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专题5：矩形中的折叠问题 精准作业设计
必做题
1．如图，把矩形纸片沿折叠后得到，再把纸片铺平，若，则的度数为 （ ）
A．105° B．120° C．130° D．115°
2．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使的D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE的大小为（ ）
A．10° B．15 ° C．20 ° D．25°
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（ ）
A．cm B．cm C．8cm D．10cm
4．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，则折痕为的长为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，矩形沿着对角线进行折叠，使点落在处，交于点，，，则的长（ ）．
A．10 B．6 C．8 D．
6．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是( )
A．20 B．16 C．12 D．10
7．如图，将矩形纸片沿折叠，得到与交于点 ，若，则的度数为：
已知，如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，
则的面积为_____cm2．
如图，矩形纸片ABCD的长AD＝6cm，宽AB＝2cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长______cm．
10．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别平行且相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF＝110°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
11．如图，为长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点恰好落在上的点处．
（1）求证：； （2）若，，求的长．
探究题
在矩形纸片中，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折叠为，连接．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，，求的长．
（3）在（2）的条件下，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则线段上是否存在一点M使得最小？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
专题5：矩形中的折叠问题 精准作业设计 答案
必做题
D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D
7.10。 8. 9.
10.解：（1）∵ABCD是长方形，∠D＝∠C＝90°，
∴∠CFE＝360°﹣∠D﹣∠C﹣∠DEF＝70°，
由折叠可知：∠AFE＝∠CFE＝70°，
∴∠AFB＝180°﹣∠AFE﹣∠CFE＝40°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝50°．
（2）结论：△ABF≌△AGE
由折叠可知：AG＝CD，∠G＝∠D＝90°，∠AFE＝∠EFC，
∴∠B＝∠G＝90°，
∵AB＝CD，
∴AB＝AG，
∵AD//BC，
∴∠EFC＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
在Rt△ABF和△Rt△AGE中，
AB＝AG，AF＝AE
∴△ABF≌△AGE（HL）．
11.解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，∠A=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
∵∠A=∠CFD=90°，由折叠可知：AD=BC=CF，
∴△ADE≌△FCD（AAS），
∴AE=DF；
（2）设CD=x，则AE=x-1，
由折叠得：AD=CF=BC=3，
∵△ADE≌△FCD，
∴ED=CD=x，
Rt△AED中，AE2+AD2=ED2，
∴（x-1）2+32=x2，
∴x=5，
∴CD=5．
探究题
解：（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，
∴∠DEF=∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BEF，
∴BE=BF，
即ΔBEF是等腰三角形；
（2）过E作EH⊥BC交BC于H点，
在RTΔBEF中，EF=，EH=AB=6，
∴HF=，
由折叠可知：BE=DE，DF=BF，
由（1）知：BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF为菱形，
设BF=x,，则BH =AE=x-，BE=x，
在RTΔAEB中，
AB2+AE2=BE2，
即62+(x-)2=x2，
解得x=，
∴DE=BF=，
AE=-=，
∴AD=DE+AE=8．
（3）如图示，连接AC交EF于M点，连接MG，则点M为所求，
由（2）知：AE=，BF=，
BC=AD=8，AB=6，
∴E点坐标为(,6)．
F点坐标为(,0)．
A点坐标为（0，6），
C点坐标为（8，0），
由折叠的性质可知，G点关于EF的对称点为C点，
∴MG=MC，
∴AM+MG的最小值为；AM+MC=AC，
∵E(,6)，F(,0)，
∴设EF解析式为y=kx+b，
得，解得，
∴EF表达式为y=x+①，
∵A(0,6),C(8,0)，
设AC解析式为y=ax+b，
得，解得，
∴AC表达式为y=x+6②，
联立①②得：，解得，，
∴M点坐标为（4，3）．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5：矩形中的折叠问题 导学案
一、温故知新
如图矩形ABCD，你能说说它有哪些性质？
二、动手操作
活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。
①你想一想矩形纸片相同，折叠规则相同，为什么折叠生成了不同的图形？
②从几何学习的角度，你对折叠后的哪个图形最感兴趣？
三、新课讲解
类型一 折叠中求角度
1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.
(1)求证：BE=BF；(2)若∠ABE=18°,求∠BFE的度数.
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，
则∠AGB＝ .
3．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
类型二 折叠中求线段长
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B. C．5 D.
6．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
类型三 折叠中求面积
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
三、课堂小结
本节课你有哪些收获？
你还有哪些疑惑？
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专题5：矩形中的折叠问题 教学设计
教学目标：
（1）通过学习，掌握矩形中的折叠问题的解题规律.（重点）
（2）通过操作、观察、猜想、验证、归纳等方法进一步提高综合解决问题的能力.
（3）学习如何把问题归类，形成发现解题规律的能力.（难点）
（4）通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会 知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
一、温故知新
如图矩形ABCD，你能说说它有哪些性质？
边：AB=CD , BC=AD；AB∥CD, BC∥AD
角：∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
对角线：OA=OB=OC=OD
二、动手操作
活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。
①你想一想矩形纸片相同，折叠规则相同，为什么折叠生成了不同的图形？
②从几何学习的角度，你对折叠后的哪个图形最感兴趣？
三、新课讲解
类型一 折叠中求角度
1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.
(1)求证：BE=BF；(2)若∠ABE=18°,求∠BFE的度数.
(1)证明：由折叠可得，∠DEF=∠BEF.
∵AD//BC,∴∠DEF=∠EFB,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF.
(2)解:∠ABC=90°,
∴∠EBF=90°-18°=72°,
∴∠BFE=×(180°-72°)=54°.
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，
则∠AGB＝ 75。 .
3．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( B )
A．25° B．30° C．36° D．45°
类型二 折叠中求线段长
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( C )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( C )
A．3 B. C．5 D.
6．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为____．
类型三 折叠中求面积
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，
∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE与△CDE中，∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5，∴S阴影＝×4×5＝10.
8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝××AN·NQ＝××3×4＝.
三、课堂小结
本节课你有哪些收获？
你还有哪些疑惑？
四、作业布置
详见《精准作业》
五、板书设计
第 1 页 共 12 页(共18张PPT)
专题5：矩形中的折叠问题
（1）通过学习，掌握矩形中的折叠问题的解题规律。
（2）通过操作、观察、猜想、验证、归纳等方法进一步提高综合解决问题的能力。
（3）学习如何把问题归类，形成发现解题规律的能力。
（4）通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会
知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
学习目标
如图矩形ABCD，你能说说它有哪些性质？
OA=OB=OC=OD
温故知新
边：
AB=CD , BC=AD
AB∥CD, BC∥AD
角：
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
对角线：
活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。
②从几何学习的角度，你对折叠后的哪个图形最感兴趣？
①你想一想矩形纸片相同，折叠规则相同，为什么折叠生成了不同的图形？
折一折
动手操作
折叠问题因为有了“折”就有了“形”----轴对称图形、全等形；
有了“折”就有了“数”----线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。
◆类型一 折叠中求角度
新知讲解
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ .
解析：由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠EGB.∴∠EGH－∠EGB＝∠EBC－∠EBG，即∠GBC＝∠BGH.又∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC.
∴∠AGB＝∠BGH.∵∠DGH＝30°，
∴∠AGH＝150°，∴∠AGB＝ ∠AGH＝75°.
新知讲解
75°
3．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A.25° B.30° C.36° D.45°
新知讲解
B
◆类型二 折叠中求线段长
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
新知讲解
C
5.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
新知讲解
C
新知讲解
6．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
◆类型三 折叠中求面积
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在
点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE；
新知讲解
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，
∴∠F＝∠B，AB＝AF，
∴AF＝CD，∠F＝∠D.
∴△AFE ≌△CDE(AAS)
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，
∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.
∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.
在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，
即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5，
∴S阴影＝ ×4×5＝10.
新知讲解
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD
上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
新知讲解
解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM.
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠NAB，
∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.
在Rt△ADM中，∵AD＝3，
∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，
即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ .
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
解：(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图a所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAQ，
由折叠性质得△ANM ≌△ADM，
∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，
新知讲解
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积
AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，
∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.
∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.
在Rt△ANQ中，
由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，
即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，
新知讲解
∴NQ＝4，AQ＝5.
∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，
AB＝4，AQ＝5，
∴S△NAB＝ S△NAQ
＝ × ×AN·NQ
＝ × ×3×4＝ .
课堂总结
1.本节课你有哪些收获？
2.你还有哪些疑惑？
作业布置：详见《精准作业》
作业布置
