2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N UM，则（　　）
A．N M B．M UN C． UM＝ UN D．M N
2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（　　）
A．9本 B．10本 C．11本 D．12本
5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为，则f（x）的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828 ）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
x 1 2 3 4 5
y m 11 20 36.6 54.6
z n 2.4 3 3.6 4
已知回归方程，则m的值约为（　　）
A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.4
7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布，则（　　）
A．E（X）＝4 B．D（X）＝3
C． D．P（X＝3）＝P（X＝5）
（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（　　）
A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数
B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数
D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，，则下列结论正确的有（　　）
A．当时，f（x）在处取得极小值
B．当时，f（x）有且只有一个零点
C．若f（x）≤0恒成立，则
D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1
（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（　　）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是
B．2张有奖券分给不同的人的概率是
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值：　 　．
14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 　 　个项目中的成绩排名最靠后，在第 　 　个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）
序号 一 二 三 四
项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百
μ 71 75 81 85
σ 4.9 2.1 3.6 4.3
15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则的最小值为 　 　．
16．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．
19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．
选择课程A 选择课程B 总计
男生 150
女生 50
总计
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.01 0.005 0.001
x0 6.635 7.879 10.828
20．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x） f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．
（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；
（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．
21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，且各局比赛胜负相互独立．
（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；
（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．
22．（12分）已知函数与函数g（x）＝ex﹣ax有相同的最小值．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集．
2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N UM，则（　　）
A．N M B．M UN C． UM＝ UN D．M N
【解答】解：∵M，N是全集U的非空子集，且N UM，
∴M∩N＝ ，
∴M UN．
故选：B．
2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若log2a＞log2b，则a＞b＞0，此时充分性成立，
若0＞a＞b，则log2a＞log2b无意义，则必要性不成立，
故“log2a＞log2b”是“a＞b”成立的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′＝﹣e﹣x，
∴y′|x＝0＝﹣1，可得曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣x+2．
如图：
A（2，0），
联立，解得B（1，1），
∴曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为．
故选：C．
4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（　　）
A．9本 B．10本 C．11本 D．12本
【解答】解：因为x，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，
不妨先令z＝1，则4z＝4＞x+y，此时由于ymin＝2，xmin＝3，（x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；
令z＝2，则4z＝8＞x+y，此时ymin＝3，xmin＝4，（x+y）min＝7＜8，满足要求，
故这些数学专著至少有2+3+4＝9本．
故选：A．
5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为，则f（x）的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
【解答】解：根据导数的定义得：
f′（x）（），
令f′（x）＞0，解得x＞1，
故f（x）的递增区间是（1，+∞）．
故选：C．
6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828 ）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
x 1 2 3 4 5
y m 11 20 36.6 54.6
z n 2.4 3 3.6 4
已知回归方程，则m的值约为（　　）
A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.4
【解答】解：由题意可得，，
将代入可得，且，
所以n＝2，
又因为z＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4．
故选：D．
7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由概率性质可知，P（AB）+P（）＝P（B），
即，∴P（），
由P（A），可得P（），
所以P（B|）．
故选：A．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：设f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e，当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当x＜1时，f'（x）＜0，此时，f（x）单调递减，f（x）min＝f（1）＝0，
则f（x）≥0，即ex≥ex，
因为c﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，
由，
因为在R上递减，
而a＝1.110＝（1+0.1）10（0.1）0（0.1）＝2，
所以f（a）＜f（2）＝（）2+（）2＝1，
即1，∴5b＜5a，∴b＜a，
综上可得：b＜a＜c．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布，则（　　）
A．E（X）＝4 B．D（X）＝3
C． D．P（X＝3）＝P（X＝5）
【解答】解：因为随机变量X服从二项分布，
所以E（X）4，D（X）2，所以A对，B错误；
P（X＝2），C错；
P（X＝3）（）8P（X＝5），D对．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（　　）
A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数
B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数
D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若f（x）为奇函数，则g（x）＝f（x）+2f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）是奇函数不是偶函数，A错误；
对于B，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若g（x）为奇函数，即f（﹣x）+2f（x）+f（x）+2f（﹣x）＝3[f（x）+f（﹣x）]＝0，则有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，B正确；
对于C，若f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f（x），则函数f′（x）为偶函数，C正确；
对于D，若f（x）为偶函数，即f（﹣x）＝f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f（x），则函数f′（x）为奇函数，D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，，则下列结论正确的有（　　）
A．当时，f（x）在处取得极小值
B．当时，f（x）有且只有一个零点
C．若f（x）≤0恒成立，则
D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1
【解答】解：a时，f（x）x﹣sinx，x∈[0，]，
则f′（x）cosx，
令f′（x）＞0，解得：x，
令f′（x）＜0，解得：0≤x，
故f（x）在[0，）递减，在（，]递增，
故f（x）在处取得极小值，故A正确；
f（x）min＝f（）（π﹣3）＜0，
而f（0）＝0，f（）＝π﹣1＞0，
故f（x）有且只有2个零点，故B错误；
若f（x）≤0恒成立，则ax≤sinx，x＝0时，成立，
x∈（0，]时，问题转化为a恒成立，
令g（x），x∈（0，]，
则g′（x），
令h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，]，
则h′（x）＝﹣xsinx＜0，
故h（x）在（0，]递减，
故h（x）＜h（0）＝0，
故g′（x）＜0，g（x）递减，
x→0时，1，
x时，g（），
∴g（x）＜1，故a，故C错误；
若f（x）≥0恒成立，
则a≥[g（x）]max，而g（x）＜1，故a≥1，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（　　）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是
B．2张有奖券分给不同的人的概率是
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为
【解答】解：选项A，2张有奖券分给同一个人的概率P，选项A错误；
选项B，2张有奖券分给不同的人与2张有奖券分给同一人是互斥事件，
因此概率P＝1，选项B正确；
选项C，分两种情况讨论：
（1）2张都分给丙或丁：概率P，
（2）丙丁各一张：概率P，
因此，2张都没有分给甲和乙的概率为，选项C错误；
选项D，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率P，选项D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值：　6（答案不唯一）　．
【解答】解：由于已的展开式中存在常数项，通项公式为Tr+1 （﹣2）r ，
故0有解，故n＝3r，且r＝0，3，6，9…．
故答案为：6（答案不唯一）．
14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 　四　个项目中的成绩排名最靠后，在第 　二　个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）
序号 一 二 三 四
项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百
μ 71 75 81 85
σ 4.9 2.1 3.6 4.3
【解答】解：因为只有第四个项目的成绩小于均值，所以第四个项目的成绩排名最靠后；
第一、二两个项目的成绩大于均值，第三个项目成绩等于均值，所以排名靠前的为第一或第二个项目，
因为第二个项目的标准差小于项目一的标准差，所以项目二的数据更集中，小星在项目二的排名更靠前．
故答案为：四；二．
15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则的最小值为 　21　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，
则1，
当且仅当且2x+y＝1，即x＝2，y＝2时取等号．
故答案为：21．
16．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为 　2　．
【解答】解：要求a+b的最大值，
即求当x＝1时，函数y＝ax+b的最大值，
已知不等式对任意x∈R恒成立，
可得当直线y＝ax+b为函数f（x）x2和g（x）＝ex公切线时，取得最大值，
所以ax+bx2＝0有唯一解，
此时Δ＝a2﹣b＝0，
解得b＝a2，
此时直线y＝ax+a2与函数g（x）＝ex相切，
不妨设切点为（x0，），
因为g′（x）＝ex，
所以g′（x0），
又g（x0），
所以函数g（x）在点（x0，）处的切线方程为
y（x﹣x0），
即yx﹣x0，
此时，
解得，
所以公切线方程为y＝x+1，
则a+b的最大值为2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+6，
∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）极小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；
（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，
故f（x）最大值＝f（x）极大值＝f（0）＝6，
而f（﹣1）＝2，f（1）＝2，
故f（x）最小值＝2．
18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．
【解答】解：（1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
当n＝9时，令x＝0，可得a0＝1，
再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，
∴a1+a2+…+a9＝29＝511．
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，
不妨假设：：3：4：5，且1≤r≤n﹣1，
则有，整理得3n﹣7r+3＝0……①，
，整理得4n﹣9r﹣5＝0……②，
联立①②，解得n＝62，r＝27．
即当n＝62时，存在连续三项的系数之比为：：3：4：5．
19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．
选择课程A 选择课程B 总计
男生 150
女生 50
总计
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.01 0.005 0.001
x0 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）由题意，2×2列联表为：
选择课程A 选择课程B 总计
男生 100 150 250
女生 50 150 200
总计 150 300 450
提出零假设H0：即选择课程与性别无关，
则由x222.5＞10.828，可知H0不成立，
即有99.9%的把握认为选择课程与性别有关．
（2）从250名男生中用分层抽样抽10名男生，抽取比例为，根据表中数据，这10人中有4人选择课程A，有6人选择课程B，
从这10人中再抽取3人，则抽到选择课程A的人数X可能为0，1，2，3，
设事件X发生的概率为P（X），
则P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3），
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）．
20．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x） f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．
（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；
（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．
【解答】解：（1）已知当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0），
所以f（1）＝1﹣a+2a﹣2＝a﹣1，f（2）＝4﹣2a+2a﹣2＝2，
又函数f（x）满足f（2+x） f（2﹣x）＝4，
即f（3） f（1）＝（a﹣1）f（3）＝4，
易知a≠1，
所以，
若，
解得a＝2；
（2）由f（2+x） f（2﹣x）＝4，
可得f（x） f（4﹣x）＝4，
当x∈[0，2]时，4﹣x∈[2，4]，
此时，
因为当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，
所以当x∈[2，4]时，，
解得，
因为1≤f（x）≤3，
所以在[0，2]上恒成立，
当0＜a≤2时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x∈（0，1]，
所以当x时，f（x）取得最小值，最小值f（）2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足，
解得4a，
又0＜a≤2，
所以不存在满足条件的a的值；
当2＜a≤4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x∈（1，2]，
所以当x＝2时，f（x）取得最小值，最小值f（2）＝2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足，
解得4a，
又2＜a≤4，
所以4a；
当a＞4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x2，
所以当x时，f（x）取得最小值，最小值f（）2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足，
解得a，
又a＞4，
所以不存在满足条件的a的值，
综上，a的取值范围为．
21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，且各局比赛胜负相互独立．
（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；
（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．
【解答】解：（1）甲经过六局比赛获胜的概率为，
甲经过七局比赛获胜，则前六局有一局乙胜，第7局甲获胜，概率为，
故甲至多经过七局比赛获胜的概率为；
（2）证明：对弈双方赛满 2n（n∈N* ）局后，甲获胜的概率为P（n），则甲至少获胜的局数为P（n+1）局，
故，
，
同理可得，
因为，
故，则P（n）＜P（n+1），
同理，对乙来说，结论一样，故 n 越大，某一方赢得比赛的概率越大．
22．（12分）已知函数与函数g（x）＝ex﹣ax有相同的最小值．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝ax，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，无最小值，不符合题意；
当a＞0时，
当0＜x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x时，函数f（x）取得极小值也是最小值，
f（x）min＝f（）；
已知g（x）＝ex﹣ax，函数定义域为R，
可得g′（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，g′（x）＞0，f（x）单调递增，无最小值，不符合题意；
当a＞0时，
当x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝lna时，函数g（x）取得极小值也是最小值，
g（x）min＝g（lna）＝a﹣lna，
因为函数f（x）与g（x）有相同的最小值，
所以a﹣lna，
解得a＝e；
（2）由（1）知a＝e，
此时不等式为ex0，
不妨设h（x）＝ex，函数定义域为（0，+∞），
当1+lnx＜0时，因为ex＞0在R上恒成立，
所以不等式ex0，不符合题意；
当1+lnx＞0，即x时，
整理得lnx+10，
不妨设k（x）＝lnx+1，函数定义域为（，+∞），
可得k'（x），
不妨设m（x），函数定义域为（0，+∞），
可得m′（x），
当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；
当1＜x＜4时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
当x＞4时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
当0＜x＜4时，m（x）极小值＝m（1）＝0，
当x＞4时，m（x）＞1，
所以m（x）≥0恒成立，
即h'（x）≥0，k（x）单调递增，
又k（1）＝0，
所以要使k（x）＜0，
此时0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
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