2023-2024学年北京理工大学附属中学高一下学期6月月考数学（pdf版，无答案）

2024北京理工大附中高一 6月月考
数 学
（2024.6）
班级__________姓名__________学号__________
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项）
1.已知向量a = (3,4)，则下列向量中与 a 垂直的是（ ）
A. ( 3, 4) B. ( 4,3) C. (4,3) D. (3, 4)
2.已知复数 z 满足 zi =1 i ，则 z 对应的点位于复平面的（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量a = ( ) 1 31, 3 ，向量b = , ，则向量 a 与向量b 的夹角为（ ）
2 2
A. 60 B. 30 C.120 D.150
4. ABC 中，角 A B C 的对边分别为 a,b,c ，则“ acosB = bcosA ”是“ ABC 是等腰三角形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在. ABC 中，a =1,b = 3, A = 30 ，则c =（ ）
A.1 B.2 C.1 或 2 D.无解
6.如图， ABC 中， AB = a, AC = b , D为 BC 中点， E 为 AD 中点，CE 用 a 和b 表示为

CE = a + b ，则 =（ ）

1 1
A.3 B.-3 C. D.
3 3
π
7.将函数 y = sin 2x + 的图象平移后所得的图象对应的函数为 y = cos2x ，则进行的平移是（ ）
3
π π
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
12 6
π π
C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
12 6
2π
8.已知函数 f (x) = cos x + ( 0) 的最小正周期为 4π，则下列叙述中正确的是（ ）
3
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π
A.函数 f ( x)的图象关于直线 x = 对称
3
B.函数 f ( x)在区间 (0,π)上单调递增
π
C.函数 f ( x)的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
3
3
D.函数 f ( x)在.区间 0,π 上的最大值为
2
9.已知 ABC 中， D 是 BC 边上的点， AD 平分 BAC ，且 ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍.若
2
AD =1, DC = ，则 AC 的长为（ ）
2
A.1 B.2 C. 2 D. 3
10.函数 f (x) = cos (x + a)+ sin (x +b)，则（ ）
π
A.若 a + b = 0，则 f ( x)为奇函数 B.若 a +b = ，则 f ( x)为偶函数
2
π
C.若b a = ，则 f ( x)为偶函数 D.若 a b = π，则 f ( x)为奇函数
2
二 填空题（共 5小题，每小题 4分，共 20分）
2i 1
11.已知复数 z = ，则 z = __________.
i +1
12.能说明“在 ABC 中，若 sin2A = sin2B，则 A = B ”为假命题的一组 A, B 的值是__________.
13.已知矩形 ABCD中， AB = 2, AD = 4, E 为 BC 边的中点， F 为CD边上的动点（可以与端点重合），
则 AE ED = __________， AF AE 的最大值为__________.
14.已知函数 f (x) = 2sin ( x + )的部分图像如图所示.
（1）函数 f ( x)的最小正周期为__________.
（2）将函数 f ( x)的图象向右平移 t(t 0)个单位长度，得到函数 g (x)的图象.若函数 g (x)为偶函数，则
t 的最小值是__________.
sinx cosx
15.关于函数 f (x) = e + e ，下列说法中正确的有__________.
① f ( x)的最小正周期是 π；
π
② y = f x + 是偶函数；
4
③ f (x) = 4 在区间 0,π 上恰有三个解；
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2
④ f ( x)的最小值为 2 . 2e
三 解答题（每题 10分，共 40分.解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程）
16.已知的函数 f (x) = cosx (2 3sinx + cosx) sin2x .
（1）求函数 f ( x)的最小正周期和单调递增区间；
π
（2）若当 x 0, 时，关于 x的不等式 f (x) m 有解，求实数m 的取值范围.
2
17.如图，CM ,CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道， MCN =120 ，现拟在两条木栈道的 A, B 处设置
观景台，记 BC = a, AC = b, AB = c（单位：百米）
（1）若b a = c b = 4，求b 的值；
（2）已知 AB =12，记 ABC = 试用 表示观景路线 A C B 的长，并求观景路线 A C B 长的最
大值.
3
18.在 ABC 中， A = 60 ,c = a .
7
（1）求 sinC 的值；
（2）再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，求 ABC
的面积.
条件①： c = 2b；条件②：b c = 5；条件③： AC 过上的中线长为 13 .
1 2
19.对n *N ，定义an (x) = (sin x cosnx) .
n
（1）求a2 (x) a1 (x)的最小值；
（2） n *N ，有an (x) A 恒成立，求 A 的最大值；
（3）求证：不存在m,n *N ，且m n，使得 am (x) an (x)为恒定常数.
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