人教A版（2019）必修第二册《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示》同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示》2024年同步练习卷（2）
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列为正交分解的是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知基向量，，，则m的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知基向量，，，，则的坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，点B的坐标为，那么点A的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如果将绕原点O逆时针方向旋转得到，则的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，则向量( )
A. 平行于x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于y轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
7.已知向量，则______.
8.已知向量，，且，则实数______，______.
9.已知，，若，则点C的坐标为______.
10.已知向量与向量平行，则______，______.
11.已知点，，，则向量的坐标是__________；若A，B，C三点共线，则实数__________.
12.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题12分
已知，，，若，求点M的坐标．
14.本小题12分
已知，，
证明A，B，C三点共线；
若，求点D的坐标．
15.本小题12分
已知点，，，，O为坐标原点，且与相等，求的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，，但是与不垂直，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，，但是与不垂直，故C错误；
对于D，，但是与不垂直，故D错误．
故选：
首先判断各个选项中的向量加减运算是否正确，接下来根据平面向量正交分解的定义逐一分析判断各选项即可．
本题考查平面向量的加、减法运算法则和正交分解的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：，，
故选：
利用平面向量的坐标运算可得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：，，，，
故选：
利用面向量的坐标运算可得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设点A的坐标为，则，
所以，解得，
所以
故选：
设出点A的坐标，利用坐标表示与向量相等列方程组求出即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：向量OA与x轴夹角的正切：，则
OA绕原点O点逆时针转，到OB，OB与x轴正向夹角为，
可见：OB与OA相对y轴对称．
因此B点的坐标为：
故选：
求出向量OA与x轴夹角的正切，可得的值，再结合已知条件即可求出答案．
本题考查了旋转的性质，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：，，
故平行于y轴．
故选C
先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．
本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，
则，
则；
故答案为：
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得，进而计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量的坐标计算公式．
8.【答案】
【解析】解：知向量，，且，
可得，，解得，
故答案为：1；
直接利用相等向量，列出方程求解即可．
本题考查向量相等条件的应用，基本知识的考查．
9.【答案】
【解析】解：设，
，，，
，
，解得，，
点C的坐标为
故答案为：
利用平面向量坐标运算法则直接求解．
本题考查点的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：当向量与向量平行时，
有，
解得，
故答案为：6，
根据空间向量的共线定理，得出关于x、y的方程组，求出解即可．
本题考查了空间向量的共线定理与应用问题，是基础题目．
11.【答案】 ； 2
【解析】解：已知点，，，
，
若A，B，C三点共线，则与共线，
由，
由向量共线定理，，，
故答案为：；
直接求出向量，A，B，C三点共线，则与共线，由向量共线定理，求出x即可．
考查向量的运算，向量共线定理的应用，基础题．
12.【答案】2
【解析】解：如图，作向量，则：
，；
；
根据平面向量基本定理得，；
解得；
故答案为：
可在图中作出向量，根据图形便可得出，，根据进行向量的数乘运算便可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的二元一次方程组，解出，，从而便可求出的值．
考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
13.【答案】解：，，，
，，
设，则，
，
，
，解得，，

【解析】利用平面向量坐标运算法则求解．
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．
14.【答案】解：，，
，
可知，故
，B，C三点共线；
，设
则可知
即解得

【解析】先根据，，求出向量与，根据可得A，B，C三点共线；
设，根据建立等式，解之即可求出点D的坐标．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及三点共线的证明，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
15.【答案】解：，，
，，
，
，
，
，，

【解析】根据条件可得出，，根据即可求出C点的坐标，进而可求出的坐标．
本题考查了向量坐标的定义，向量坐标和点的坐标的关系，考查了计算能力，属于基础题．
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