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8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和、差、倍、分及销售问题
1.方程组是解决含有 未知数问题的重要工具,用方程组解决问题时,要根据问题中的数量关系列出方程组,求出方程组的解后,应进一步考虑它是否符合问题的 .
2.应用二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答.
多个
实际意义
和、差、倍、分问题
[例1] (跨学科融合)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量.
(2)某森林公园中有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有约50 000片树叶.这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克
解:(2)50 000×40=2 000 000(mg)=2 kg,
答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2 kg.
(1)要把实际问题中的“和、差、倍、分”关系转化为两个量之间的等量关系,并利用这些关系列出方程;
(2)要把一些关键字如“大、小、多、少 ”在方程两边转化为正确的“加减”关系.
新知应用
(2022赤峰)某学校建立了劳动基地,计划在基地上种植A,B两种苗木共
6 000株,其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株.请问A,B两种苗木各多少株.
销售问题
[例2] 某商场购进甲、乙两种服装后,都加价40%再标价出售,春节期间商场搞优惠促销,决定将甲、乙两种服装分别按标价的 8折和9折出售,某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元,两种服装标价之和为210元,这两种服装的进价和标价各是多少元
新知应用
随着中国传统节日“端午节”的临近,某商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打8折,乙品牌粽子打7.5折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要
5 200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子需要多少钱
解:(2)80×70×80%+100×80×75%=10 480(元).
答:打折后购买这批粽子需要10 480元.
B
2.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题: “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几
丁 ”意思是有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分
3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人 设大、小和尚各有x人,
y人,则可以列方程组为 .
3.某电器超市销售每台进价分别为 2 000 元、1 700元的A,B两种型号的空调,下表所示的是近两周的销售情况:
销售 时段 销售数量 销售
额
A种型号 B种型号
第一周 4台 5台 20 500元
第二周 5台 10台 33 500元
(1)求A,B两种型号的空调的销售单价;
(2)求这两周的销售利润.
解:(2)由(1),知A型号空调的销售单价为2 500元,B型号空调的销售单价为2 100元,
则销售总利润为(2 500-2 000)×(4+5)+(2 100-1 700)×(5+10)
=10 500(元).
∴这两周的销售利润为10 500元.
第2课时 工程、行程问题及其他
1.行程问题
(1)路程=速度×时间;
(2)顺风(水)速度=静风(水)速度 风(水)速;
(3)逆风(水)速度=静风(水)速度 风(水)速.
2.工程问题
工作量=工作效率×工作时间.
3.数字问题
(1)若个位数字为a,十位数字为b,则该两位数是 ;
(2)若两位数,十位数字为a,个位数字为b,十位、个位调换后的两位数是 .
+
-
10b+a
10b+a
工程问题
[例1] 现有一段长为88 m的河道清淤任务,由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲队每天清理10 m,乙队每天清理8 m,两队共用时10天,则甲、乙两工程队各清理了几天
新知应用
1.甲、乙承包一项任务,共生产机器零件 420个,甲先做2天,乙加入合作,再做2天完成;如果乙先做2天,甲加入合作,那么再做3天完成.设甲每天做x个零件,乙每天做y个零件的方程组为( )
C
2.甲、乙两工程队共同修建150 km的公路,原计划30个月完工.实际施工时,甲队通过技术创新,施工效率提高了50%,乙队施工效率不变,结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长
行程问题
[例2] 小魏和小梁从A,B两地同时出发,小魏骑自行车,小梁步行,沿同条路线相向匀速而行.出发2 h两人相遇.相遇时小魏比小梁多行24 km,相遇后0.5 h小魏到达B地.
(1)两人的速度分别是多少
(2)相遇后小梁多少时间到达A地
解:(2)2×16÷4=8(h).
答:相遇后小梁8 h到达A地.
新知应用
1.(教材P101习题8.3T2变式)一汽艇顺流航行36 km与逆流航行24 km的时间都是3 h,如果设汽艇在静水中的速度为每小时 x km,水流速度为每小时y km,那么下面所列方程正确的是( )
B
2.(教材P102习题8.3T6改编)小明从家里到学校先是走一段平路然后走一段下坡路,假设他始终保持平路每分钟走80 m,下坡路每分钟走90 m,上坡路每分钟走60 m,则他从家里到学校需20 min,从学校到家里需
25 min,问:从小明家到学校有多远
D
2.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是7,如果把这个两位数加上9,所得的两位数的个位数字、十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字,则这个两位数是( )
A.34 B.43
C.25 D.52
A
4.(教材P98T7改编)甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行,如果甲比乙先走2 h,那么他们在乙出发2.5 h后相遇;如果乙比甲先走2 h,那么他们在甲出发3 h后相遇,甲、乙两人的速度分别是多少
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*8.4 三元一次方程组的解法
1.三元一次方程组
含有 个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有 个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三
三
三元
二元一次
一元一次
三元一次方程组
[例1] 下列方程组中,是三元一次方程组的是( )
D
新知应用
解下列三元一次方程组:
三元一次方程组的简单应用
新知应用
学校组织了掷飞镖游戏活动:每位选手朝特制的靶子上各投三只飞镖,在同一圆环内得分相同.如图所示,小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分,则小华的成绩是( )
A.31分 B.33分
C.36分 D.38分
C
B
2.(2023滨州期末)有甲、乙、丙三种文具,若购买甲1件,乙2件比购买丙1件,多花9元;若购买甲2件,丙8件比购买乙1件多花18元.现在购买甲、乙、丙各一件文具,则共需费用( )
A.7元 B.8元
C.9元 D.10元
3.若x+2y+3z=5,4x+3y+2z=10,则x+y+z的值为 .
C
3
5.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表所示:
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用
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第2课时 用加减法解二元一次方程组
1.加减法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数 或 时,把这两个方程的两边分别 或 ,就能 这个未知数,得到一个 方程.这种方法叫做 ,简称
.
2.代入消元法与加减消元法的关系
法和 法是二元一次方程组的两种解法,它们都是通过
使方程组转化为 方程,只是消元的方法不同.
相反
相等
相加
相减
消去
一元一次
加减消元法
加减法
代入
加减
消元
一元一次
加减消元法
解:(1)相反数 相等
(2)把方程组①中两个方程的左边与左边相加,右边与右边相加,得
;把方程组②中两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减,得 ;
解:(2)8x=16 4y=4
(3)解上述两个方程组.
新知应用
用加减法解二元一次方程组的简单应用
[例2] (数学文化)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,该书第三卷记载:“今有兽六首四足,禽四首二足,上有七十六首,下有四十六足,问禽、兽各几何 ”译文:今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟,若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少
根据译文,解决下列问题:
(1)设兽有x只,鸟有y只,可列方程组为 ;
(2)求兽、鸟各有多少.
新知应用
2023年元旦期间,小华和家人到某公园景区游玩.湖边有大小两种游船,小华发现:2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人,1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人.则1艘大船可以满载游客的人数为
人.
18
整体思想在加减法中的运用
新知应用
1
9
B
A
D
4.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为 g.
10
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8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 用代入法解二元一次方程组
1.消元思想
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为 方程,则可以先求出一个未知数,再求另一个未知数,这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.
2.代入法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 的式子表示出来,再代入另一个 ,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
一元一次
未知数
方程
代入消元法
y=4x-3
新知应用
B
用代入法解二元一次方程组的简单应用
[例3] 某超市把店里现有的6种售价为11元/千克的奶糖和6种售价为6元/千克的水果糖混合在一起,配成100千克售价为8元/千克的袋装糖,那么应该取奶糖、水果糖各多少千克呢
新知应用
(2022连云港)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”其大意是:今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱,剩余3钱;每人出 7钱,还缺4钱.问人数、物品价格各是多少 请你求出以上问题中的人数和物品价格.
A
B
3.如图所示,是一个正方体的表面展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面,如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,那么y-x的值为
.
4.(数学文化)《算法统宗》中有这样一道题,其大意为有一群人分银 子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两,请问:这一群人共有 人.
-2
6
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第八章 二元一次方程组章末知识复习
知识点一 二元一次方程组的定义与解法
D
A
17
知识点二 二元一次方程组的应用
6.(2023巴中)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中,美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面,或者裁出3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
7.有大、小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22 t,5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25 t,则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 t.
C
23.5
8.某水果商从批发市场用12 000元购进了枇杷和水蜜桃各300千克,枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元.枇杷的售价为每千克40元,水蜜桃的售价为每千克15元(利润=售价-进价).
(1)枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元
(2)该水果商第二次仍用12 000元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各300千克,进价不变,但在运输过程中枇杷损耗了15%.若枇杷的售价不 变,且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%,水蜜桃的售价应调整为每千克多少元
解:(2)设水蜜桃的售价应调整为m元/千克.
由题意,得40×300×(1-15%)+300m-12 000
=(40×300+15×300-12 000)×80%,
解得m=18.
∴水蜜桃的售价应调整为每千克18元.
知识点三 三元一次方程组的解法与应用
C
10.甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件、乙2件、丙 1件,共需130元钱,购买甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱,那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需( )
A.105元 B.95元
C.85元 D.88元
C
类型一 转化和建模的思想
(1)借助“消元”法将二元一次方程转化为一元一次方程来求解;
(2)利用方程思想建立数学模型解决实际问题.
B
2.(数学文化) “今有四十鹿进舍,小舍容四鹿,大舍容六鹿,需舍几何 (改编自《缉古算经》)”大意为今有40只鹿进圈舍,小圈舍可以容纳4头鹿,大圈舍可以容纳6头鹿,且恰好每个圈舍都能放满,求所需圈舍的间数.则求得的结果有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
C
类型二 整体思想
应用整体思想解二元一次方程组和三元一次方程组.
B
B
1
5.(2023安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
6.(2022福建节选)在学校开展以“劳动创造美好生活”为主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买绿萝和吊兰各多少盆
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第八章 二元一次方程组
学业要求 学生核心素养目标
1.理解二元一次方程(组)及其解的概念;会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解;能根据简单的实际问题列出二元一次方程组. 2.能根据二元一次方程组的特征,选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;会解简单的三元一次方程组. 3.能根据等量关系列二元一次方程组解应用题. 建立模型观念,提高运算能力、推理能力和抽象能力.
8.1 二元一次方程组
1.二元一次方程的有关概念
(1)二元一次方程:方程中含有 个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 ,像这样的方程叫做二元一次方程;
(2)二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的
的值,叫做二元—次方程的解.
两
1
两个未知数
2.二元一次方程组的有关概念
(1)二元一次方程组:方程组中有 未知数,含有每个未知数的项的次数都是 ,并且一共有 个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组;
(2)二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的
,叫做二元一次方程组的解.
两个
1
两
公共解
二元一次方程(组)的定义
[例1] 下列方程,其中是二元一次方程的有 ,是二元一次方程组的有 (填序号).
③⑤
④
新知应用
1.(2023仓山区期中)下列方程组是二元一次方程组的是( )
B
2
0
二元一次方程(组)的解
[例2] 二元一次方程x-2y=1有无数组解,下列四组值中不是该方程的解的是( )
B
[例3] 二元一次方程2x+y=7的正整数解有( )
A.2组 B.3组
C.5组 D.4组
B
①③
②③
③
(1)判断一组数值是不是方程(组)的解,可将这组数值代入方程(组),若满足该方程(组),则这组数值是这个方程(组)的解,若不满足该方程(组),则这组数值不是这个方程(组)的解;
(2)二元一次方程中,如果已知其中一个未知数的值,我们可以利用二元一次方程的解的定义求出与它对应的另一个未知数的值;
(3)二元一次方程有无数组解,但它的正整数解是有限的.
新知应用
B
7
1.下列方程中,是二元一次方程的是( )
A
C
3.(2023遂宁)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中记载了这样一个题目:今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何 其大意是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),两袋质量相等,两袋互换一枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银各重几两 设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意,得方程组( )
D
4.请写出方程4x+y=11的所有正整数解: .
5.若方程(m+1)x|m|+(n-1)=-3是关于x,y的二元一次方程,求m+n的值.
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