选：A．
6．（5分）△ABC中，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，，
在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，
当2A+B＝2π时，，故A+B＞π，不合要求，舍去，
所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，
因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即，
因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以，
由正弦定理得，
故，
因为A∈（0，π），所以sinA≠0，
故，
因为，所以2cosA﹣1＞0，
故，
因为，所以，2cosA∈（1，2），2cosA+1∈（2，3），
故．
故选：B．
7．（5分）已知椭圆的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不必要也不充分条件
【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆上的动点，c为椭圆的半焦距，
此时F1（﹣c，0），
所以
，
不妨设直线，
则点M到直线l的距离为，
所以，
设直线MF1的倾斜角为γ，过M作l的垂线，垂足为S，
此时，
所以，
不妨设，
此时，
同理的，
设AF1的倾斜角为θ，
可得，，
因为AF1∥BF2，
所以，
此时，
则，
同理，，
所以，
则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为，短半轴长为，
则P的轨迹方程为，其中y＞0，
令，，
因为，
所以不是定值，
即即β不是定值，
故“当α取定值，β是定值”不符合条件，
又直线ST的参数方程为，
设S（x0+t1cosα，y0+t1sinα），T（x0+t2cosα，y0+t2sinα），
因为，
整理得，
由韦达定理得，
因为|PS|＝β|PT|，
此时，
整理得，
若β为定值，则为定值，
因为，
所以当P（x0，y0）变化时，始终为定值，
又
则且，但α≠0，α∈（0，π），
解得，
所以
，
但此时随的变化而变化，不是定值，
则“当β取定值，α是定值”是错误的．
故选：D．
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为点P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和图象上的动点，
不妨设P（k，akek﹣ln（ak）），（a，k＞0），Q（t，，（t＞1），
可得|PQ|2＝（t﹣k）2+[（akek﹣ln（ak））]
，
不妨设h（t）＝t，函数定义域为（1，+∞），
可得，
不妨设u（t）＝t 2ln（t﹣1），函数定义域为（1，+∞），
可得，
所以函数u（t）在定义域上单调递增，
因为u（2）＝0，
所以函数h（t）在t＝2时取得极小值即最小值，
此时h（2）＝2，
不妨设v（k）＝akek﹣ln（ak）﹣k，函数定义域为（0，+∞），
可得，
易知函数在区间（0，+∞）上单调递增，
所以存在 k0＞0，
使得，
即，
解得k0＝﹣ln（ak0），
所以函数v（k）在k＝k0 时取得极小值即最小值，
此时v（k0）＝1+k0﹣k0＝1，
则，
解得，
因为对任意a＞0，都有|PQ|≥m恒成立，
所以，
即m的最大值为．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知向量，其中x∈R，下列说法正确的是（　　）
A．若，则x＝6
B．若与夹角为锐角，则x＜6
C．若x＝1，则在方向上投影向量为
D．若
【解答】解：，
若，则，解得x＝6，故A正确；
若与夹角为锐角，则，解得x＜6，
又当，，此时，与夹角为0，
故x的取值范围为（﹣∞，）∪，故B错误；
若x＝1，则，
因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，
所以在方向上投影向量为，C正确；
∵，
∴，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3
B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3
D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6
【解答】解：A．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b，f″（x）＝6x+2a，
令f″（x）＝6x+2a＝0，解得x，
∵函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，∴1，解得a＝﹣3，因此A正确．
B．c＝0时，原点（0，0）在函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象上，因此过原点有一条切线；
若切点不是原点时，设切点为P（x0，f（x0））（x0≠0），
则切线方程为y﹣（abx0）＝（32ax0+b）（x﹣x0），
把（0，0）代入可得：x0，若a＝0，则函数f（x）过原点的切线有且仅有一条；
若a≠0，则函数f（x）过原点的切线有两条．因此B不正确．
C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减 f′（x）＝3x2+2ax+b＝3bg（x）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其对称轴为x．
分类讨论：或或 2a﹣b≥3，因此C正确．
D．f′（x）＝3x2+2ax+b，由实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，则Δ＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0，
∴x1+x2，x1x2，
∵x1+x2＝x1x2，
∴，化为b＝﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a＜﹣6，因此D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于对称
C．f（x）在[0，2π]上有四个零点
D．f（x）的值域为
【解答】解：对于A，函数y＝2sinx的最小正周期为2π，函数y＝|sin2x|的最小正周期为，
所以函数f（x）＝2sinx+|sin2x|的最小正周期为2π，选项A正确；
对于B，f（﹣x+π）＝2sin（﹣x+π）+|sin2（﹣x+π）|＝2sinx+|sin（﹣2x）|＝2sinx+|sin2x|＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线对称，选项B正确；
对于C，当时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx），易知此时f（x）有唯一零点x＝0；
当时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx），易知此时f（x）有唯一零点x＝π；
当时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx），易知此时f（x）无零点；
当时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx），易知此时f（x）有唯一零点x＝2π，
所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；
对于D，当时，y＝2sinx取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为﹣2；
由选项C的分析可知，当x∈（π，2π]时，f（x）＜0，当x∈[0，π]时，f（x）＞0，而f（x）关于直线对称，
故可考虑时，f（x）＝2sinx+sin2x的取值情况，f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2（2cos2x﹣1）+2cosx＝4cos2x+2cosx﹣2，
令f′（x）＝0，解得cosx＝﹣1（舍）或，则，
易知当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以此时，，
综上，函数f（x）的值域为．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（　　）
A．sinα＞tanβ B．∠AEF＝∠BEF C．∠AEB＜90° D．α＜2β
【解答】解：作AD⊥x轴于D，作BC⊥x轴于C，
所以D（x1，0），C（x2，0），抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
因为y1＞2，所以x1＞1，即α＜90°，所以直线l的斜率存在设为k，
可得直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，
整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2，x1x2＝1，4x1，
对于A，sinα，tanβ，所以sinα＝tanβ，故A错误；
对于B，因为kAE，kBE，
所以kAE+kBEk0，
所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF＝∠BEF，故B正确；
对于C，因为x1＞1，所以tanβ1，即∠AED＜45°，
因为∠AEF＝∠BEF，所以∠AEB＜90°，故C正确；
对于D，因为∠AEB＜90°，所以0°＜2β＜90°，
tanα，tanβ，
所以tan2β，
所以tanα﹣tan2β0，
所以tanα＜tan2β，即α＜2β，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）展开式中x2y3的系数为 　﹣20　（用数字作答）
【解答】解：的展开式的通项为，
取r＝3得到．
故答案为：﹣20．
14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝　0.48　．
【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣2P（ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，
故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，
则X～B（3，0.2），
故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48．
故答案为：0.48．
15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2， ，xn， ，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为 　2　．
【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，
又f（x）关于直线x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x），
所以f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，
作出函数y＝f（x）和y＝x+1的图像如图所示：
由f（x）＝x+1的正数解依次为x1，x2， ，xn， ，
则的几何意义为函数f（x）两条渐近线之间的距离为2，
所以．
所以得任意的n∈N，|xn+1﹣xn|＜2，
已知任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，
可得M≥2，即M的最小值为2．
故答案为：2．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为 　　．
【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD＝θ（0＜θ），，
在Rt△ADB中，可得∠BAD＝θ，AD．
在△BCD中，CD＝2BCsin4．
设△BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，
由正弦定理可得2r，即r．
设三棱锥A﹣BCD外接球球心为O，则OM⊥平面BCD．
又∵平面ADB⊥平面BDC，平面ADB∩平面BDC＝BD，∠ADB＝90°，
∴AD⊥平面BDC，则AD∥OM，得四边形OMDA为直角梯形．
设外接球的半径为R，在平面四边形OMDA中，过O作OE⊥AD于E，
在△AOD中，AO＝DO＝R，E为AD的中点，OM＝DEAD，
由DO2＝DE2+OE2，得R2＝DE2+r2，
∴．
令3﹣2cosθ＝t，1＜t＜3，则cosθ，
∴，
∵t，当且仅当t，即t时（满足1＜t＜3）等号成立．
∴．
∴外接球表面积的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足．
（1）求an；
（2）设，设数列{bn}的前n项和为Tn，若对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当n＝1时，，∴a1＝1，
当n≥2时，，
即，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
由已知，数列{an}各项均为正数得an﹣an﹣1＝2，
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1，
则，
∴，
∴，
∴{Tn}单调递增，∴，
∵，∴，
要使恒成立，只需，解得．
所以实数m的取值范围是．
18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求证：B＝C；
（2）若asinC＝2，求的最大值．
【解答】解：（1）证明：由于，所以，
整理的cosA（sinBcosC﹣cosBsinC）＝0，即cosAsin（B﹣C）＝0，
因为A为锐角，所以cosA＞0，
故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；
（2）由（1）得b＝c，
因为asinC＝2，且由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝2，
所以，，
则，
因为，所以，则，所以﹣1＜cos2B＜0，
根据二次函数的性质可知，当时，（*）取得最大值．
19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围．
【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，
在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，
∴AC⊥DM，
在正△ABC中，M为AC的中点，
∴AC⊥BM，
∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM 平面BDM，
∴AC⊥平面BDM，
又BD 平面BDM，∴AC⊥BD．
（2）解：∵AC⊥平面BDM，
在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），，，，
设平面BB1C1C的法向量为，，，
则有，，即，可得令y，x＝﹣3，z，
即（﹣3，，），
又，
∴，
∵，∴，
∴．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；
（2）当时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f'（x）＝ex﹣sinx，令g（x）＝ex﹣sinx，x≥0，则g'（x）＝ex﹣cosx．
当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；
当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．
故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，
故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．
（2）令h（x）＝ex+cosx﹣2﹣ax，h'（x）＝ex﹣sinx﹣a，则时，x h（x）≥0恒成立．
当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，
所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x h（x）≥0恒成立；
若，则h''（x）＝ex﹣cosx，
h'''（x）＝ex+sinx在上为增函数，
又h'''（0）＝1，，
故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．
当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；
x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．
又，h''（0）＝0，
故存在唯一使得h''（x1）＝0．
故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；
x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．
又，h'（0）＝1﹣a≥0，
所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，
故h（x）≤h（0）＝0，即x h（x）≥0恒成立；
当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝ex﹣sinx﹣a在[0，+∞）上为增函数，
且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，
故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．
则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，
所以h（x）＜h（0）＝0，此时x h（x）＜0，与x h（x）≥0恒成立矛盾．
综上所述，a≤1．
21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若Pi（i＝0，1， ，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2， ，5）为等比数列．
【解答】解：（1）X的所有可能取值为2，3，4，
P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.5，P（X＝4）＝0.3，
则X的分布列为：
X 2 3 4
P 0.2 0.5 0.3
E（X）＝2×0.2+3×0.5+4×0.3＝3.1．
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为：0.0405．
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为：0.012，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012＝0.0525．
（3）因为Pi（i＝0，1，2，3，4，5，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，
在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，
在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，
在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，
根据全概率公式得P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，
所以P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3（P2﹣P1）＝0.2（P1﹣P0），因为P1﹣P0＞0，
所以，同理可得，
所以{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2， ，5）为等比数列．
22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若，求△PQE周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为直线x﹣y＝0、x+y＝0相互垂直，
所以四边形OAMB为矩形，
设M（x，y），且，可得x＜0，
则点M到直线x﹣y＝0、x+y＝0的距离分别为、，
可得，
整理得x2﹣y2＝4（x＜0），
所以C的方程为x2﹣y2＝4（x＜0）．
（2）设直线PQ：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程，消去y得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣（m2+4）＝0，
由题意可得：，①
因为，
则，
整理得，
即，
整理得，
解得或，
若，
则直线，过定点，
此时①式为，无解，不符合题意；
当时，则直线，过定点，
此时①式为，
解得k2＞1，即k＞1或k＜﹣1，
则，
因为k2＞1，
则k2﹣1＞0，
可得，
所以，
又因为E，F为双曲线x2﹣y2＝4的左、右焦点，
则|PE|﹣|PF|＝4，|QE|﹣|QF|＝4，
即|PE|＝|PF|+4，|QE|＝|QF|+4，
可得△PQE周长为|PE|+|QE|+|PQ|＝|PF|+4+|QF|+4+|PQ|＝2|PQ|+8＞16，
所以△PQE周长的取值范围（16，+∞）．
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