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专题6 特殊平行四边形的解题方法 导学案
考点1.一个定理——三角形的中位线定理
1.如图，若E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，∠B＝58°，则EF＝____cm，∠AEF＝______°.
考点2.一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
2.如图，三位同学分别站在一个直角三角形ABC的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC＝6 m，则点B到目标物的距离是 .
考点3.四个图形的性质与判定
图形的性质与判定1.平行四边形的性质与判定
如图， ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为_____.
4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________ ；
(2)添加了(1)中的条件后，证明四边形AECF为平行四边形.
图形的性质与判定2 矩形的性质与判定
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )
A.2.2 cm B.2.3 cm C.2.4 cm D.2.5 cm
6.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形.
图形的性质与判定3 菱形的性质与判定
7.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝______cm.
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.
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专题6 特殊平行四边形的解题方法 教学设计
教学目标
1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质何判定，会把平行四边形的相关知识进行结构化整理；
2.会选择恰当的方法进行推理计算并解决相关问题，主要是特殊平行四边形的性质和判定；
教学重点
特殊平行四边形的性质和判定
教学难点
特殊平行四边形的性质和判定之间的联系与区别
教学过程
考点1.一个定理——三角形的中位线定理
1.如图，若E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，∠B＝58°，则EF＝____cm，∠AEF＝______°.
3;58
考点2.一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
2.如图，三位同学分别站在一个直角三角形ABC的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC＝6 m，则点B到目标物的距离是 .
3m
考点3.四个图形的性质与判定
图形的性质与判定1.平行四边形的性质与判定
如图， ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为_____.
8 cm
4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是__AE＝CF_ ；
(2)添加了(1)中的条件后，证明四边形AECF为平行四边形.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.
∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形.
图形的性质与判定2 矩形的性质与判定
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D )
A.2.2 cm B.2.3 cm C.2.4 cm D.2.5 cm
6.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形.
解：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE.
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
证明：(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
∵AB＝AE，
∴DC＝AE.
由(1)知四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形.
图形的性质与判定3 菱形的性质与判定
7.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝______cm.
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
解：(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD.
∴△MOD≌△NOB(AAS)，
∴OM＝ON.
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形.
(2)由(1)知四边形BNDM是菱形，
BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝1/2BD＝12，
OM＝1/2MN＝5.
在Rt△BOM中，由勾股定理，
得BM＝13，
∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
专题 6 特殊平行四边形的解题方法 右边板书
1.一个定理. 部分练习题板书
2.一个性质.
3.四个图形的性质与判定.
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课前诊测
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D
C.AB＝CD，AD＝BC D.AB＝AD，CB＝CD
精准作业
必做题
1.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝4，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.8
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3 cm，则AD的长是( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝2，则AB
的长是______
5.如果菱形有一个内角是60°，周长为32，那么较短对角线长是_______.
6.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB，
CD的延长线分别相交于点E，F.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？
并给出证明.
探究题
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，AN∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若DE∥AB交AN于E，连接CE，求证：四边形ADCE为矩形.
参考答案
课前诊断
C
精准作业
D
D
B
4
8
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD.
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF.
∴△BOE≌△DOF(AAS).
解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形.
证明：由(1)得△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
探究题
证明：(1)∵AN∥BC，
∴∠CAN＝∠ACB，∠MAN＝∠ABC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAN＝∠MAN，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵AN∥BC， DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD.
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD.
又∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AD⊥BC，
∴平行四边形ADCE是矩形.(共18张PPT)
专题6
特殊平行四边形的解题方法
考点梳理
本章内容主要讲了平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的定义、性质和判定.本章热门考点可概括为一个定理、一个性质、四个图形的性质与判定.
考点1 一个定理——三角形的中位线定理
1.如图，若E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，∠B＝58°，则EF＝ cm，∠AEF＝ °.
3
58
考点2 一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
2.如图，三位同学分别站在一个直角三角形ABC的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC＝6 m，则点B到目标物的距离是 .
3 m
考点3 四个图形的性质与判定
图形的性质与判定1 平行四边形的性质与判定
3.如图， ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 .
8 cm
考点3 四个图形的性质与判定
4.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边
形，你添加的条件是 ；
(2)添加了(1)中的条件后，证明四边形AECF为平行四边形.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.
∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形.
AE＝CF
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.
∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形.
考点3 四个图形的性质与判定
图形的性质与判定2 矩形的性质与判定
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是
AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D )
A.2.2 cm B.2.3 cm
C.2.4 cm D.2.5 cm
D
考点3 四个图形的性质与判定
6.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形.
∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE.
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
考点3 四个图形的性质与判定
6.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形.
∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE.
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
解：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE.
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
证明：(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
∵AB＝AE，
∴DC＝AE.
由(1)知四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形.
考点3 四个图形的性质与判定
图形的性质与判定3 菱形的性质与判定
7.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O
处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF
＝ cm.
考点3 四个图形的性质与判定
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
考点3 四个图形的性质与判定
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边
AD，BC分别交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD.
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB(AAS)，∴OM＝ON.
∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD.
∴△MOD≌△NOB(AAS)，
∴OM＝ON.
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形.
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
(2)由(1)知四边形BNDM是菱形，
BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，
OM＝MN＝5.
在Rt△BOM中，由勾股定理，
得BM＝＝13，
∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.
考点3 四个图形的性质与判定
图形的性质与判定4 正方形的性质与判定
9.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ .
22°
考点3 四个图形的性质与判定
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB
边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接
CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD.
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.
①四边形BECD是 形；
②当∠A等于 度时，四边形BECD是正方形，并证明.
(2)当D为AB的中点时，
考点3 四个图形的性质与判定
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB
边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接
CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD.
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.
解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD.
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD.
①四边形BECD是 形；
②当∠A等于 度时，四边形BECD是正方形，并证明.
菱
45
(2)当D为AB的中点时，
(2)①四边形BECD是菱形.理由如下：
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.
由(1)知CE＝AD，
∴BD＝CE.
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形.
②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
证明：由①知四边形BECD是菱形.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形.
∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴四边形BECD是正方形.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形.
∵D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形BECD
是正方形.
课 堂 小 结
谈谈你本节课的收获.
作 业 布 置
见精准作业单.
