(共40张PPT)
第十七章 勾股定理
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 提升计算能力、推理能力、抽象能力,建立模型观念.
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的应用
如图所示,在△ABC中,∠C=90°.
(1)若已知a,b,则斜边c= ;
(2)若已知a,c,则b= ;
(3)若已知c,b,则a= .
勾股定理及其证明
[例1] 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图所示,火柴盒的一个侧面ABCD(是一个长方形)倒下到AB′C′D′的位置,连接AC,AC′,CC′,设AB=a,BC=b,AC=c.请利用此图证明勾股定理.
解:根据S梯形BCC′D′= +2S△ABC,可得 = + .
整理,得 .
从而证明勾股定理.
S△AC′C
a2+b2=c2
勾股定理的证明通常通过构图法来证明,通过对图形的拼接、割补等,利用整个图形面积等于各部分图形面积的和,列出等量关系整理得出
结论.
新知应用
4个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c.现把它们适当拼合,可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗 请试一试.
利用勾股定理计算
[例2] 如图所示,在△ABC中,AB=13,BC=21,AD=12,且AD⊥BC,垂足为D,求AC的长.
当几个直角三角形出现共边时,考虑连续使用勾股定理求线段的长.
新知应用
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,D是BC上一点,AD=BD.若AB=8,
BD=5,则CD等于( )
A.2.1 B.1.4 C.3.2 D.2.4
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=30°,AD=1,则△ABC的周长为 .
B
B
B
B
3.如图所示,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,已知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3,则正方形D的面积为( )
A.8 B.9 C.27 D.45
4.填空:
(1)在平面直角坐标系中,点P(-3,5)到原点的距离是 ;
5.如图所示,在Rt△AOB和Rt△COD中,AB=CD=25,OB=7,AC=4.
(1)求OC的长;
(2)求BD的长.
第2课时 勾股定理的应用
勾股定理在解决与直角三角形有关的问题及其他许多实际问题时很有用.有关锐角三角形或钝角三角形的计算也可以转化为含有 三角形的计算.用勾股定理加以解决,关键在于找出这个 三角形.
直角
直角
勾股定理在实际问题中的应用
[例1]某路段修建过程中需要经过一座小山.如图所示,施工方计划沿AC方向开挖隧道,为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A,C,D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°,AB=4 km,∠ABD=105°,求BD的长.
利用勾股定理解决实际问题,首先要从实际问题中抽象出直角三角形,将已知和待求的线段置于直角三角形中解决.
新知应用
勾股定理与方程的应用
[例2]如图所示,小颖和她的同学荡秋千,秋千AB在静止位置时,下端B′离地面 0.6 m;秋千到AB的位置时,下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4 m,距地面1.4 m,求秋千AB的长.
解:设AB=AB′=x m.
由题意可得B′E=1.4-0.6=0.8(m).
则AE=(x-0.8)m.
在Rt△AEB中,∵AE2+BE2=AB2,
∴(x-0.8)2+2.42=x2,解得x=4.
答:秋千AB的长为4 m.
在几何图形中,要求线段的长,可将其设为未知数,利用相关图形的性质、勾股定理等建立方程或方程组求解.
新知应用
如图所示,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,求旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计).
解:如图所示,过点C作CB⊥AD,垂足为B.
设旗杆高度为x,则AC=AD=x,AB=(x-2)m,BC=8 m,
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
即(x-2)2+82=x2,解得x=17.
∴旗杆的高度为17 m.
A
1.如图所示,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为( )
A.2.2 m B.2.3 m
C.2.4 m D.2.5 m
4
2.如图所示,高速公路上有A,B两点相距10 km,C,D为两村庄,已知DA=
4 km,CB=6 km.DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则EB= km.
3.在平静的湖面上,有一棵水草,它高出水面3 dm,一阵风吹来,水草被吹到一边,草尖齐至水面,已知水草移动的水平距离为6 dm,则这里的水深是多少
解:如图所示,AD是水草,D是无风时水草的最高点,
BC为湖面,AB是一阵风吹过后水草的位置.
由题意,得CD=3 dm,CB=6 dm,AD=AB,BC⊥AD,
在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2,
即(AC+3)2=AC2+62,解得AC=4.5(dm).
∴这里的水深为4.5 dm.
4.如图所示,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一小男孩拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变.A,B,F三点在一条直线上,CF⊥AF.回答下列问题:
(1)根据题意可知AC BC+CE(选填“>”“<”或“=”);
解:(1)=
(2)若CF=5 m,AF=12 m,AB=8 m,求小男孩需向右移动的距离(结果保留根号).
第3课时 利用勾股定理作图
无理数
实数
在数轴上表示无理数
解:如图所示,点M即为所求.
新知应用
解:如图所示,点B即为所求.
网格中的无理数
[例2] 在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图(1)所示的是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.在图(1)中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,可以借助此图求出△ABC的面积.
(1)在图(1)中,所画出的△ABC的三边长分别是AB= ,BC= ,
AC= ,△ABC的面积为 ;
任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边和对角线,所以任何格点间的线段的长度都能求得.
新知应用
如图所示,每个小正方形的边长都是1,在每幅图中以格点为顶点,分别画出一个符合下列条件的格点三角形.
(1)在图(1)中画出一个等腰直角三角形ABC,要求底边AC=2,腰长为无理数;
解:(1)答案不唯一,如图①所示,△ABC即为所求.
(2)在图(2)中画出一个直角三角形DEF,要求DF=5,DE,EF长为无理数.
解:(2)答案不唯一,如图②所示,△DEF即为所求.
A
1.(2023汶上期末)如图所示,已知网格中每个小正方形的边长均为1,以点A为圆心,AB长为半径画弧交网格线于点D,则ED的长为( )
B
2.如图所示,图中小正方形的边长为1,则△ABC的周长为( )
(0,4)
3.(2023成华期末)如图所示,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(-2,0),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交y轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .
4.如图所示,数轴上点C表示的数是1,点F表示的数是-2,CD=1,以CD,CF为边作长方形CDEF,以点C为圆心、CE的长为半径画弧交数轴于A,B两
点,则点A表示的数是 ,点B表示的数是 .
5.在边长为1的正方形网格中,以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
解:如图所示(答案不唯一).(共15张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
1.互逆命题
如果两个命题的 和 正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做 ,那么另一个叫做它的
.
2.互逆定理
一般地,如果一个定理的 经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为 .
3.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
4.勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数.
题设
结论
原命题
逆命题
逆命题
逆定理
正整数
逆命题及判定
[例1] 写出下列命题的逆命题,并判断其真假:
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)如果x=2,那么x2=4;
(3)等腰三角形两底角相等;
(4)全等三角形的对应角相等;
(5)对顶角相等;
(6)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
解:(1)逆命题:两直线平行,同位角相等,它是真命题.
(2)逆命题:如果x2=4,那么x=2,它是假命题.
(3)逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.
(4)逆命题:对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.
(5)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,它是假命题.
(6)逆命题:到线段两个端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上,它是真命题.
新知应用
下列命题的逆命题中:①如果a+b=0,那么a=0,b=0;②等角的余角相等;③如果一个数的平方是9,那么这个数是3.真命题的个数是 .
3
勾股定理的逆定理
[例2] 一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定使得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积.
应用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形时,要利用三边关系“两边的平方和等于第三边的平方”判断,其中第三边是最长边,是所判定直角三角形的斜边.
新知应用
9
A
1.已知下列命题:
①若a>b,则a2>b2;
②若a>1,则(a-1)0=1;
③两个全等三角形的面积相等.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.0 B.3 C.2 D.1
2.已知△ABC的三边长分别是5,12,13,则△ABC的面积是( )
A
C
3.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则∠BAC与∠DAC的大小关系为( )
A.∠BAC>∠DAC B.∠BAC<∠DAC
C.∠BAC=∠DAC D.无法确定
4.阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②
∴c2=a2+b2.③
∴△ABC为直角三角形.④
(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号: .
(2)写出正确的解题过程.
解:(1)③
(2)∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).
∴c2=a2+b2,或a=b.∴△ABC是直角三角形或等腰三角形.
5.如图所示,在△ABC中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,
E,且CB2=AE2-CE2.
(1)求证:∠C=90°;
(1)证明:连接BE,如图所示.
∵AB边上的垂直平分线为DE,
∴AE=BE.
∵CB2=AE2-CE2,
∴CB2=BE2-CE2.
∴CB2+CE2=BE2.
∴∠C=90°.
(2)若AC=4,BC=3,求CE的长.
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第十七章 勾股定理
章末知识复习
C
C
C
3.如图(1)所示,美丽的弦图蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边长为a,较短的直角边长为b,斜边长为c.如图(2)所示,现将这四个全等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积为( )
4.在一条笔直公路l上有A,B两个停靠站,公路旁有一块山地C正在开
发,现在C处时常需要爆破作业.如图所示,已知A,B两站相距2 km,且∠ABC=30°,∠BAC=60°,为了安全起见,爆破点C周围半径500 m范围内任何人不得进入,那么在进行爆破时,公路AB段是否需要暂时封锁 请说明理由.
B
7.在如图所示的网格中,连接AB,AC,则∠1+∠2= .
45°
8.如图所示,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;
(1)解:∠A+∠B<∠C.
9.如图所示,学校有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC,分别种植“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉.经测量,∠EDC=90°,DC=6 m,CE=10 m,BD=14 m,AB=16 m,AE=2 m.
(1)求DE的长;
(2)求四边形ABDE的面积.
类型一 方程思想
(1)已知直角三角形三边关系,设未知数,根据勾股定理列方程求解;
(2)在解决实际问题时,通常根据勾股定理列方程求解.
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE为△ABC的角平分线,且ED⊥AB于点D,若 AC=6,BC=8,则DE的长为 .
3
类型二 分类讨论思想
常见的分类讨论类型
(1)等腰三角形的边不能确定时;
(2)三角形的形状不能确定时.
C
A.10 B.8
C.6或10 D.8或10
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是
.
3.6或4.32或4.8
C
D
2.(2022天津)如图所示,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
A.(5,4) B.(3,4)
C.(5,3) D.(4,3)
3.(2022孝感)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).
m2+1
4.(2022内江)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图(1)所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=
.
48
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