圆周角
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文档简介
课题 28.1.3圆周角
孙仁道
教学目标
（一）知识目标
1.知道什么样的角是圆周角。
2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。
（二）能力目标
1.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力。
2.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。
（三）情感态度价值观
1.通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认知规律。
2.培养学生积极追求真理的精神，使学生进一步从数的角度理解圆的完美性。
教学重点
1.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
教学难点 对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
学法引导
1. 教学方法：指导探索研究发现法。
2. 学生学法：主动探索研究发现法。
课时安排 1课时
教学用具 多媒体课件、圆规、量角器、三角板。
教学过程
（一）情境导入
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
(二)实践与探索1：圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。图（3）中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（板书）
巩固练习1：图中哪个图含有圆周角？
（三）实践与探索2：
1.探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
1）动手操作
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角）。
2）大胆猜想 直径所对的圆周角等于（或直角）。
3）推理证明
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。即
4）归纳总结
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
2.探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1）动手操作1
（1） 分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
2）大胆猜想
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
动手操作2
如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
归纳总结：由上述操作可以发现，虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但根据它们与圆心角的位置关系，归纳起来却只有三种情况：（1）圆心在圆周角的边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部。因此我们可以分三种情况证明这一猜想。
3）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图28.1.11（1）
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠ACB+∠A=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
（2）圆心在圆周角的内部，如图28.1.11（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图28.1.11（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠ACD=∠AOD，∠2=∠BOD
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
4）归纳总结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。
巩固练习2：试找出两图中所有相等的圆周角。
（四）应用与拓展
例2如图，如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：∵AB⊙O是直径
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角都相等，都等于90°）
∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB
＝180°-80°-90°
＝80°
巩固练习3：在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
例3试分别求出图28.1.13中∠x的度数。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，容易求得。
解：略（学生自己完成）
巩固练习3：说出圆中的度数。
（五）总结与扩展
本节课我们一同学习探究了两个知识点
1、 圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
2、 圆周角定理及其定理应用：
1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径
2）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法和分类讨论的思想。
布置作业：
课本43页习题6、7
板书设计
28.1.3圆周角圆周角定义: 半圆或 证明:分三种情况讨论, 已知: 900的圆周角 (1) (2) (3) 求证: 证明: 圆周角定理: 例2
课后反思
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孙仁道
教学目标
（一）知识目标
1.知道什么样的角是圆周角。
2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。
（二）能力目标
1.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力。
2.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。
（三）情感态度价值观
1.通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认知规律。
2.培养学生积极追求真理的精神，使学生进一步从数的角度理解圆的完美性。
教学重点
1.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
教学难点 对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
学法引导
1. 教学方法：指导探索研究发现法。
2. 学生学法：主动探索研究发现法。
课时安排 1课时
教学用具 多媒体课件、圆规、量角器、三角板。
教学过程
（一）情境导入
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
(二)实践与探索1：圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。图（3）中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（板书）
巩固练习1：图中哪个图含有圆周角？
（三）实践与探索2：
1.探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
1）动手操作
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角）。
2）大胆猜想 直径所对的圆周角等于（或直角）。
3）推理证明
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。即
4）归纳总结
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
2.探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1）动手操作1
（1） 分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
2）大胆猜想
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
动手操作2
如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
归纳总结：由上述操作可以发现，虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但根据它们与圆心角的位置关系，归纳起来却只有三种情况：（1）圆心在圆周角的边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部。因此我们可以分三种情况证明这一猜想。
3）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图28.1.11（1）
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠ACB+∠A=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
（2）圆心在圆周角的内部，如图28.1.11（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图28.1.11（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠ACD=∠AOD，∠2=∠BOD
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
4）归纳总结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。
巩固练习2：试找出两图中所有相等的圆周角。
（四）应用与拓展
例2如图，如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：∵AB⊙O是直径
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角都相等，都等于90°）
∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB
＝180°-80°-90°
＝80°
巩固练习3：在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
例3试分别求出图28.1.13中∠x的度数。
分析：根据同弧所对的圆周角相等，容易求得。
解：略（学生自己完成）
巩固练习3：说出圆中的度数。
（五）总结与扩展
本节课我们一同学习探究了两个知识点
1、 圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
2、 圆周角定理及其定理应用：
1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径
2）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法和分类讨论的思想。
布置作业：
课本43页习题6、7
板书设计
28.1.3圆周角圆周角定义: 半圆或 证明:分三种情况讨论, 已知: 900的圆周角 (1) (2) (3) 求证: 证明: 圆周角定理: 例2
课后反思
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