北京市八一学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（图片版，含答案）

北京市八一学校 2023―2024 学年度第二学期 6 月月考
高 一 数 学 试 卷 2024.6
本试卷共 4 页，100 分。考试时长 90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.
5 5
1． sin cos 的值为( )
12 12
1 1 3 3
A. B. C. D.
4 4 4 4
2. 函数 f (x) = cos2 x sin2 x 的一条对称轴为( )

A. B. C. D.
2 4 8 12
3.已知 a,b满足 a = 2, b = (2,0)，且 a + b = 2 ，则 a,b = ( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6

4.下列函数中，是偶函数且其图象关于 ,0 对称的是( )
4

A. y = cos 2x + B. y = sin 2x + C. y = cos (x + ) D. y = sin (x + )
2 2

5. 在 ABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若a = 4,b = 4 3, A = ， 则角B = ( )
6
2 2
A. B. C. D. 或
6 3 3 3 3

6. 已知函数 f (x) = sin (2x + ) 的图象向右平移 个单位后，图象关于点 ,0 对称，
2 6 3
则 的值为( )

A. B. C. D.
6 3 6 3

7.设向量 a = (cos ,sin ),b = (1,1)，则“ a / /b ”是“ + = + 2k ,k Z ”的( )
2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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8. 在锐角 ABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若b = 3,c = 4 ，则实数a 的取值范围是( )
A. (1,7) B. (1,5) C. ( 3,5) D. ( 7,5)
9. 在直角梯形 ABCD中， AD / /BC , ABC = 90。， AD = 2AB = 2BC = 2 ,点 P 为梯形 ABCD
四条边上的一个动点，则 PA PB 的取值范围是( )
1 1 1
A. , 4 B. , 2 C. 1,4 D. , 4
2 2

4


10. 关于函数 f (x) = sin x + cos 2x，给出下列三个命题：
① f ( x)是周期函数； ②曲线 y = f (x)关于直线 x = 对称；
9
③ f ( x)在区间 0,2 上恰有 3 个零点.④函数 f ( x)的最大值为 . 其中真命题的个数为( )
8
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

11. 已知 tan = 2，则 tan 的值为__________.
4
1
12. 已知 a ， b 均为单位向量，且 a b = ，那么 | a + 2b |= __________.
2
13.若四边形 ABCD满足 AC = AB + AD ,且 (AB + AD) (AB AD) = 0，则此四边形的形状为
__________.
14. 写出一个同时满足下列三个条件的函数 f (x) = __________.
① x R ， f (x + 2) = f (x) ；② x R ， f (x) f (1)恒成立．③函数 f ( x)为偶函数.
15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积
正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如下
图所示的图形,若 FA+ xAC = yDA，则 2x + y = __________.
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三、解答题:本大题共 4 小题，共 40 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （本小题满分 10 分）
已知向量 a = (2,3) ，b = (1, x).
( Ⅰ )若 a // (a b) ，求 | b | 及 a 在b 上投影的数量；
( Ⅱ )若 a ⊥ (a + b) ，求 a 与 b 的夹角.
17. （本小题满分 10 分）
1 3
已知 a = (sin x, )，b = (cos x + , )，且函数 f (x) = a b
2 3 2
( Ⅰ )求 f (x)的最小正周期及单调递增区间；
1
( Ⅱ )若 为锐角且 f ( ) = , 求sin 2 的值．
3
第3页 共4页
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18. （本小题满分 10 分）
在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且bsin 2A = 3asin B.
( Ⅰ )求角 A的大小；
( Ⅱ )若 ABC 的面积为3 3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使 ABC 存在且唯一确定，求a 的值.
21 b 3 3 2 7
条件①：cosC = ;条件②： = ；条件③：sinC = .
7 c 4 7
注：如果选择的条件不符合要求，第 ( Ⅱ )问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分.
19. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) , g (x)满足以下条件：
① x R, f (x) g (x) 0；
② x, y R, f (x y) = f (x) f ( y)+ g (x) g ( y) , g (x y) = g (x) f ( y) f (x)g ( y ).
（I）求 g (0) , f (0)的值.
（II）判断函数 f (x) , g (x)的奇偶性，并说明理由.
（III）若 t 0, f (t ) = 0，试判断函数 g (x)的周期性，并说明理由.
第4页 共4页
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2023―2024学年度第二学期 6月月考答案
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.
1~5 AACBD 6~10 BBDDC
二、填空题:本大题共 5小题,每小题 4分,共 20分.

11. 3 12. 3 13.菱形 14. f (x) = sin x （答案不唯一， f (x) = cos ( x)）
2
4 + 3
15.
2
三、解答题:本大题共 4 小题，共 40 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （本小题满分 10 分）
（I） a = (2,3)，b = (1, x).
3
a b = (1,3 x) . 又 a // (a b)， 2(3 x) = 3, x = .
2
3 9 13
b = (1, ) ， b = 1+ = .
2 4 2
13
a b
a 在 b 上投影的数量为 = 2 = 13 .
b 13
2
（II） a +b = (3, x + 3),a ⊥ (a +b) ， 6+3(x+3) = 0 ， x = 5 .
b = (1, 5) , a b = 13, a = 13,| b |= 26
a b 13 2
cos a,b = = =
a b 13 26 2
a,b 0,
3 3
a,b = , a 与b 的夹角为 .
4 4
17. （本小题满分 10 分）
（I）
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3
f (x) = a b = sin x cos(x + ) +
3 4
3 1 3 3
= sin x cos xcos sin xsin + = sin x cos x sin x +
3 3 4 2 2

4
1 3 3 1 3 1 cos 2x 3
= sin xcos x sin2 x + = sin 2x +
2 2 4 4 2 2 4
1 3 1 1 3 1
= sin 2x + cos 2x = sin 2x + cos 2x = sin 2x +
4 4 2 2 2

2 3
2
最小正周期T = = .
2

令 + 2k 2x + + 2k ,k Z ，
2 3 2
5
得- + 2k 2x + 2k ,k Z
6 6
5
则- + k x + k ,k Z
12 12
5
f (x)的单调递增区间为 + k , + k ,k Z
12 12
1 1 2
（II）由 f ( ) = sin 2 + = ，得 sin 2 + =
2 3 3 3 3
4
又因为 为锐角，所以 2 + ， .
3 3 3
2 3 2
又因为 0 sin 2 + = ，所以 2 + ,
3 3 2 3 3
4 5
则 cos 2 + = 1 = .
3 9 3
所以

sin 2 = sin 2 +
3 3

= sin 2 + cos cos 2 + sin
3 3 3 3
1 2 3 5
=


2 3 2 3
15 + 2
=
6
18. （本小题满分 10 分）
【答案】
解： (1)因为bsin 2A = 3asin B ，由正弦定理得， sin Bsin 2A = 3sin Asin B ，
又 B (0, ) ，所以 sin B 0，得到 sin 2A = 3sin A，
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又 sin2A= 2sin Acos A，所以 2sin Acos A = 3sin A，
3
又 A (0, ) ，所以 sin A 0，得到 cos A = ，
2

所以 A = .
6
21
(2)选条件① : cosC =
7
1 1 1
因为 S ABC = bcsin A = bcsin = bc = 3 3 ，所以bc =12 3 ，
2 2 6 4
21 2 21 2 7由 cosC = ，得到 sinC = 1 cos C = 1 = ，
7 49 7

又 sin B = sin( A C) = sin(A+C) = sin AcosC + cos AsinC ，由 (1)知 A = ，
6
1 21 2 7 3 3 21
所以 sin B = + =
2 7 7 2 14
3 21
b sin B 14 3 3= = = 3 3又由正弦定理得， ，得到b = c，
c sin C 2 7 4 4
7
3 3
代入bc =12 3 ，得到 c
2 =12 3 ，解得 c = 4，所以b = 3 3 ，
4
由余弦定理得， a2 = b2 + c2
3
2bccos A = (3 3)2 + 42 2 3 3 4 = 27 +16 36 = 7，
2
所以 a = 7.
b 3 3
选条件② : =
c 4
1 1 1
因为 S ABC = bcsin A = bcsin = bc = 3 3 ，所以bc =12 3 ，
2 2 6 4
b 3 3 3 3 3 3
又 = ，得到b = c，代入 2bc =12 3 ，得到 c =12 3 ，解得 c = 4，所以b = 3 3 ，
c 4 4 4
3
由余弦定理得， a2 = b2 + c2 2bccos A = (3 3)2 + 42 2 3 3 4 = 27 +16 36 = 7，
2
所以 a = 7.
2 7
选条件③ : sinC =
7
2 7
c sinC 7 4 7由 (1)知， A = ，根据正弦定理知， = = = 1，即 c a ，
6 a sin A 1 7
2
所以角 C有锐角或钝角两种情况， ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.
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19. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) , g (x)满足以下条件：
① x R, f (x) g (x) 0；
② x, y R, f (x y) = f (x) f ( y)+ g (x) g ( y) , g (x y) = g (x) f ( y) f (x)g ( y ).
（I）求 g (0) , f (0)的值.
（II）判断函数 f (x) , g (x)的奇偶性，并说明理由.
（III）若 t 0, f (t ) = 0，试判断函数 g (x)的周期性，并说明理由.
【答案】
（I）令 y = x，则 g (0) = g (x) f (x) f (x) g (x) = 0；
令 y = 0，则 f (x) = f (x) f (0)+ g (x) g (0) = f (x) f (0)
由①可取 f (x) 0，得 f (0) =1.
综上， g (0) = 0, f (0) =1 .
（II）令 x = 0，则 f ( y) = f (0) f ( y)+ g (0) g ( y) = f ( y)，
即 y R, f ( y) = f ( y)，则 f ( x)是偶函数.
令 x = 0， g ( y) = g (0) f ( y) f (0) g ( y) = g ( y).
即 y R, g ( y) = g ( y)，则 g (x)是奇函数.
（ 2III）由题意得， f (t t ) = f (t )+ g 2 (t )，则 g 2 (t ) =1 .
又 f (x t ) = f (x) f (t )+ g (x) g (t ) = g (x) g (t )，则 f (x) = g (x + t ) g (t )，
又 g (x t ) = g (x) f (t ) f (x) g (t ) = f (x) g (t ) = g (x + t )g 2 (t ) = g (x + t )，
则 g (x) = g (x + 2t )，进而 g (x + 2t ) = g (x + 4t )，
所以 g (x + 4t ) = g (x + 2t ) = g (x)
即 g (x)是以 4t 为周期的周期函数.
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