2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知i为虚数单位，z＝1+i，则z2﹣|z|2＝（　　）
A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+2
2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，则M∩N＝（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]
3．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝3，且S8＝a8，则a19＝（　　）
A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣22
4．（5分）已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（5分）小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝2|OD|，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2
C． D．f（x﹣2）是奇函数
8．（5分）已知实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，则满足条件的y的最小值为（　　）
A．1 B．e C．2e D．e2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，则（　　）
A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）绕点O逆时针旋转α后到达点Q（x0，y0），若，则x0可以取（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2＝8上的动点，直线x+y＝4与x轴和y轴分别交于A，B两点，若△PAB为直角三角形，则点P的坐标可以是（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C． D．
（多选）12．（5分）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（　　）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 　 　条件．
14．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 　 　．
15．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，，BD＝2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为 　 　．
16．（5分）若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集．已知集合，记An的超子集的个数为an，则a9＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E为CD的中点，F为AD的中点．
（1）证明：BD⊥平面PEF；
（2）求三棱锥B﹣PCE的体积．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，，求△ABC周长的最大值．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）解关于n的不等式：．
20．（12分）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一支球队．假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负．
（1）若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少？
（2）若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响．若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值．
21．（12分）设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP| |EQ|＝|ER| |ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．
（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，证明：．
2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知i为虚数单位，z＝1+i，则z2﹣|z|2＝（　　）
A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+2
【解答】解：z＝1+i，
则z2＝（1+i）2＝2i，，
故z2﹣|z|2＝2i﹣2＝﹣2+2i．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，则M∩N＝（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]
【解答】解：0＜ln（x+1）＜3，
则ln1＜ln（x+1）＜lne3，
故1＜x+1＜e3，解得0＜x＜e3﹣1，
所以N＝{y|y＝sinx，x∈M}＝（y|﹣1≤y≤1}，
故M∩N＝（0，1]．
故选：C．
3．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝3，且S8＝a8，则a19＝（　　）
A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣22
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝3，且S8＝a8，
所以8×3+28d＝3+7d，
所以d＝﹣1，
则a19＝a1+18d＝3﹣18＝﹣15．
故选：A．
4．（5分）已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在方向上的投影向量为：
||cos||
（），
即（），故（），
则||3．
故选：B．
5．（5分）小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：基本事件共120种，
三次点数之和不大于8包括{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}共424种，
故P．
故选：D．
6．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝2|OD|，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为yx，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
由F1作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：|DF1|＝b，|OD|a，
∴|DF2|＝2a，
由cos∠F1OD＝﹣cos∠DOF2可得：0，
可得c2＝5a2，则离心率e．
故选：C．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2
C． D．f（x﹣2）是奇函数
【解答】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，
即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；
由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），
即为f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，故B错误；
由f（）＝f（4）＝f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣1，故C错误；
由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，则满足条件的y的最小值为（　　）
A．1 B．e C．2e D．e2
【解答】解：由实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，可化为ex＝yln（xy）（x＞0，y＞0，xy＞1），即xex＝xyln（xy）＝ln（xy） eln（xy），
构造函数g（x）＝xex，（x＞0），g′（x）＝（x+1）ex，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
即g（x）＝g（ln（xy）），可以得到x＝ln（xy），
从而，构造函数，
，令h′（x）＝0可以得到x＝1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
从而当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝e，即y有最小值e．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，则（　　）
A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0
【解答】解：对于A，因为x＞y＞0，所以x2＞y2，即选项A正确；
对于B，不妨取x＝2，y＝1，则x2﹣x＝4﹣2＝2，y2﹣y＝1﹣1＝0，此时x2﹣x＞y2﹣y，即选项B错误；
对于C，因为函数y＝2x单调递增，所以2x＞2y，即选项C正确；
对于D，不妨取x＝2，y，则lnx+lny＝ln（xy）＝ln（2）＝ln1＝0，即选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）绕点O逆时针旋转α后到达点Q（x0，y0），若，则x0可以取（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以2cos（α），即cos（α），
当α是第二象限角时，sin（α），
所以cosα＝cos[（α）]＝cos（α）cossin（α）sin，
所以x0＝cosα；
当α是第三象限角时，sin（α），
所以cosα＝cos[（α）]＝cos（α）cossin（α）sin（），
所以x0＝cosα，
综上，x0的可能取值为或．
故选：AD．
（多选）11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2＝8上的动点，直线x+y＝4与x轴和y轴分别交于A，B两点，若△PAB为直角三角形，则点P的坐标可以是（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C． D．
【解答】解：由题可得A（4，0），B（0，4），设P（x，y），
当∠PAB为直角时，，，
∴，
即（x﹣4）×（﹣4）+4y＝0，即x﹣y﹣4＝0，
又x2+y2＝8，∴，∴此时P（2，﹣2）；
当∠ABP为直角时，，，
∴0，
即（﹣4）x+4（y﹣4）＝0，即x﹣y+4＝0，
又x2+y2＝8，∴，∴此时P（﹣2，2）；
当∠APB为直角时，，，
∵，
即x（x﹣4）+y（y﹣4）＝0，即x2﹣4x+y2﹣4y＝0，
又x2+y2＝8，∴或，∴此时P（1，1）或（，1）．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（　　）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则的取值范围是
【解答】解：A：由题可得DC∥AB，AB 面ABB1A1，DC 面ABB1A1，故DC∥面ABB1A1；
又CC1∥BB1，BB1 面ABB1A1，CC1 面ABB1A1，故CC1∥面ABB1A1；
DC∩CC1＝C，DC，CC1 面DCC1D1，故面DCC1D1∥面ABB1A1；
又DM 面DCC1D1，故DM∥面ABB1A1；
又DM 面DMN，面DMN∩面ABB1A1＝NR，故可得DM∥NR，故A正确；
B：根据题意，DB1，MN共面，
又M、N分别为CC1，AA1上的动点，故直线MN 面ACC1A1；
不妨设直线DB1与平面ACC1A1的交点为P，
若要满足DB1与MN共面，则直线MN必过点P，又P为定点，故B正确；
C：设△ABQ的周长为l，
当点Q与B1重合时，；
当点Q与A1B1中点重合时，连接BQ，AQ：
此时l＝AB+BQ+AQ＝AB+2BQ＝66+26+10＝16；
显然△ABO周长不为定值，故C错误；
D：过O作底面垂线，垂足为E，且在下底面圆周上，即QE⊥面ABCD，
连接BE，AE，则∠QBE，∠QAE分别是直线QA，QB与下底面所成的角，
∴sinα，cosα，sinβ，cosβ，
则，，
则，
∵QE＝4，AB＝6，底面圆半径为2，
若E在AB对应优弧上时，∠AEB，则cos∠AEB，
∴AE2+BE2﹣AE BE＝36，当且仅当AE＝BE＝6时，等号成立，此时AE2+BE2≤72，
若E在AB对应劣弧上时，∠AEB，则cos∠AEB，
∴AE2+BE2+AE BE＝36，当且仅当AE＝BE＝2时等号成立，
此时AE2+BE2≥24，
综上24≤AE2+BE2≤72，，
故∈[，]，故 D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 　充分不必要　条件．
【解答】解析：x2﹣1＞0 x＞1或x＜﹣1，故x＜﹣1 x2﹣1＞0，
但x2﹣1＞0不能得出x＜﹣1，
∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
14．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 　9　．
【解答】解：由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有500×0.6＝300人，喜欢徒步的女生有450×0.4＝180人．
故喜欢徒步的总人数为300+180＝480人．
按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为人．
故答案为：9．
15．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，，BD＝2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为 　20π　．
【解答】解：如图所示：
三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，
所以BD⊥BC，
故BD⊥平面ABC，
故AB⊥BD，
∠BCA＝45°，，BD＝2，
在△ABC中，有2R，
所以外接圆的半径为2，
由于平面BCD⊥平面ABC，且其交线为BC，
所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，
所以三棱锥D﹣ABC的外接球的半径为r，
故外接球的表面积．
故答案为：20π．
16．（5分）若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集．已知集合，记An的超子集的个数为an，则a9＝　79　．
【解答】解：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N*）的超子集可以分为两类：
第一类中不含有k+2，这类子集有ak+1个，
第二类子集中含有k+2，这类子集为{1，2，3，．…，k}的超子集与{k+2}的并集，共有ak+k个，
∴ak+2＝ak+1+ak+k，
∵a3＝1，a4＝3，
∴a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79．
故答案为：79．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E为CD的中点，F为AD的中点．
（1）证明：BD⊥平面PEF；
（2）求三棱锥B﹣PCE的体积．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，
因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又因为E为CD的中点，F为AD的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，
因为PA＝PD，F为AD的中点．所以PF⊥AD，
又因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PF⊥平面ABCD，
又因为BD 平面ABCD，所以PF⊥BD，
且EF∩PF＝F，EF 平面PEF，PF 平面PEF，
所以BD⊥平面PEF．
（2）解：AB＝BC＝4，CECD＝2，∠BCE＝60°，
所以S△BCEBC CE sin60°4×22，
又因为PA＝PD＝AD＝4，所以PFAD＝2，
所以三棱锥B﹣PCE的体积为：
V三棱锥B﹣PCE＝V三棱锥P﹣BCES△BCE PF224．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，，求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1），
函数的最小正周期为，
由，得，
即函数f（x）的单调递增区间为；
（2）∵，
∴，
因为，
所以，
所以，
∴，
又a＝2，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccosA＝bc，
即（b+c）2﹣2bc﹣4＝bc，
则4，则，
∴b+c≤4，
∴a+b+c≤6，
所以△ABC周长最大值为6．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）解关于n的不等式：．
【解答】解：（1）由知当n≥2，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，
二式相减得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
又S1＝2a1﹣1＝a1，解得a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n﹣1；
（2）结合（1）知原式＝1222232n（1+2）n＝3n，
由于3n随着n的增大而增大，
且36＝729＜2023，37＝2187＞2023，
所以正整数n最大可取6，
即原不等式的解集为{n|n≤6，n∈N*}．
20．（12分）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一支球队．假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负．
（1）若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少？
（2）若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响．若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值．
【解答】解：（1）依题意，记丁队进入复赛的事件为A，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件A1，
第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件A2，甲队战胜乙队记为事件B，
则P（A1）＝0.6，P（B）＝0.6，P（）＝0.4，，
因此0.6×0.5+0.4×0.4＝0.46，
所以P（A）＝P（A1）P（A2）＝0.6×0.46＝0.276．
（2）依题意，X的可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的概率分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为．
21．（12分）设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP| |EQ|＝|ER| |ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），
直线AB的方程yx，
由，得x2﹣2py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2＝2p，x1x2＝﹣p2，
所以|x1﹣x2|2p，
所以S△AOB|OF||x1﹣x2|2p＝2，p＞0，
所以p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）存在λ＝1，使得k1+λk2为定值，
由题意可得直线l1的方程y＝k1x+2，直线l2的方程为y＝k2x+2，
联立，得x2﹣4k1x﹣8＝0，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
所以x3+x4＝4k1，x3x4＝﹣8，
|EP||x3|，|EQ||x4|，
所以|EP| |EQ|＝8（1），
设R（x5，y5），S（x6，y6），
同理可得x5+x6＝4k2，x5x6＝﹣8，
所以|ER| |ES|＝8（1），
由|EP| |EQ|＝|ER| |ES|，得8（1）＝8（1），
即，而k1≠k2，
所以k1+k2＝0，
所以存在λ＝1，使得k1+λk2为定值0．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．
（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，证明：．
【解答】解：（1）已知f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m，函数定义域为（﹣1，+∞），
当m＝0时，f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），
可得，
此时f′（0）＝π+3，
又f（0）＝0，
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣0＝（π+3）（x﹣0），
即y＝（π+3）x；
（2）证明：不妨设g（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），
若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，
此时g（x）＝m在[0，1]上存在两个零点x1，x2，
可得，
不妨设h（x）＝g′（x），
可得h′（x）＝﹣π2sinπxπ2sinπx，
易知对任意的x∈[0，1]，都有sinπx＞0，
所以对任意的x∈[0，1]，h′（x）＜0恒成立，
则g′（x）在[0，1]上单调递减，
又g′（0）＝π+3，g′（1）＝﹣π﹣3ln2＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得g′（x0）＝0，
当0≤x＜x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x0＜x≤1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以当x＝x0时，函数g（x）取到极大值，极大值g（x0）＝sinπx0﹣3（x0﹣1）ln（x0+1）＞0，
又g（0）＝g（1）＝0，
所以当且仅当0≤m＜sinπx0﹣3（x0﹣1）ln（x0+1）时，
g（x）＝m在[0，x0）和（x0，1]上各恰有一个零点，分别为x1，x2，
不妨设x1＜x2，
由（1）知，g（x）在x＝0处的切线方程为y＝（π+3）x，
不妨设k（x）＝g（x）﹣（π+3）x，
可得k′（x）＝g′（x）﹣（π+3）＝h（x）﹣（π+3），
不妨设m（x）＝k′（x），
可得m′（x）＝h′（x）＜0，
所以m（x）在[0，1]上单调递减，
即k（x）在[0，1]上单调递减，
又k′（0）＝g′（0）﹣（π+3）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有k′（x）≤0，
则k（x）在[0，1]上单调递减，
又k（0）＝g（0）＝0，
所以对任意的x∈[0，1]，都有k（x）≤0，
则当x∈[0，1]时，g（x）≤（π+3）x；
同理得，g（x）在x＝1处的切线方程为y＝（π+3ln2）（1﹣x），
不妨设n（x）＝g（x）﹣（π+3ln2）（1﹣x），
可得n′（x）＝g′（x）+（π+3ln2）＝h（x）+（π+3ln2），
不妨设p（x）＝n′（x），
可得p′（x）＝h′（x）＜0，
所以n′（x）在[0，1]单调递减，
又n′（1）＝g′（1）+（π+3ln2）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有n′（x）≥0，
则n（x）在[0，1]上单调递增，
又n（1）＝g（1）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有n（x）≤0，
则当x∈[0，1]时，g（x）≤（π+3ln2）（1﹣x），
不妨设（π+3）x＝m和（π+3ln2）（1﹣x）＝m的零点分别为，，
因为（π+3）x3＝m＝g（x1）≤（π+3）x1，
所以x3≤x1，
因为（π+3ln2）（1﹣x4）＝m＝g（x2）≤（π+3ln2）（1﹣x2），
所以x4≥x2，
则x3≤x1＜x2≤x4，
故|x1﹣x2|≤x4﹣x3＝11．
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