人教A版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念-6.2 平面向量的运算》同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念-6.2 平面向量的运算》2024年同步练习卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.下列结论中正确的为( )
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向
3.在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状一定是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形
4.向量与不共线，，，且与共线，则k，l应满足( )
A. B. C. D.
5.若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.若，，，且，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
8.对于任意向量，，下列命题中正确的是( )
A. 如果，满足，且与同向，则
B.
C.
D.
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是( )
A. ，
B.
C.
D.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
10.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最大值为______.
11.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则______.
四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题8分
化简下列各式：
；
；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
故选：
利用向量的加减法运算法则可得答案．
本题考查向量的加减法运算法则的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：单位向量的方向任意，
当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A选项错误，
向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，故B选项正确，
当 时，没有意义，故C选项错误，
零向量的方向是任意的，故D选项错误．
故选：
根据零向量，单位向量的概念，以及相反向量模长相等的公式，即可求解．
本题主要考查了零向量，单位向量的概念，以及模长的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在四边形ABCD中，，可得四边形ABCD的形状一定平行四边形，又，因此平行四边形是菱形．
故选：
利用向量的平行四边形法则、菱形的定义即可判断出结论．
本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：不共线，，且与共线，
存在实数，使，
，
故选：
根据题意知，然后根据与共线可得出，从而可得出k，l应满足的关系式．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：
且
，
当、夹角为时，左边取等号；当、夹角为时，右边取等号
可得
由此可得的取值范围是
故选：
根据平面向量减法法则，得，从而将化简整理得讨论、夹角可得，由此代入前面的式子即可得到的取值范围，进而得到的取值范围．
本题给出向量、的模，求向量模的取值范围，着重考查了平面向量减法法则和平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设与的夹角为，
则，
向量在向量上的投影向量为
故选：
由已知利用数量积求与的夹角，再由投影向量的概念求解．
本题考查由数量积求夹角，考查投影向量的概念，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，设向量，的夹角为，
若，且，则，
解可得：，
又由，则；
故选：
根据题意，设向量，的夹角为，分析可得，解可得的值，结合的范围分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如果，满足，且与同向，由于向量不能比较大小，故A错；
B.对于任意向量、，由向量的三角形法则和三角形三边大小关系可得，
，故B正确；
C.，故C错；
D.可举，，则，故D错．
故选：
A.由于向量不能比较大小，即可判断出；
B.由向量的三角形法则和三角形三边大小关系即可判断出；
C.由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可判断；
D.可取同向的两向量，比如，，即可判断．
本题考查两向量的运算的性质，两向量和的模不大于模的和，差的模不小于模的差，同时考查向量的数量积的性质，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为平行四边形ABCD，
所以，且，
，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B错误；
对于C，因为，，
所以，
故C正确；
对于D，因为，
故D错误；
故选：
根据向量的相等可判断A；
由向量的加减运算法则可验证B，C，D是否正确．
本题考查了向量的相等，向量的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，则，
，，，
，，，
即的最大值为
故答案为：
把已知等式平方求得，化简，结合余弦函数的有界性得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：建立坐标系如图，正方形ABCD的边长为2，
则，，，点P满足，
所以，，，
所以
故答案为：
画出图形，判断P的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
12.【答案】解：
；
；

【解析】由平面向量的线性运算依次化简即可．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
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