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第十九章 一次函数
章末知识复习
D
2.如图(1)所示,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家的距离y与时间x之间的关系如图(2)所示.下列结论错误的是( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7 min
B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 m
C.报亭到小亮家的距离是400 m
D.小亮打羽毛球的时间是37 min
D
知识点二 一次函数的图象和性质
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+1的图象是( )
C
4.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=(m-1)x+3上的相异两点,若(x1-x2)·(y1-y2)<0,则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m<1 C.m≥1 D.m≤1
B
知识点三 一次函数的应用
5.(2022东营)为满足顾客的购物需求,某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解,甲水果的进价比乙水果的进价低20%,水果店用 1 000元购进甲种水果比用1 200元购进乙种水果的质量多10 kg,已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价.
解:(2)设购进甲种水果m kg,则乙种水果 (150-m)kg,利润为w元,
依题意,得w=(6-4)m+(8-5)(150-m)=-m+450,
∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍,
∴m≥2(150-m),解得m≥100.
∵-1<0,则w随m的增大而减小,
∴当m=100时,w最大,最大值为-100+450=350,则150-m=50.
答:购进甲种水果100 kg,乙种水果50 kg才能获得最大利润,最大利润为350元.
(2)若水果店购进这两种水果共150 kg,其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍,则水果店应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少
知识点四 一次函数与方程、不等式
6.如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则下列说法:①y随x的增大而减小;②k>0,b<0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=-2;④当x>-2时,y>0.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
7.如图所示,已知直线y=kx+b经过点 A(5,0),B(1,4),直线y=2x-4与该直线交于点C.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求两直线与y轴围成的三角形面积;
(3)根据图象,写出关于x的不等式2x-4≥kx+b的解集.
(3)根据图象,得关于x的不等式2x-4≥kx+b的解集为x≥3.
类型 数形结合思想
数形结合的几种类型
(1)应用函数图象表示变量之间的关系;
(2)应用函数图象解方程(组);
(3)应用函数图象解不等式(组).
1.如图所示,已知点B(1,2)是一次函数y=kx+b(k≠0)上的一个点,则下列判断正确的是( )
A.k>0,b>0
B.y随x的增大而增大
C.当x>0时,y<0
D.关于x的方程kx+b=2的解是x=1
2.(数学文化)我国古代某著作中记载:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图所示的是两匹马行走路程s(里)关于行走时间t(日)的函数图象,则两图象交点P的坐标是 .
D
(32,4 800)
1.(2022广安)在平面直角坐标系中,将函数 y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的解析式是( )
A.y=3x+5 B.y=3x-5
C.y=3x+1 D.y=3x-1
2.(2022绍兴)已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=-2x+3上的三个点,且x1A.若x1x2>0,则y1y3>0 B.若x1x3<0,则y1y2>0
C.若x2x3>0,则y1y3>0 D.若x2x3<0,则y1y2>0
D
D
C
4.(2023广安)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产,某超市销售A,B两种品牌的盐皮蛋,若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元;若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.
(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元
(2)若某公司购买A,B两种盐皮蛋共 30箱,且A种的数量至少比B种的数量多5箱,又不超过B种的2倍,怎样购买才能使总费用最少 并求出最少费用.
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19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
一次函数
一般地,形如y= (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说 函数是一种特殊的一次函数.
kx+b
正比例
一次函数的概念
[例1] 已知函数y=(m-1)x+1-m2.
(1)当m为何值时,这个函数是关于x的一次函数
解:(1)∵函数y=(m-1)x+1-m2是关于x的一次函数,∴m-1≠0,
解得m≠1.
∴当m≠1时,这个函数是关于x的一次函数.
(2)当m为何值时,这个函数是关于x的正比例函数
解:(2)∵函数y=(m-1)x+1-m2是关于x的正比例函数,
∴m-1≠0且1-m2=0,解得m=-1.
∴当m=-1时,这个函数是关于x的正比例函数.
新知应用
A
列一次函数解析式
[例2] 汽车油箱中原有油50 L,如果汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)求油箱的剩余油量y(单位:L)与行驶路程x(单位:km)的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)y是x的一次函数吗
(2)y是x的一次函数.
新知应用
已知A,B两地相距3 km,小黄从A地到B地,平均速度为4 km/h,若用x(h)表示行走的时间,y(km)表示余下的路程,则y关于x的函数解析式是
(标明x的取值范围).
1.(2023六安模拟)若函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,则m,n应满足的条件是( )
A.m≠2且n=2
B.m=2且n=2
C.m≠2且n=0
D.m=2且n=0
A
2.王大爷要围一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长恰好为24 m.要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的函数解析式是
.
第2课时 一次函数的图象和性质
1.一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条 线,我们称它为直线y=kx+b.
2.一次函数的性质
(1)当k>0时,直线y=kx+b从左向右 ,y的值随x值的增大而 ;
(2)当k<0时,直线y=kx+b从左向右 ,y的值随x值的增大而 .
3.直线y=kx+b(k≠0)与y=kx(k≠0)的图象的关系
直线y=kx+b(k≠0)可以由直线y=kx(k≠0)平移 个单位长度得到.当b>0时,向 平移;当b<0时,向 平移.
直
上升
增大
下降
减小
|b|
上
下
一次函数的图象
[例1] 已知一次函数y=2x+4.
(1)在平面直角坐标系中,画出函数的图象;
解:(1)当x=0时,y=4,
当y=0时,x=-2,则图象如图所示.
(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴交点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积;
(4)利用图象直接写出,当y<0时,x的取值范围.
解:(2)由(1),知点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,4).
(4)由图象可知,当y<0时,x的取值范围是x<-2.
新知应用
1.(2023福州期中)若k>0,b<0,则函数y=kx+b的图象大致是( )
2.(2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m, m)所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
B
一次函数的性质
[例2] 已知一次函数y=(1-m)x+m+2,根据下列条件求m的取值范围.
(1)y的值随x值的增大而减小;
(2)函数的图象与y轴交于正半轴;
解:(1)∵y的值随x值的增大而减小,∴1-m<0,解得m>1.
(3)函数的图象不经过第二象限.
在一次函数y=kx+b中,k的符号决定一次函数的增减性;k和b的符号共同决定一次函数图象所经过的象限.
新知应用
1.下列关于一次函数y=-2x+2图象的说法中,错误的是( )
A.函数图象经过第一、二、四象限
B.函数图象与x轴的交点坐标为(2,0)
C.当x>0时,y<2
D.y的值随着x值的增大而减小
2.(2023东城一模)已知点A(m-1,y1),B(m,y2)都在一次函数y=-2x+1的图象上,那么y1与y2的大小关系是y1 y2(选填“>”“<”或“=”).
B
>
1.下列一次函数中,y的值随着x值的增大而减小的是( )
D
D
3(答案不唯一)
4.如图所示,函数y=kx+1的图象经过点 A(3,-3),且与x轴相交于点B,O为坐标原点.
(1)说明y随x的变化情况;
(2)求点B的坐标;
(3)求△OAB的面积.
第3课时 确定一次函数的解析式
待定系数法
(1)定义:先设出函数 ,再根据条件确定解析式中未知的
,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法;
(2)用待定系数法求一次函数解析式的步骤:
①设:设函数解析式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0).
②列:将已知点的坐标或x,y的对应值代入函数解析式,列出方程(组).
③解:解方程(组)求出待定系数.
④写:写出一次函数的解析式.
解析式
系数
确定一次函数的解析式
[例1] 已知一次函数的图象过M(1,3),N(-2,12) 两点.
(1)求函数的解析式;
(2)试判断点P(2a,-6a+8)是否在函数的图象上,并说明理由.
解:(2)点P(2a,-6a+8)不在函数图象上.
理由如下:
∵当x=2a时,-3×2a+6=-6a+6≠
-6a+8,
∴点P(2a,-6a+8)不在函数的图象上.
新知应用
1.(2023历城期末)已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值:
x … -2 1 3 …
y … 7 -2 -8 …
则y与x之间的函数解析式为( )
A.y=-2x+1 B.y=2x-3
C.y=3x-1 D.y=-3x+1
2.一次函数的图象经过点A(-1,0),且与直线y=2x-3平行,则这个一次函数的解析式为 .
D
y=2x+2
一次函数的应用
[例2] 如图所示的是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(kW·h)关于已行驶路程x(km)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35 kW·h,
汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时,求1 kW·h的电量
汽车能行驶的路程;
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶
180 km时,蓄电池的剩余电量.
新知应用
(跨学科融合)如图所示,杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡 器,其秤砣到提纽的水平距离y(cm)与所挂物的质量x(kg)之间满足一次函数关系.若不挂重物时秤砣到提纽的水平距离为2.5 cm,挂1 kg物体时秤砣到提纽的水平距离为8 cm.求当秤砣到提纽的水平距离为30 cm时秤钩所挂物的质量.
解:因为秤砣到提纽的水平距离y(cm)与所挂物的质量x(kg)之间满足一次函数关系,且不挂重物时秤砣到提纽的水平距离为 2.5 cm,
∴设一次函数解析式为y=kx+2.5(k≠0).
∵当x=1时,y=8,
∴8=k+2.5,解得k=5.5,
即y与x的函数解析式为y=5.5x+2.5.
当y=30时,30=5.5x+2.5,解得x=5.
即当秤砣到提纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物的质量是5 kg.
1.已知一次函数y=2x+b,当x=3时,y=10,则该一次函数的解析式为( )
A.y=-x+13
B.y=x+7
C.y=2x+4
D.y=2x-4
2.写一个过点(3,0),且y随着x的增大而减小的一次函数解析式为
.
C
y=-x+3(答案不唯一)
3.为了节约水资源,自来水公司按分段收费标准收费,如图所示的是每月收取水费 y(元)与用水量x(t)之间的函数关系,当每月用水量为14 t时,水费是 元.
36
4.如图所示,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
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19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象与画法
函数的图象
(1)定义:一般地,对于一个函数,如果把 与 的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的 ,就是这个函数的图象;
(2)描点法画函数图象的一般步骤:
第一步,列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步,描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;
第三步,连线:按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接 起来.
自变量
函数
图形
函数图象的画法
[例1] 画出函数y=-2x+1的图象.
(2)描点、连线,如图所示.
画函数图象的注意事项
列表时要根据自变量的取值范围,从小到大或自中间向两边选取,取值要有代表性,尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌.注意自变量的取值不应使函数值太大或太小,为便于描点,点的个数一般以5到7个为宜.
新知应用
函数图象的应用
[例2] 如图所示,已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地,函数图象反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关 系,回答下列问题:
观察上面的图象,我们可以得到下面的结论:
(1)甲地与乙地相距 km;骑自行车的人用了 h到达乙地,骑摩托车的人用了 h到达乙地,骑摩托车的人先到达乙地,早到了
h,骑自行车的人中途休息了 h;
(2)摩托车行驶的平均速度是 km/h.
100
6
2
1
1
50
从图象中获取信息的注意事项
(1)从图中获取信息首先要弄清楚横轴、纵轴分别表示什么意义,再对问题进行分析;
(2)在实际问题中,有的横轴和纵轴上的单位长度可以不一致,这对问题的结论没有影响,但每条坐标轴上的单位长度必须一致.
新知应用
如图所示的是一台自动测温记录仪的图象,它反映了我市某天气温(℃)随时间(时)变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是
( )
A.14时气温最高为28 ℃
B.点A表示24时的气温为20 ℃
C.0时至14时,气温随时间的推移而上升
D.14时至24时,气温随时间的推移而下降
C
1.(2023广安)如图所示,用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,使铁块完全露出水面,并上升一定高度,则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的时间x(单位:s)之间的函数关系的大致图象是( )
A
2.小刘开车从A地出发去360 km远的B地游玩,其行驶路程s与时间t之间的关系如图所示,当汽车行驶若干小时到达C地时,汽车发生故障,需停车检修,修好后又继续行驶,根据题意回答下列问题.
(1)汽车从A地到C地平均每小时行驶 km.
(2)汽车停车检修了 h,修车的地方到B地的距离是 km.
(3)车修好后每小时行驶多少千米
解:(1)60 (2)1 240
(3)240÷(6-3)=80(km).
答:车修好后每小时行驶80 km.
第2课时 函数的表示方法
函数的表示方法
(1) 法;(2) 法;
(3) 法.
解析式
列表
图象
函数的表示方法
[例1]用8 cm长的细铁丝围成一个等腰三角形,腰长为x cm,底长为y cm.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)求自变量x的取值范围;
解:(1)根据题意,得2x+y=8.∴y=-2x+8.
∴y关于x的函数解析式为y=-2x+8.
(2)根据两边之和大于第三边,
得2x>-2x+8,解得x>2.
由-2x+8>0,得x<4.∴2(3)用描点法画出该函数的图象.
列表时,自变量的取值应注意兼顾,既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小,要便于描点和全面反映图象情况.画实际问题的函数图象时,图象一定是在自变量取值范围内的.
新知应用
弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂重物的质量x(kg)有下面的关系,那么弹簧总长y(cm)与所挂重物的质量 x(kg)之间的关系式为( )
x/kg 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
A.y=0.5x+12 B.y=x+10.5
C.y=0.5x+10 D.y=x+12
A
函数三种表示方法的相互转化
[例2] 某商店零售一种商品,其质量x(kg)与总价 y(元)之间的关系如下表:
x/kg 1 2 3 4 5 6 7 8
y/元 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2
根据销售经验可知,在此处购买这种商品的顾客所买商品均未超过
8 kg.
(1)由上表求出总价y(元)关于质量x(kg)的函数解析式,并画出函数的图象.
解:(1)观察题表可知,质量每增加1 kg,总价就增加 2.4元,这样的变化规律可以表示为y=2.4x(0≤x≤8).这个函数的图象如图所示.
(2)李大婶购买这种商品5.5 kg,应付多少元
解:(2)将x=5.5代入解析式,得
y=2.4×5.5=13.2.
∴李大婶购买这种商品5.5 kg,应付13.2元.
函数的三种表示方法各有优、缺点,有时可以相互转化.表示函数关系时,要根据具体情况,结合三种表示方法的特点,选择适当的表示方法,或者几种方法结合起来使用.
新知应用
(跨学科融合)某小组在做“探究水的沸腾”实验时,实验装置如图(1)所示,下表记录了实验中温度y(℃)和时间x(min)变化的数据:
时间x/min 0 5 10 15 20 …
温度y/℃ 25 40 55 70 85 …
(1)在如图(2)所示的平面直角坐标系中描出表格的各点,并用平滑的曲线连接;
解:(1)画出图象如图所示.
(2)根据表中的数据及画出的图象,写出y与x之间的解析式(不需要写出自变量的取值范围): ;
(3)若温度恰好达到100 ℃时水开始沸腾,从计时开始 min后水开始沸腾.
解:(2)y=3x+25 (3)25
1.一个蓄水池有15 m3的水,以每分钟 0.5 m3的速度向池中注水,蓄水池中的水量Q(m3)与注水时间t(min)之间的函数解析式为( )
A.Q=0.5t B.Q=15t
C.Q=15+0.5t D.Q=15-0.5t
C
2.(跨学科融合)声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)与气温x(℃)的关系如表所示,照此规律可以发现,当声速y达到349 m/s时,气温x为( )
D
气温x/℃ 0 5 10 15 20 …
声速y/(m/s) 331 334 337 340 343 …
A.25 ℃ B.26 ℃
C.28 ℃ D.30 ℃
3.一支蜡烛长20 cm.若点燃后每小时燃烧 5 cm,则蜡烛剩余的长度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的函数关系的图象大致为( )
C
4.如图(1)所示,梯形的下底是10 cm,高是 6 cm,设梯形的上底为x cm,面积为y cm2,面积y随上底x的变化而变化.
(1)在这个变化过程中, 是自变量, 是函数;
(2)y与x的关系式为y= ;
x
y
3x+30
(3)请根据关系式填写下表:
x 1 2 2.5 8
y 33 45
5
36
37.5
54
(4)小亮用如图(2)所示的图象来表示面积y与上底x的变化规律,请观察图象回答:梯形的面积y随上底x的增大而 ;若要使面积y大于39 cm2,则上底x的范围是 .
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19.3 课题学习 选择方案
1.应用函数解决实际问题的方法
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为 ,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的 ,以此作为解决问题的数学模型.
2.利用函数模型解决方案选择问题的步骤
(1)建立函数模型,确定函数解析式;
(2)结合解不等式或函数图象确定自变量的取值范围;
(3)利用函数的性质选择方案.
自变量
函数
方案选择
[例1] 甲、乙两家商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾. “龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额 y甲(元),y乙(元)与原价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数解析式.
(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱
解:(2)根据图象,令0.8x=0.7x+600,
解得x=6 000.
由图象可知当x<6 000时,到甲商店购买小龙虾更省钱;
当x>6 000时,到乙商店购买小龙虾更省钱;
当x=6 000时,到甲、乙两商店购买一样.
新知应用
(2022通辽)某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品,两个商店的优惠活动如下:
甲:所有商品按原价8.5折出售;
乙:一次购买商品总额不超过300元的按原价付费,超过300元的部分打7折.
设需要购买体育用品的原价总额为x元,去甲商店购买实付y甲元,去乙商店购买实付y乙元,其函数图象如图所示.
(1)分别求y甲,y乙关于x的函数解析式;
(2)两图象交于点A,求点A的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.
解:(2)令0.85x=0.7x+90,解得x=600.
将x=600代入y甲=0.85x,得0.85×600=510,
即点A的坐标为(600,510).
(3)由图象可得,
当x<600时,去甲体育专卖店购买体育用品更合算;当x=600时,去两家体育专卖店购买体育用品一样合算;当x>600时,去乙体育专卖店购买体育用品更合算.
应用一次函数的性质求最大(小)值
[例2] (2022凉山)为全面贯彻党的教育方针,严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神,保障学生每天在校1 h体育活动时间,某班计划采购A,B两种类型的羽毛球拍.已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元;购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元.
(1)求A,B两种类型羽毛球拍的单价;
(2)该班准备采购A,B两种类型的羽毛球拍共30副,且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍,请给出最省钱的购买方案,求出最少费用,并说明理由.
解:(2)设购买B型羽毛球拍a副,总费用w元.
依题意,得w=40(30-a)+32a=-8a+1 200,
依题意,得30-a≥2a,解得a≤10.
∵-8<0,∴w随a的增大而减小.
∴当a=10时,w最小,w最小=-8×10+1 200=1 120.
此时30-10=20(副).
答:费用最少的方案是购买A型羽毛球拍20副,B型羽毛球拍10副,所需最少费用为1 120元.
新知应用
甲、乙两个粮库分别存粮600 t,1 400 t,A,B两市分别用粮 1 200 t,800 t,需从甲、乙两粮库调运,由甲粮库到A,B两市的运费分别为6元/吨,5元/吨;由乙粮库到A,B两市的运费分别是9元/吨,6元/吨,则总运费最少需 元.
13 800
甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为10元/千克,如果一次购买4 kg以上的苹果,超过4 kg的部分按标价6折出售.x(kg)表示购买苹果的质量,y(元)表示付款金额.
(1)文文购买3 kg苹果需付款 元;购买5 kg苹果需付款 元.
(2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式.
解:(1)30 46
(3)当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/千克,且全部按标价的8折出售,文文如果要购买10 kg苹果,请问她在哪个超市购买更划算
解:(3)文文在甲超市购买10 kg苹果需付费
6×10+16=76(元),
文文在乙超市购买10 kg苹果需付费
10×10×0.8=80(元),
∴文文应该在甲超市购买更划算.
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.一次函数与方程(组)
(1)任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的
时,求 的值;
(2)一次函数与二元一次方程(组)
①每个含有未知数x和y的二元一次方程,都对应一个 函数,于是也对应一条直线,直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的 .
函数值为0
自变量x
一次
解
②解二元一次方程组,从“数”的角度看,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值 ,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,相当于确定两条相应直线 的坐标.
2.一次函数与不等式
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的 大于0或小于0时,求 的取值范围.
相等
交点
函数值
自变量x
一次函数与方程(组)
[例1] 如图所示的是一次函数y=-2x+2与y=kx+b
的图象.
(1)求方程-2x+2=0和kx+b=0的解;
解:(1)观察题中函数图象,直线y=-2x+2和y=kx+b与x轴交点的坐标分别是(1,0)和(-2,0),
∴-2x+2=0的解是x=1,kx+b=0的解是x=-2.
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A
B
一次函数与不等式
[例2] 如图所示,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是 .
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是 .
(3)当x为何值时,y1≤y2
解:(1)x<4
(2)x<0
(3)由题中图象,知两条直线的交点坐标是(2,1.8),两直线相交时,x=2,当函数y1的图象在y2的图象的下方时,x<2,∴当 x≤2时,y1≤y2.
新知应用
(2022南通)根据图象,可得关于x的不等式kx>-x+3的解集是( )
A.x<2
B.x>2
C.x<1
D.x>1
D
1.(2023福安二模)直线y=nx+2n的图象如图所示,则关于x的不等式nx+2n>0的解集为( )
A.x>-1 B.x>-2
C.x<-2 D.x<-1
B
2.如图所示,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点(2,0),点(0,3).有下列结论:①图象经过点(1,-3);②关于x的方程kx+b=0的解为x=2;③关于x的方程kx+b=3的解为x=0.其中正确的是( )
A.①②③ B.①③
C.②③ D.①②
C
D
4.如图所示,一次函数 y1=-x-2与y2=x-4的图象相交于点A.
(1)点A的坐标为 ;
解:(1)(1,-3)
(2)若一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象与x轴分别相交于点B,C,求△ABC的面积;
(3)结合图象,直接写出当y1≥y2时,x的取值范围.
(3)根据图象可知,当y1≥y2时,x的取值范围是x≤1.
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19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
1.正比例函数的定义
一般地,形如y=kx(k是常数, )的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例 .
2.正比例函数的图象
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过 的直线,我们称它为直线y=kx.
k≠0
系数
原点
3.正比例函数的性质
(1)当k>0时,直线y=kx经过第 、 象限,y随x的增大而
;
(2)当k<0时,直线y=kx经过第 、 象限,y随x的增大而
.
一
三
增大
二
四
减小
正比例函数的概念
[例1] 下列函数哪些是正比例函数 如果是正比例函数,请指出比例
系数.
(1)y=-4x;(2)y=3x-1;
解:(1)y=-4x是正比例函数,比例系数是-4.
(2)y=3x-1不是正比例函数.
正比例函数满足的条件
(1)比例系数k≠0;(2)所给等式是形如y=kx (k≠0) 的等式,两变量x,y的次数都是1.
新知应用
A
C
B
-1
正比例函数的图象和性质
[例2] 已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的解析式;
解:(1)把点(3,-6)代入函数y=kx,
得-6=3k,解得k=-2.
∴函数解析式为y=-2x.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象;
(3)该直线经过 象限,y随x的增大而 .
解:(2)经过点(0,0),(1,-2)画出图象如图所示.
(3)第二、第四 减小
(1)画y=kx(k是常数,k≠0)的图象时,一般过点(0,0)和(1,k)画直线;
(2)判断点是否在直线上,把点的横坐标代入函数解析式,求出函数值比较即可.
新知应用
D
C
<
1.正比例函数y=2x的大致图象是( )
2.已知y=(m-2)x|m-1|是关于x的正比例函数,则m的值为( )
A.2 B.1
C.0或2 D.0
B
D
3.关于函数y=5x,下列结论正确的是( )
A.函数图象经过点(5,1)
B.函数图象经过第二、第四象限
C.y随x的增大而增大
D.不论x取何值,总有y>0
4.若一个正比例函数的图象经过A(3,-6),B(m,-4)两点,则m的值为 .
C
2
5.已知正比例函数y=(1-2a)x.
(1)若函数的图象经过第一、第三象限,求a的取值范围;
(2)若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为函数图象上的两点,且当x1y2,求a的取值范围.
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第十九章 一次函数
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值. 2.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的解析式;会运用待定系数法确定一次函数的解析式. 3.能画一次函数的图象,根据图象和解析式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数. 4.体会一次函数与二元一次方程的关系. 5.能用一次函数解决简单实际问题. 提升运算能力、增强几何直观、空间观念和推理能力,建立模型观念.
19.1 函 数
19.1.1 变量与函数
1.变量与常量
在一个变化过程中,数值 的量为变量,数值 的量为常量.
2.函数的概念
(1)一般地,在一个变化过程中,如果有两个 x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有 确定的值与其对应,那么就说x是
,y是x的 ;
发生变化
始终不变
变量
唯一
自变量
函数
(2)如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 .
3.函数的解析式
用关于 的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式.
函数值
自变量
变量与函数
[例1] 分别指出下列式子中的变量和常量:
(1)圆的周长C与半径r的关系为C=2πr;
(2)小明带100元去买书,每本定价是12元,余下的钱数y(元)与买书的数量 x(本) 的关系为y=100-12x;
解:(1)C,r是变量,2,π是常量.
(2)x,y是变量,100,12是常量.
(3)x,y是变量,36是常量.
新知应用
假设汽车匀速行驶在高速公路上,那么在下列各量中:①行驶速度;②行驶时间;③行驶路程;④汽车油箱中的剩余油量.变量的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
自变量的取值范围
D
新知应用
A
x>5
函数解析式及函数值
[例3] 为了了解某种汽车的耗油量,我们对这种汽车在高速公路上做了耗油试验,并把试验的数据记录下来,制成下表:
解:(1)Q=100-6t.
汽车行驶 时间t/h 0 1 2 3 …
油箱剩余 油量Q/L 100 94 88 82 …
(1)根据上表的数据,写出用t表示Q的关系式.
(2)汽车行驶5 h后,油箱中的剩余油量是多少
(3)若汽车油箱中剩余油量为55 L,则汽车行驶了多少小时
解:(2)当t=5 h时,Q=100-6×5=100-30=70(L).
答:汽车行驶5 h后,油箱中的剩余油量是70 L.
(3)当Q=55 L时,55=100-6t,
解得t=7.5 h.
答:汽车行驶了7.5 h.
新知应用
一水池的容积是90 m3,现蓄水10 m3,用水管以5 m3/h的速度向水池注 水,直到注满为止.
(1)写出蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的关系式.
(2)当t=10 h时,V的值是多少
解:(1)V=10+5t(0≤t≤16).
(2)当t=10 h时,V=10+50=60(m3).
1.某电影的票价为45元,买x张共付y元,则45和x分别是( )
A.常量,变量 B.变量,变量
C.常量,常量 D.变量,常量
2.下列函数中,自变量x的取值范围是x>1的是( )
A
B
77
4.如图所示的是我国古代某种铜钱的平面示意图,该图形是在一个圆形的中间挖去一个正方形得到的.若圆的半径是 3 cm,正方形的边长为
x cm,设该图形的面积为y cm2(注:π取3).
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)当x=1时,求y的值.
解:(1)由题意,知y=3×32-x2=27-x2.
(2)当x=1时,y=27-12=26.
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