2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]
2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（　　）
A．2mm/min B．1mm/min C． D．
3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（　　）
A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab
4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：
x/吨 3 4 6 7
y/吨 2.5 3 4 m
根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中m的值为（　　）
A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.3
6．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有（　　）
A．3件 B．4件 C．5件 D．6件
7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]
8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b] （0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（　　）
A．a0＝1
B．a2＝a3
C．a1+a2+…+a5＝31
D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80
（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（　　）
A．ab的最小值为2
B．a+b的最小值为
C．的最大值为1
D．的最小值为
（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1
D．
（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（　　）
A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个
B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点
C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根
D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）（）6的展开式中，常数项为　 　．（用数字作答）
14．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2， ，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为 　 　．
15．（5分）不等式的解集为 　 　．
16．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有 　 　种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有 　 　种不同排法．（用数字作答）
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．
（1）当b＝2时，A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
（2）若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，求实数b的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．
养殖法 箱产量
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法 30 20
新养殖法 15 35
（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；
（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．
附：P（χ2≥7.897）＝0.005，，n＝a+b+c+d．
20．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．
（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；
（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．
21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．
（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；
（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）．已知μ＝74，σ＝7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．
22．（12分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx．
（1）若直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切，求实数k的值；
（2）若不等式f（x）﹣g（x）＞ax+1对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]
【解答】解：B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，
则A∪B＝{x|﹣6＜x＜0}∪{x|﹣5≤x≤2}＝{x|﹣6＜x≤2}．
故选：A．
2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（　　）
A．2mm/min B．1mm/min C． D．
【解答】解：∵，∴，
∴在t＝40min时的瞬时降雨强度为．
故选：D．
3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（　　）
A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab
【解答】解：因为P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，n＜m，
所以P（n≤X≤m）＝P（X≤m）﹣P（X＜n）＝P（X≤m）﹣（1﹣P（X≥n））
＝a﹣（1﹣b）＝a+b﹣1．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），函数是偶函数，排除选项A、D．
x→+∞时，f（x）→+∞的速度更快，排除C．
故选：B．
5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：
x/吨 3 4 6 7
y/吨 2.5 3 4 m
根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中m的值为（　　）
A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.3
【解答】解：根据样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35，
即回归直线方程为，
又由样本数据的平均数为，
得，解得m＝5.9．
故选：A．
6．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有（　　）
A．3件 B．4件 C．5件 D．6件
【解答】解：设该批产品共有n件，n＞5，n∈N*，
从中任取3件产品，均不是一等品的概率为，
则至少有1件一等品的概率为，
由题意，即n（n﹣1）（n﹣2）≥10×9×8，可得n≥10，
则该批产品中一等品至少有10﹣5＝5件．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]
【解答】解：由可知f（x）在（0，2）上单调递增，
所以在（0，2）上恒成立，即a≥﹣2x2在（0，2）上恒成立，
故a≥（﹣2x2）max，所以a≥0．
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b] （0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3开口向上且对称轴为x＝0，
∴f（x）＝x2+3在（0，+∞）上单调递增，
∵存在区间[a，b] （0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，
则有，即方程x2﹣kx+3﹣k＝0在（0，+∞）有两不同实数根，
∴，解得2＜k＜3，
∴k的取值范围为（2，3）．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（　　）
A．a0＝1
B．a2＝a3
C．a1+a2+…+a5＝31
D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80
【解答】解：∵x5＝[1+（x﹣1）]5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，
∴令x＝1，可得a0＝1，故A正确．
再根据a2，a3，可得a2＝a3，故B正确．
在所给的等式中，令x＝2，可得1+a1+a2+…+a5＝32，∴a1+a2+…+a5＝31，故C正确．
在所给的等式中，两边同时对x求导数，可得5x4＝a1+2a2（x﹣1）+…+5a5（x﹣1）4，
再令x＝0，可得0＝a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（　　）
A．ab的最小值为2
B．a+b的最小值为
C．的最大值为1
D．的最小值为
【解答】解：对于A，由a+2b＝ab（a＞0，b＞0）得，则，∴ab≥8，
当且仅当a＝4，b＝2取等号，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴，
∴，故C错误；
对于D，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴，
∴，
∵b＞1，∴，则当，即b＝2时，取最小值，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1
D．
【解答】解：由题意，
事件A2有两种情况，①第一次摸出红球，第二次摸出红球；②第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，
则，故A正确；
，故B错误；
∵，，
∴，故C错误；
∵，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（　　）
A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个
B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点
C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根
D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限
【解答】解：由f（x）＝x3﹣sinx，则f′（x）＝3x2﹣cosx，
当x∈[0，1]时，y＝3x2，y＝﹣cosx均为单调递增函数，
所以f′（x）在x∈[0，1]单调递增，
由于f′（0）＝﹣1＜0，f′（1）＝3﹣cos1＞0，
故存在唯一的实数x0∈（0，1），使得f′（x0）＝0，
而当x∈（0，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，1），f′（x）＞0，
又当x＞1，f′（x）＝3x2﹣cosx＞3x2﹣1＞0，
故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
故当x＝x0时，f（x）取极小值，
又f（﹣x）＝﹣x3+sinx＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
由对称性可知当x＝﹣x0时，f（x）取极大值，故A正确，
根据f（x）的单调性和奇偶性，作出f（x）的大致图象如下：
故经过极值点且与x轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，
与曲线另一侧相交的直线均与f（x）点图象有两个交点，故B错误，
由于当x趋于+∞时f（x）趋于+∞，且f（x）为奇函数，
直线y＝k（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（﹣1）＝﹣1+sin1＜0，
所以y＝k（x+1）与f（x）的图象恒有交点，
故f（x）＝k（x+1）恒有根，故C正确，
对于D，任意经过原点且与f（x）相交的直线OA，过弦OA中点作垂线交于f（x）于点B，
则三角形AOB即为等腰三角形，这样的三角形有无数多个．故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）（）6的展开式中，常数项为　15　．（用数字作答）
【解答】解：∵Tr+1＝（﹣1）r ，
∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，
故答案为：15．
14．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2， ，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为 　800　．
【解答】解：该新药针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，
经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2， ，1000）人的概率记为Pn，
则，
Pn+1≤Pn且Pn﹣1≤Pn，
，
可得，解之得799.8≤n≤800.8
又n＝0，1，2， ，1000，则n＝800
则当Pn取最大值时，n的值为800．
故答案为：800．
15．（5分）不等式的解集为 　（1，2）　．
【解答】解：作出，（其中x＞1）的图象，如图，
x＞1时，单调递减，y＝ln（x﹣1）单调递增，两个函数均过点（2，0），
x∈（1，2）时，，y＝ln（x﹣1）＜0，
x∈（2，+∞）时，，y＝ln（x﹣1）＞0，
由图可知，当时，x∈（1，2），
则不等式的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
16．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有 　70　种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有 　25　种不同排法．（用数字作答）
【解答】解：对于第一空：在8个位置中选出4个，安排4个“0”，剩下4个位置安排4个“1”即可，
则有70个排列；
对于第二空：若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，
则第1个数必须为0，
若第2个数为“0”，则在后面6个位置中选2个安排“0”，有15个排列，
若第2个数为“1”，则第三个数必为“0”，在后面5个位置中选2个安排“0”，有10个排列，
故共有15+10＝25个排列．
故答案为：70，25．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．
（1）当b＝2时，A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
（2）若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：A＝{x|log2（x+1）＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
B为非空集合，则B＝{x||x﹣b|＜a}＝{x|b﹣a＜x＜a+b}，a＞0，
当b＝2时，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，因为A∩B＝ ，
所以2+a≤﹣1或2﹣a≥1，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围（0，1]．
（2）若“a＝1”，则B＝{x|b﹣1＜x＜1+b}，
“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
则{x|﹣1＜x＜1}∩{x|b﹣1＜x＜1+b}≠ ，
所以﹣1＜b﹣1＜1或﹣1＜b+1＜1或，
解得﹣2＜b＜0或0＜b＜2或b＝0，即﹣2＜b＜2，
所以实数b的取值范围（﹣2，2）．
18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．
【解答】（1）解：f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝4﹣x﹣2﹣x+1，所以，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1．
（2）当x＝0时，f（0）＝0．
当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1＝2x（2x﹣2）＞0，可得2x＜0或2x＞2，解得x＞1；
当x＜0时，f（x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1＝2﹣x（2﹣2﹣x）＞0，可得0＜2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．
养殖法 箱产量
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法 30 20
新养殖法 15 35
（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；
（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．
附：P（χ2≥7.897）＝0.005，，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）零假设H0：箱产量与养殖方法无关，
根据列联表数据可得：．
所以依据小概率值α＝0.005的独立性检验，H0不成立，
即认为箱产量与养殖方法有关．
（2）根据题意可知X＝0，1，2．
又，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以．
20．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．
（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；
（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．
【解答】解：（1），
当f′（x）＝0，即或x＝c时，函数f（x）可能有极值，
由题意，函数f（x）在x＝2处有极大值，所以c＞0，
所以，时，f′（x）＞0，f（x）在区间上单调递增；
时，f′（x）＜0，f（x）在区间上单调递减；
x∈（c，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（c，+∞）上单调递增；
所以当时，f（x）取得极大值，此时，c＝6．
（2）若c≤0，x∈[0，2]时，f′（x）＞0，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
，解得0≤c≤4．
所以c＝0符合题意；
若即c≥6，由（1）可知，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
所以，解得0≤c≤4，
所以c≥6，不合题意；
若即0＜c＜6，由（1）可知，f（x）在区间[0，2]上的最大值为，
所以只需，即，又0＜c＜6，解得．
综上所述：，即实数c的取值范围是[]．
21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．
（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；
（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）．已知μ＝74，σ＝7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．
【解答】解：（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件A，
“甲以4：1或4：2或4：3获胜”分别记为事件A1，A2，A3，
“甲前3局比赛均获胜”为事件B．
则，
，
，
．
，
|f（x）﹣f（y）| M|x﹣y|k．
所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，
前3局比赛均获胜的概率．
（2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为X，则X N（74，72）．
P（60＜X≤88）＝0.9545，
所以，
所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为1000×0.02275≈23人，
而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格．
22．（12分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx．
（1）若直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切，求实数k的值；
（2）若不等式f（x）﹣g（x）＞ax+1对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）设直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切于点（x0，lnx0），
则，
所以，
所以；
（2）f（x）﹣g（x）＞ax+1在定义域（0，+∞）上恒成立，
即xex﹣lnx＞ax+1，即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
令t（x）＝x2ex+lnx，则，
则t（x）在（0，+∞）上单调递增，又t（1）＝e＞0，，
所以存在唯一实数，使得t（x0）＝0，即，
且当x∈（0，x0）时，t（x）＜0，所以，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，t（x）＞0，所以，h（x）单调递增，
所以，
由可得，
即，
因为x∈（0，+∞）时，f′（x）＝（x+1）ex＞0，
所以f（x）＝xex在（0，+∞）上单调递增，所以，
所以，
所以a＜1，即实数a的取值范围（﹣∞，1）．
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