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18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(一)
平行四边形的判定方法
(1)两组对边分别平行的四边形是 ;
(2)两组对边分别 的四边形是平行四边形;
(3)两组对角分别 的四边形是平行四边形;
(4)对角线 的四边形是平行四边形.
平行四边形
相等
相等
互相平分
利用两组对边或两组对角分别相等判定平行四边形
[例1] 如图所示,已知E,F,G,H分别是 ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且 AE=CG,AH=CF.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,∴△AEH≌△CGF.
∴EH=GF.
在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∴AB-AE=CD-CG,
AD-AH=BC-CF,即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH.∴GH=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
新知应用
如图所示,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°.
(1)求∠D的度数;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(1)解:∵∠D+∠2+∠1=180°,
∴∠D=180°-∠2-∠1=55°.
(2)证明:∵AB∥DC,∴∠CAB=∠2=40°.
∴∠DAB=∠1+∠CAB=125°.
∵∠DCB+∠DAB+∠D+∠B=360°,∴∠DCB=125°=∠DAB.
又∵∠D=∠B=55°,
∴四边形ABCD是平行四边形.
利用对角线互相平分判定平行四边形
[例2] 如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
判定一个四边形是平行四边形时
(1)若没有画出对角线,可证明两组对边平行,两组对边或两组对角分别相等;
(2)若出现对角线,可利用两条对角线互相平分证明.
新知应用
如图所示,在 ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∴∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE.
∴EF=EC.
又∵AE=DE,
∴四边形ACDF是平行四边形.
1.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判定四边形是平行四边形的是( )
A.4∶3∶2∶1 B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2 D.3∶2∶2∶1
2.(2023台江期末)下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是( )
A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形
B
B
3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.OA=OC,OB=OD
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.如图所示,点D是直线l外的一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
5.如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F是线段AC上的两点,并且AE=CF.求证:DE∥BF.
证明:如图所示,连接BE,DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵AE=CF,
∴OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴DE∥BF.
第2课时 平行四边形的判定(二)
1.平行四边形的判定
一组对边 的四边形是平行四边形.
2.三角形的中位线
(1)定义:连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线;
(2)定理:三角形的中位线 于三角形的第三边,并且等于第三边的 .
平行且相等
中点
平行
一半
利用一组对边平行且相等判定平行四边形
[例1] 如图所示,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
证明:(2)由(1),知△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,
即∠AEF=∠CFE.
∴AE∥CF.
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形时
(1)已知一组对边平行,可证这组对边相等或另一组对边平行;
(2)已知一组对边相等,可证这组对边平行或另一组对边相等.
新知应用
(2023自贡)如图所示,在 ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵AM=CN,
∴AB-AM=CD-CN,即BM=DN.
又∵BM∥DN,
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM=BN.
三角形的中位线定理
[例2] 如图所示,在△ABC中,中线BE,CF相交于点O,M是BO的中点,N是CO的中点,求证:四边形MNEF是平行四边形.
新知应用
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是( )
A.70° B.60° C.30° D.20°
B
2.如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.
(1)若DE=10 cm,则 AB= cm.
(2)中线AD与中位线EF有什么关系 证明你的猜想.
解:(1)20
(2)AD与EF互相平分.证明如下:
∵BD=DC,AE=EC,
∴DE∥AB.
∵AF=BF,BD=DC,
∴DF∥AC.
∴四边形AFDE是平行四边形.
∴AD与EF互相平分.
B
1.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,若EF=2,则BD的长为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
C
2.(2023文登期末)如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,点F是DE延长线上一点,连接CF.添加下列条件后,不能判定四边形BCFD是平行四边形的是( )
A.BD∥CF B.DF=BC
C.BD=CF D.∠B=∠F
C
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,若∠MPN=130°,则∠NMP的度数为( )
A.10° B.15° C.25° D.40°
20
4.(2022南充)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10 m
(如图所示),则A,B两点的距离是 m.
(2)求EF的长.
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18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.矩形的定义
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质
矩形具有平行四边形的所有性质,另外还具有以下特殊性质:
(1)矩形的四个角都是 ;
(2)矩形的对角线 ;
(3)矩形是轴对称图形,有 条对称轴,对称轴是两组对边的垂直平分线.
3.直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
直角
直角
相等
两
一半
矩形的性质
[例1] 如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,OE =OF.
(1)求证:AE=CF;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC.
∵在△AOE和△COF中,AO=CO,∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.
(2)若AB=2,∠AOD=120°,求矩形ABCD的面积.
新知应用
(2023武昌模拟)如图所示,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE∥AC交BC延长线于点E.
(1)求证:BC=CE;
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BE,AD=BC.
∵DE∥AC,
∴四边形ACED为平行四边形.
∴AD=CE.∴BC=CE.
(2)若∠E=30°,求∠BOC的度数.
(2)解:∵AC∥DE,
∴∠ACB=∠E=30°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴OC=OB.
∴∠OBC=∠OCB=30°.
∴∠BOC=120°.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
[例2] 如图所示,在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC,F,E分别是垂足,
M,N分别是BC,EF的中点,求证:MN⊥EF.
新知应用
如图所示,在△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点.若AB=10,AC=8,则四边形AEDF的周长为 .
18
A
D
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC, AD的中点.若BC=2,则EF的长度为 .
1
4.(2023玄武期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,CD是△ABC的中线,E是CD的中点,连接AE,BE,若AE⊥BE,垂足为E,则BC的长
为 .
5.如图所示,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.∴BD=BE.
(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.
第2课时 矩形的判定
矩形的判定
(1)定义:有一个角是 的平行四边形是矩形;
(2)判定定理:有三个角是 的四边形是矩形;
(3)判定定理:对角线 的平行四边形是矩形.
直角
直角
相等
利用定义判定矩形
[例1] (2023庐江期中)如图所示,在 ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是矩形.
利用对角线相等的平行四边形判定矩形
[例2] 如图所示,在△ABC中,D是BC边的中点,E,F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE,CF.
(1)求证:△BDF≌△CDE;
(1)证明:∵CE∥BF,∴∠CED=∠BFD.
∵D是BC边的中点,∴BD=DC.
在△BDF和△CDE中,∠BFD=∠CED,∠BDF=∠CDE,BD=DC,
∴△BDF≌△CDE.
新知应用
A
利用三个角是直角的四边形判定矩形
[例3] 如图所示, ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.
新知应用
要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个策划方案中,正确的方案是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否互相垂直
D.测量其中三个角是否是直角
D
1.(2023天府新区期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.AD=AB D.∠BAD=∠ADC
C
2.如图所示,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P为BC上一点,PE⊥MC于点
E,PF⊥MB于点F,当AB,BC满足条件: 时,四边形PEMF为矩形.
3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
12
4.如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°.
在△ABE和△CDF中,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF.
(2)求证:四边形AECF是矩形.
证明:(2)∵AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB=90°.
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°.
∴四边形AECF是矩形.
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第十八章 平行四边形
章末知识复习
知识点一 平行四边形的性质和判定
1.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上, ∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为( )
A.100° B.80°
C.70° D.60°
B
B
3.在边长为2的等边三角形ABC中,D是AC上一动点,连接BD,以BD,AD为邻边作平行四边形BDAE,则对角线DE的最小值为 .
4.(2023广安)如图所示,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥ AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
知识点二 特殊平行四边形的性质与判定
5.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图所示的方式交叉叠放,AB=AF, AE=BC.AE与BC交于点G,AD与CF交于点H,且∠AGB=30°,AB=2,则四边形AGCH的周长为( )
A.4 B.8
C.12 D.16
D
6.(2023市北期末)如图所示,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD,BC分别交于点E,F.若AB=3,BC=4,则四边形AFCE的面积为 .
7.如图所示,BD是正方形ABCD的一条对角线,E是BD上一点,F是CB延长线上一点,连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则∠BAF的度数为 .
22.5°
知识点三 三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线的性质
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF是AC边上的中线,DE是△ABC的中位线,若DE=6,则BF的长为( )
A.6 B.4
C.3 D.5
A
9.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,点F是线段DE上的一点.连接AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
10.如图所示,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为 .
B
48
类型一 方程思想
在解决平行四边形的面积、周长等计算问题时,常借助勾股定理等知识,列出有关的方程帮助解决问题.
1.如图所示,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是( )
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
2.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠,使点D落在AB上的点P处,点C落在点C′处,折痕为MN,则线段AN的长是 .
C
4
类型二 分类讨论思想
平行四边形与动点、动线或其他多边形结合在一起时,确定点、线的位置,要根据图形特点分情况讨论,避免遗漏答案.
1.在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度为3和4的两部分,则平行四边形ABCD的周长是( )
A.22 B.20
C.22或20 D.18
2.在平面直角坐标系中,已知点A,B,C,D的坐标分别为(-1,m),(-4,0), (1,0),(a,m),且m>0,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 .
C
1.(2022滨州)下列命题中是真命题的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.(2022安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2等于( )
A.α-90° B.α-45°
C.180°-α D.270°-α
D
C
3.(2023自贡)如图所示,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
4.(2022荆州)如图所示,点E,F分别在 ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于点G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 (只需写一种情况).
C
BE=DF(答案不唯一)
6
6.(2022雅安)如图所示,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=AB,∠ABE=∠CDF=45°.
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
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18.2.3 正方形
1.正方形的性质
正方形的四条边都 ,四个角都是 ;正方形既是矩形又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质.
2.正方形的判定
(1)有一组邻边 的矩形是正方形;
(2)有一个角是 的菱形是正方形.
3.正方形的轴对称性
正方形是轴对称图形,它有 条对称轴,分别是两条 所在的直线和过对边两个 的直线.
相等
直角
相等
直角
四
对角线
中点
正方形的性质
[例1] 如图所示,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴AC⊥BD,OB=OA.
∴∠BOE=∠AOF=90°.
又∵AM⊥BE,
∴∠MEA+∠MAE=∠AFO+∠MAE=90°.
∴∠MEA=∠AFO.
∴△BOE≌△AOF.
∴OE=OF.
新知应用
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直平分
2.(2023仓山区期中)如图所示,点P是正方形ABCD内一点,连接AP,BP, CP.若△APB是等边三角形,则∠BPC的度数为( )
A.30° B.60° C.75° D.90°
C
C
正方形的判定
[例2] 如图所示,在矩形 ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点E,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别是F,G.判定四边形EFBG的形状,并证明你的结论.
解:四边形EFBG是正方形.
证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.
∵BE为∠ABC的平分线,∴∠FBE=∠EBG=45°.
又∵EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠FEB=∠BEG=45°.
∴BF=EF,BG=EG.
∵BE=BE,∴△BEF≌△BEG.∴BF=BG.
∴BF=EF=EG=BG.∴四边形EFBG是菱形.
又∵∠FBG=90°,
∴四边形EFBG是正方形.
(1)已知菱形,可证明一个内角为直角得到正方形;
(2)已知矩形,可证明一组邻边相等得到正方形.
新知应用
观察[例2],请你用不同的方法解决此问题.
解:四边形EFBG是正方形.
证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.
又∵EF⊥AB,EG⊥BC,∴四边形EFBG是矩形.
∵BE为∠ABC的平分线,∴∠FBE=∠EBG=45°.
∴∠FEB=∠BEG=45°.
∴△BEF是等腰直角三角形.
∴BF=EF.∴四边形EFBG是正方形.
1.如果要证明 ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( )
A.AC与BD互相垂直平分
B.∠A=∠B且AC=BD
C.AB=AD且AC=BD
D.AB=AD且AC⊥BD
C
2.如图所示,E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点,若CE=CA,AE交CD于点F,则∠FAC的度数是( )
A.22.5° B.30°
C.45° D.67.5°
3.如图所示,在边长为4的正方形ABCD中,点M为对角线BD上一动点,ME⊥ BC于点E,MF⊥CD于点F,则EF的最小值为 .
A
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且 EA=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
证明:(1)在△ADE与△CDE中,AD=CD,DE=DE,EA=EC,
∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE=∠CDE.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD.∴∠CDE=∠CBD.∴BC=CD.
∵AD=CD,∴BC=AD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD=CD.∴四边形ABCD是菱形.
(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3.求证:四边形ABCD是正方形.
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18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
1.菱形的定义
有一组 相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的两条对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角;
(3)菱形是轴对称图形,每条 所在的直线就是对称轴.
3.菱形的面积
菱形的面积等于两条 乘积的 .
邻边
垂直
平分
对角线
对角线
一半
菱形的定义和性质
[例1] 如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.
(1)请判断△OEF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.
新知应用
1.如图所示,在菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1等于( )
A.30° B.25°
C.20° D.15°
2.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
D
C
菱形的面积
[例2] 如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=24,BD=10, DE⊥AB于点E,
(1)求菱形ABCD的周长和面积;
(2)求DE的长.
菱形面积有两种计算方法,一是对角线乘积的一半,二是菱形的边与这边上高的乘积.计算时常常将这两种方法综合进行.
新知应用
1.(2023邯郸期末)如图所示,四边形ABCD是菱形,O是其对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为( )
A.48 B.24
C.12 D.6
C
2.如图所示,已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3∶4,周长为40 cm,求菱形的高及面积.
1.(河南中考)关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形
B
D
3.如图所示,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH.
(1)求证:∠DHO=∠DCO;
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC.
∵DH⊥AB,∴∠DHB=90°,DH⊥CD.
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线.∴OH=OD=OB.∴∠HDO=∠DHO.
∵DH⊥CD,∴∠HDO+∠BDC=90°.
∵BD⊥AC,∴∠BDC+∠DCO=90°.
∴∠HDO=∠DCO.∴∠DHO=∠DCO.
(2)若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.
第2课时 菱形的判定
1.定义
有一组邻边 的平行四边形是菱形.
2.判定定理
(1)四条边 的四边形是菱形;
(2)对角线 的平行四边形是菱形.
相等
相等
互相垂直
根据“平行四边形”判定菱形
[例1] (2022聊城)如图所示,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(1)证明:∵CF∥AB,∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵点E是AC的中点,∴AE=CE.
∴△ADE≌△CFE(AAS).∴AD=CF.
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论.
新知应用
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A.AB=CD B.AB=BC
C.∠BAD=90° D.AC=BD
2.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB=CD,对角线AC,BD交于点O.在不添加任何辅助线的前提下,要使该四边形成为菱形,只需再添加上的一个条件是 .
B
AB=AD(答案不唯一)
根据“四条边相等的四边形”判定菱形
[例2] 如图所示,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.
(1)证明:四边形AECF为菱形;
(2)连接EF交AC于点O,若AB=10,AC=8,求线段EF的长.
新知应用
如图所示,在四边形ABCD中,AB=DC,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点.求证:四边形EGFH是菱形.
1.不能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A.四边相等
B.对角线互相平分且有一组邻边相等
C.两组对边分别平行,且有一组邻边相等
D.对角线互相垂直
2.(2023青羊期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,分别以C,B为圆心取AB的长为半径作弧,两弧交于点D.连接BD,AD.若∠ABD=130°,则∠CAD=
.
D
25°
3.如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF,若AC⊥ EF,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
解:四边形AECF是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,AD∥BC.
在Rt△ABE和Rt△CDF中,AE=CF,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF.∴BE=DF.∵BC=AD,∴CE=AF.
∵CE∥AF,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
4.(2022凉山节选)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF.求证:四边形ADBF是菱形.
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第十八章 平行四边形
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.探索并证明平行四边形的性质定理及判定定理. 2.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离. 3.探索并证明三角形的中位线定理. 4.探索并证明矩形的性质定理及矩形的判定定理. 5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 6.探索并证明菱形的性质定理及菱形的判定定理. 7.正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 能运用几何图形的基本性质进行推理证明,初步掌握几何证明方法,进一步增强几何直观,空间观念和推理
能力.
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
1.平行四边形
(1)定义:两组对边分别 的四边形叫做平行四边形;
(2)表示方法:如图所示,平行四边形ABCD记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边 ;
(2)平行四边形的对角 .
3.平行四边形的面积
平行四边形的面积等于 乘 .
平行
相等
相等
底
高
平行四边形的定义
[例1]如图所示,在 ABCD中,EF∥AB,GH∥AD,EF与GH相交于点O,观察该图中的平行四边形,该图形中共有 个平行四边形.
9
新知应用
如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别在△ABC的三边上,且DE∥BC,
DF∥AC,EF∥AB,则图中平行四边形有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
平行四边形的边、角的性质
[例2] 如图所示,在 ABCD中,∠D=108°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE,若AE=AB,求∠EBC的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=108°,AB∥CD.
∴∠BAD=180°-∠D=72°.
∵AE平分∠DAB,
∴∠BAE=72°÷2=36°.
∵AE=AB,
∴∠ABE=(180°-36°)÷2=72°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°.
(1)在平行四边形中,利用对角相等、邻角互补可以求出其他角的度数;
(2)在平行四边形中,如果一条线段平分一个内角,那么这条线段与相邻两边组成的三角形是等腰三角形.
新知应用
1.(2023潍坊期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则∠D的度数是( )
A.130° B.115° C.65° D.50°
2.如图所示,在 ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB,∠ABC,分别交CD于点E,F(点E在F的右边),若AD=5,EF=2,则AB的长是 .
C
8
C
1.如图所示,E为 ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=55°,则∠A的度数为( )
A.105° B.100° C.125° D.135°
(4,2)
3.(2023凉山)如图所示, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),
(1,2).则顶点B的坐标是 .
4.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作 BCDE,则∠E的度数为 .
70°
5.如图所示,在 ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F,连接BE,DF.求证:△ABE≌△CDF.
6.(2023南充)如图所示,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.求证:
(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠AFD=∠CEB.∴BE∥DF.
第2课时 平行四边形对角线的性质
1.平行四边形对角线的性质
(1)平行四边形的对角线 ;
(2)几何语言:
如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD.
2.两条平行线之间的距离
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 ,叫做这两条平行线之间的距离.
互相平分
距离
两条平行线之间的距离
[例1] 如图所示,直线 a∥b,点A,E,F在直线a上,点B,C,D在直线b上,
BC=EF.△ABC与△DEF的面积相等吗 为什么
同底(等底)同高(等高)的平行四边形或三角形的面积相等.
新知应用
如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法中错误的是( )
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点的距离就是线段AB的长度
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
D
平行四边形对角线的性质
(2)S ABCD=AB·AC=1×2=2.
(1)在平行四边形中,对角线互相平分是计算或证明中常用的结论;
(2)当平行四边形中有一条对角线时,常作出另一条对角线,利用对角线的性质解决问题.
新知应用
如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥AB,分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC.
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠FOC=∠EOA,
∴△FCO≌△EAO.
∴OE=OF.
(2)若AC=18,EF=10,求AE的长.
1.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.26 B.20 C.17 D.13
2.如图所示,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
18 cm
3.(2023扬州模拟)如图所示, ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为9 cm,则 ABCD的周长为 .
4.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OC,OA的中点.求证:BE=DF.
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