人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》单元测试卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）必修第二册《第六章平面向量及其应用》 2024年单元测试卷（5）
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
2.已知向量，是不平行于x轴的单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则( )
A. 3 B. 1 C. 1或3 D. 无解
4.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，若，，则等于( )
A. B. C. D.
6.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7.已知的三个顶点的坐标分别为、、，则的重心坐标为______.
8.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则______.
9.在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且，，则面积的最大值为______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题12分
已知三点，，设，，，且，
求；
求满足的实数m，n；
求点M，N的坐标及的坐标.
11.本小题12分
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
判断的形状；
若为锐角三角形，，求的最大值.
12.本小题12分
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求C；
若，，求
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量共线的条件．
向量是以坐标形式给出的，首先运用共线向量基本定理求出m，然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．
【解答】
解：由向量，，且，
所以，所以
则，
所以
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的坐标运算，是一道基础题．
设，，得到方程组，解出即可．
【解答】
解：由是不平行于x轴的单位向量，设，，则依题意有
，解得：，
故选
3.【答案】C
【解析】解：，，，
由余弦定理得，
即，所以或
故选：
结合已知，由余弦定理得可求
本题主要考查了余弦定理的简单应用的简单应用，属于基础试题
4.【答案】A
【解析】【分析】
由向量垂直的坐标表示求得m值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
【解答】
解：，，
由，解得或
“”是“”的充分不必要条件．
故选：
5.【答案】A
【解析】解：，
由正弦定理可得：，
又，
，
利用余弦定理可得：，
由于，解得：
故选：
由正弦定理化简已知可得：，又，可解得，利用余弦定理可得，结合范围，即可解得
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
推导出，，从而求出，，由此能求出向量与的夹角．
本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：两个非零向量，满足，
，
，，
，
，
向量与的夹角
故选：
7.【答案】
【解析】解：设，，，
则
重心坐标为
故答案为：
设出三角形三个顶点的坐标，根据所给的三边的中点坐标和中点的坐标公式，得到六个关系式，把含有相同变量的三个关系式相加，得到三个顶点的坐标之和，即出现了重心的坐标的表示式，得到结果即可．
本题考查三角形的重心坐标公式，本题解题时看起来比较复杂，但是在解题过程中注意观察出现的结果，不用求出三个顶点的坐标，而是以整体形势来处理．
8.【答案】
【解析】解：因为，，，
由正弦定理得
故答案为：
由已知结合正弦定理即可求解
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由正弦定理可得，
，，，
，
，
整理可得，，
即，
由余弦定理可得，，
，即，
，，
，
，
当且仅当时取等号，
即面积最大值，
故答案为：
由已知结合正弦定理及余弦定理化简即可求解A，然后结合基本不等式可求bc的范围，代入三角形的面积公式即可求解面积的最值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用及利用基本不等式求解最值，属于中档试题．
10.【答案】解：由已知得，，，
，
，
，解得；
，
，，
又，
，，

【解析】分别求出向量，，，计算的值即可；
根据对应关系得到关于m，n的方程组，解出即可；
分别表示出向量和，求出向量的坐标即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题．
11.【答案】解：由题意：，
整理得，
故或，
当时，为直角三角形，
当时，，为等腰三角形．
故为直角三角形或等腰三角形．
由正弦定理，得，
，，
又，，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
当时，即时取最大值，最大值为
综上，最大值为
【解析】直接利用三角函数的关系式的变换，判断出三角形的形状；
首先利用锐角三角形判定B的范围，进一步利用函数关系式和正弦型函数的性质判定出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角形形状的判定，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】解：由余弦定理可得，
因为C为三角形的内角，故；
因为，
由正弦定理可得，，
所以，
因为，
故即，
由A为三角形内角可得，
因为，
由正弦定理可得，，
所以，即
【解析】由已知结合余弦定理可求，进而可求C；
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)