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专题11 利用一次函数解决实际问题
导学案
一、教学过程：
例1．“花果山”水果店计划购进A和B两种水果，经了解，用1200元采购A种水果的箱数是用500元采购B种水果箱数的2倍，一箱A种水果的进价比一箱B种水果的进价多20元．
（1）求一箱A种水果和一箱B种水果的进价分别为多少元？
（2）若“花果山”水果店购进A，B两种水果共100箱，其中A种水果的箱数不多于B种水果的箱数，已知A种水果的售价为150元/箱，B种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？（不考虑其他费用支出）
、知识点1 最大利润问题
运用一次函数解决最大利润问题的步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的一次函数关系式，
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
点拨
确定函数关系式，将利润表示为自变量的一次函数。
确定自变量的取值范围。
根据一次函数性质选择最大利润。
变式训练1：某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
例2.剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
知识点2 分配方案问题
运用一次函数解决方案问题的“三步法”:
分析题意,弄清问题的背景和要求;
应用数学知识将实际问题转化为数学问题,建立一次函数模型
根据一次函数的性质确定最佳方案。
点拨
建立一次函数模型解决实际问题时，一定注意确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义。
例3．已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（ ）
A. 2小时 B. 2.4小时 C. 2.5小时 D. 3小时
知识点3 行程问题
运用一次函数解决行程问题的步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择函数模型，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
二、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
三、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
四、课堂板书中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 利用一次函数解决实际问题
教学设计
一、教学过程：
例1．“花果山”水果店计划购进A和B两种水果，经了解，用1200元采购A种水果的箱数是用500元采购B种水果箱数的2倍，一箱A种水果的进价比一箱B种水果的进价多20元．
（1）求一箱A种水果和一箱B种水果的进价分别为多少元？
（2）若“花果山”水果店购进A，B两种水果共100箱，其中A种水果的箱数不多于B种水果的箱数，已知A种水果的售价为150元/箱，B种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？（不考虑其他费用支出）
【答案】（1）购进一箱A种水果的进价为120元，则购进一箱B种水果的进价为100元；
（2）水果店销售这批水果最少能获利3500元
【解析】（1）购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a-20）元，由题意可得，，解之即可；
（2）设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100-x）箱，获利为w元，由题意可知，x≤100-x，即x≤50，w=（150-120）x+（140-100）（100-x）=-10x+4000，再由一次函数的增减性可求得w的最小值．
【小问1详解】
解：购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a﹣20）元，
由题意可得，，
解得a＝120，
经检验，a＝120是原分式方程解且符合题意，
∴a﹣20＝100，
∴购进一箱A种水果的进价为120元，则购进一箱B种水果的进价为100元．
【小问2详解】
解：设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100﹣x）箱，获利为w元，
由题意可知，x≤100﹣x，即x≤50，
w＝（150﹣120）x+（140﹣100）（100﹣x）＝﹣10x+4000，
∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝50时，w的取值最小，此时w＝3500，
即该水果店销售这批水果最少能获利3500元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及一次函数的应用，涉及一元一次不等式的应用．在解题过程中主要分式方程要检验，对一次函数的增减性要会判断．
知识点1 最大利润问题
运用一次函数解决最大利润问题的步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的一次函数关系式，
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
点拨
确定函数关系式，将利润表示为自变量的一次函数。
确定自变量的取值范围。
根据一次函数性质选择最大利润。
变式训练1：某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
例2.剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
【解析】（1）根据题意，可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到相应的等式，即可得解．
解：（1）由题意可得，
y1=4×20+5（x-4）=5x+60，
y2=（4×20+5x）×90%=4.5x+72；
（2）当5x+60=4.5x+72，得x=24，
答：当学生有24人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
知识点2 分配方案问题
运用一次函数解决方案问题的“三步法”:
分析题意,弄清问题的背景和要求;
应用数学知识将实际问题转化为数学问题,建立一次函数模型
根据一次函数的性质确定最佳方案。
点拨
建立一次函数模型解决实际问题时，一定注意确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义。
例3．已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（ ）
A. 2小时 B. 2.4小时 C. 2.5小时 D. 3小时
【答案】B
【解析】解法一：先根据待定系数法求出两函数解析式，联立两函数解析式，求得两函数图象的交点坐标，根据交点坐标的实际意义即可解答．
解法二：由图象可求出甲、乙两车的速度，设两车经过a小时后相遇，根据“甲行驶的路程+乙行驶的路程=A、B两地的距离”列出方程，求解即可．
解：解法一：根据图象，可设甲车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=kx,
将点（6，600）代入得，6x=600，
解得：x=100，
∴甲车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=100x,
设乙车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=mx+600，
将点（4，0）代入得，4x+600=0，
解得：x=-150，
∴乙车离A地距离y和行驶时间x的关系为y=-150x+600，
联立得，，
解得：，
∴两车相遇时，甲车行驶的时间是2.4小时．
故选：B．
解法二：由图象可得，A、B两地相距600km,
v甲==100（千米/时），=150（千米/时），
设两车经过a小时后相遇，
则100a+150a=600，
解得：a=2.4，
∴两车相遇时，甲车行驶的时间是2.4小时．
故选：B．
知识点3 行程问题
运用一次函数解决行程问题的步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择函数模型，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围
二、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
三、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
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专题11 利用一次函数解决实际问题
精准作业
必做题
1.下面是八年级下册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计．
（1）根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间x和手机话费y,请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式．
（2）月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
（3）若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．
2. 某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
思考题
1. 某网店计划销售某种保暖衣，已知保暖衣的进价为每件30元，当销售单价定为80元时，每天可售出20件，每销售一件需要缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低5元，则每天可多售出10件，若设这款保暖衣的销售单价为x元，每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；（不要求写x的取值范围）
（2）当销售单价定为50元时，求这款保暖衣每天的销售利润．
参考答案
必做题
【解析】（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）将两解析式联立求解即可；
（3）分别将x=300代入解析式求出y的值比较即可．
解：（1）由题意可知，A类：y=0.2x+12，B类：y=0.25x,
（2）因为0.2x+12=0.25x,解得x=240，
所以当通话时间等于240min时，两类收费方式所缴话费相等；
（3）当x=300时，y=0.2x+12=72，y=0.25x=75，
因为72＜75，所以应该选择A类缴费方式．
【解析】（1）利用每部汽车的进价=27-0.1×（售出的汽车数量-1），即可找出y关于x的函数关系式；
（2）分0＜x≤10及x＞10两种情况考虑，根据该汽车销售公司计划当月盈利12万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：（1）依题意得：y=27-0.1（x-1）=-0.1x+27.1；
（2）当0＜x≤10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+0.5x=12，
整理得：x2+14x-120=0，
解得：x1=6，x2=-20（不合题意，舍去）；
当x＞10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+x=12，
整理得：x2+19x-120=0，
解得：x1=5（不合题意，舍去），x2=-24（不合题意，舍去）．
答：该汽车销售公司当月需要售出6部汽车．
思考题
【解析】（1）根据“销售单价每降低5元，则每天可多售出10件”，可得销售量y与销售单价x之间的函数关系；
（2）结合（1）先求出销售量，再乘以每件利润即可．
解：（1）由题意可得：y=×10+20=-2x+180；
（2）当x=50时，y=-2×50+180=80，
此时销售利润为80×（50-30-2）=1440（元），
∴当售价定为50元时，这款保暖衣每天的利润为1440元．(共12张PPT)
人教版八年级下册
专题11 利用一次函数解决实际问题
例1．“花果山”水果店计划购进A和B两种水果，经了解，用1200元采购A种水果的箱数是用500元采购B种水果箱数的2倍，一箱A种水果的进价比一箱B种水果的进价多20元．
（1）求一箱A种水果和一箱B种水果的进价分别为多少元？
（2）若“花果山”水果店购进A，B两种水果共100箱，其中A种水果的箱数不多于B种水果的箱数，已知A种水果的售价为150元/箱，B种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？（不考虑其他费用支出）
学习过程
【解析】（1）购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a-20）元，由题意可得，
，解之即可；
（2）设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100-x）箱，获利为w元，由题意可知，x≤100-x，即x≤50，w=（150-120）x+（140-100）（100-x）=-10x+4000，再由一次函数的增减性可求得w的最小值．
解：（1）购进一箱A种水果的进价为a元，则购进一箱B种水果的进价为（a﹣20）元，
由题意可得， ，
解得a＝120，
经检验，a＝120是原分式方程 解且符合题意，
∴a﹣20＝100，
∴购进一箱A种水果的进价为120元，则购进一箱B种水果的进价为100元．
学习过程
（2）设购进A种水果x箱，则购进B种水果（100﹣x）箱，获利为w元，
由题意可知，x≤100﹣x，即x≤50，
w＝（150﹣120）x+（140﹣100）（100﹣x）＝﹣10x+4000，
∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝50时，w的取值最小，此时w＝3500，
即该水果店销售这批水果最少能获利3500元．
变式1：某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
学习过程
易错点拨
建立一次函数模型→求出一次函数解析式→确定自变量取值范围→结合函数解析式、函数性质作出解答
【答案】（1） ；
（2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元
知识点1 最大利润问题
运用一次函数解决最大利润问题的步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的一次函数关系式，
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
点拨
（1）确定函数关系式，将利润表示为自变量的一次函数。
（2）确定自变量的取值范围。
（3）根据一次函数性质选择最大利润。
学习过程
例2.剧院举行中秋专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x＞4）名学生听音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生多少人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
学习过程
解：（1）由题意可得，
y1=4×20+5（x-4）=5x+60，
y2=（4×20+5x）×90%=4.5x+72；
（2）当5x+60=4.5x+72，得x=24，
答：当学生有24人时，选择方案1和方案2付款金额一样．
知识点2 分配方案问题
运用一次函数解决方案问题的“三步法”:
(1) 分析题意,弄清问题的背景和要求;
(2) 应用数学知识将实际问题转化为数学问题,建立一次函数模型
(3) 根据一次函数的性质确定最佳方案。
点拨
建立一次函数模型解决实际问题时，一定注意确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义。
学习过程
例3.已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是（ ）
A. 2小时 B. 2.4小时 C. 2.5小时 D. 3小时
学习过程
【解析】解法一：先根据待定系数法求出两函数解析式，联立两函数解析式，求得两函数图象的交点坐标，根据交点坐标的实际意义即可解答．
解法二：由图象可求出甲、乙两车的速度，设两车经过a小时后相遇，根据“甲行驶的路程+乙行驶的路程=A、B两地的距离”列出方程，求解即可．
B
知识点3 行程问题
运用一次函数解决行程问题的步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择函数模型，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围
学习过程
利用一次函数解决实际问题
知识点1 最大利润问题
知识点2 分配方案问题
知识点3 行程问题
课堂小结
见精准作业单
作业布置
谢谢观看
