人教A版（2019）必修第二册《6.2.4 向量的数量积》同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《6.2.4 向量的数量积》2024年同步练习卷（4）
一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，的夹角为，且，则( )
A. 1 B. C. D.
2.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则( )
A. 6 B. 10 C. 24 D. 26
3.已知向量，满足，，则( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
4.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则( )
A. 4
B. 1
C.
D.
5.已知向量，满足，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. 1 D. 13
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
6.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )
A. 若，则
B. 点，，与向量同方向的单位向量为
C. 若，则与的夹角为
D. 若向量，则向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7.已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为______.
8.已知向量，的夹角为，若，，则______.
9.已知为单位向量，且满足，则______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题12分
已知向量，若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围；
已知、是两个不共线的非零向量，如果，，，证明：A、B、D三点共线．
11.本小题12分
已知向量
若，求；
若，求与的夹角.
12.本小题12分
设是不共线的两个非零向量.
若，求证：A，B，C三点共线；
已知的夹角为，问当k为何值时，向量与垂直？
13.本小题12分
已知平面上三点A，B，C，且，，
若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件；
若为钝角三角形，求k的取值范围.
14.本小题12分
已知
，求
若与的夹角为，求；
若与垂直，求与的夹角．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由，且与的夹角为，
得，
所以
故选：
求出，再利用数量积的运算律求解作答．
本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设方向上的单位向量为，图形中的另一个单位向量为，所以，的夹角为，
，，
故选：
画出图形，作出斜率的一组基底，然后求解所求向量，利用向量的数量积求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，作出基底是解题的关键，考查计算能力．
3.【答案】B
【解析】解：由已知得
故选：
直接利用向量的加减法和数量积的运算性质求解．
本题考查了向量的加、减法和数量积的运算性质．
4.【答案】A
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，
则，
所以
故选：
建立平面直角坐标系，可得，结合向量的坐标运算求解．
本题考查平面向量的坐标表示及数量积运算，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
所以
故选：
根据向量模的公式，可得，由此利用数量积的定义与运算性质，求出的值．
本题主要考平面数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，属于基础题．
6.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为，所以，故正确；
对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；
对于C，因为，所以即化简得，
因为，所以，即，化简得，
所以，
因为，所以，故错误；
对于D，因为，所以向量在向量上的投影向量为，故正确．
故答案为：
对于A，算出即可判断；对于B，与向量同方向的单位向量为，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过能得到，通过能得到，再利用计算即可判断；对于D，向量在向量上的投影向量为，通过向量坐标运算即可判断．
本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题可得向量在向量的方向上的投影为，
故答案为：
根据向量投影的定义代入即可求解．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量投影的求法，属于基础题．
8.【答案】3
【解析】解：因为，的夹角为，且，
所以，
因为，，
所以，
所以，解得
故答案为：
由平面向量的数量积运算计算即可得解．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：为单位向量，且满足，
所以，，
解得，所以
故答案为：
将已知等式和所求等式都平方处理即可．
本题考查数量积公式，属于基础题．
10.【答案】解：因为与的夹角是钝角，则，可得，
且与不共线，则，解得，
综上所述，实数k的取值范围是；
证明：由已知，
因为AB、BD共点B，所以，A、B、D三点共线．
【解析】由已知可得出且与不共线，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数k的取值范围；
证明出，即可证得结论成立．
本题考查了平面向量数量积的应用以及三点共线的证明，属于基础题．
11.【答案】解：向量，则，
由，得，
解得，即，
所以
向量，则，由，得，
解得，则，，而，
因此，而，
所以与的夹角
【解析】利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出x，再求出向量的模．
利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出x，再求出向量夹角．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】解：证明：由，
得，
，
所以，
且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
由题意可知，，
所以，
所以，
所以
【解析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
13.【答案】解：由题可知，，，
由A，B，C不构成三角形，可得A，B，C三点共线，
则有，解得；
当C为钝角时，有，
即，解得且；
当A为钝角时，，，
则有，即，解得；
当B为钝角时，，，
则有，即，此不等式无解；
综上，k的取值范围是
【解析】由题意知，A，B，C三点共线，利用向量共线的坐标关系即可求得k值；
分别根据角A，B，C为钝角，由相应向量的数量积小于零且向量不共线，列不等式即可解得k的范围．
本题考查向量共线的坐标关系，考查数量积的性质及运算，属中档题．
14.【答案】解：，且方向相同，
因此；
与的夹角为，，
，
因此；
与垂直，，整理得，
令与的夹角为，因此，
与的夹角
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积求向量的夹角，是中档题．
由已知可得且方向相同，然后直接由数量积公式求值；
由已知求出，开方得答案；
与垂直，可得，再由数量积求夹角公式求得与的夹角．
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