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第九章 不等式与不等式组
学业要求 学生核心素养目标
1.结合具体问题,理解不等式及其解集的意义;能根据不等式的基本性质对不等式进行变形. 2.能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集. 3.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题. 4.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 建立模型观念,提高运算能力、抽象能力和推理能力.
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
1.不等式的定义
用符号“<”或“>”表示 关系的式子,叫做不等式,用“≠”表示 关系的式子也是不等式.
注意:用“≤”或“≥”表示不等关系的式子也是不等式.
2.不等式的解及其解集
(1)不等式的解:使 成立的未知数的值叫做不等式的解;
(2)不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的 的解,组成这个不等式的解集;
大小
不等
不等式
所有
(3)解不等式:求 的过程叫做解不等式;
(4)不等式解集的表示
空心圆圈表示 该点,实心圆点表示 该点;方向向右表示 ,方向向左表示 .用图示在数轴上表示不等式的解集有下列四种情形:
不等式的解集
不包含
包含
大于
小于
x a x≥a x a x a
>
<
≤
不等式的概念
解:(1)a+b>10.
(3)2m≤n-5.
(4)4x+1<3(x-2).
新知应用
B
m<0
2m-n>10
-x<3x+2
不等式的解与解集
[例2] 下列4种说法:
B
解:画图如下:
能使不等式成立的未知数的值都是不等式的解,不等式的解一般有无数个,这无数个未知数的值组成不等式的解集.因此,不等式的解集一般是一个范围,而不是一个具体的值,但如果一个范围不包括所有使不等式成立的未知数的值,那么这个范围就不是不等式的解集.
新知应用
1.下列说法中,正确的是( )
A.x=1是不等式x<2的一个解
B.x=2是不等式3x>5的解集
C.不等式3x>9的解集是x=4
D.x<5是不等式x-5>0的解集
2.不等式x>1的解集在数轴上表示正确的是( )
A
B
C
A
3.y与2的差不大于0,用不等式表示为( )
A.y-2>0 B.y-2<0
C.y-2≥0 D.y-2≤0
4.某不等式的解集在数轴上的表示如图所示,则该不等式的解集是
.
5.若x2是非负数,则x2 0(填不等号).
D
x>-2
≥
(2)x2+2y>0.
(3)-x-1≥2.
(4)x+17<5x.
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9.3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组及其解集
(1)一元一次不等式组:关于同一个未知数的两个 不等式合起来,组成一个一元一次不等式组;
(2)不等式组的解集:一般地,几个不等式的解集的 ,叫做由它们组成的不等式组的解集.
2.解不等式组
求不等式组 的过程.
一元一次
公共部分
解集
3.解一元一次不等式组
(1)先求出其中各不等式的解集;
(2)再求出这些解集的 ;
(3)利用 可以直观地表示不等式组的解集.
公共部分
数轴
解一元一次不等式组
解:(1)x≥-2
(2)x≤1
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为 .
(4)-2≤x≤1
解:(1)解不等式①,得x≥3.
解不等式②,得x>2.
如图所示,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为x≥3.
解:(2)解不等式①,得x<3.
解不等式②,得x≤-1.
如图所示,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为x≤
-1.
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况,如表所示
(已知0
新知应用
A
x>2
x<-2
B
C
A
D
解:(1)解不等式x+1>4,得x>3.
解不等式2(x-1)-5>1,得x>4.
∴原不等式组的解集是x>4.
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第2课时 一元一次不等式的应用
列不等式解应用题的一般步骤
(1)审:分清已知量与未知量及其关系,找到题目中的 关系,要抓住题中“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键字词及其含义;
(2)设:设出适当的 (注意设中不要出现“至少”“最多”类字眼);
(3)列:根据题中的不等关系,列出 ;
(4)解:解这个 ;
(5)检验并作答:检验答案是否符合题意和实际情况,然后作答.
不等
未知数
不等式
不等式
一元一次不等式的应用
[例1] 某校举办冬奥会知识竞赛,竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小东同学得分要不低于140分,他至少要答对多少题
解:设小东同学答对了x道题,则答错或不答(20-x)道题.
由题意可列不等式:
10x-5(20-x)≥140,
解得x≥16.
答:他至少要答对16道题.
[例2] 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食,深受消费者的喜 爱,在新品上市促销活动中,已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要
1 000元,6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元.
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元
(2)某商家欲购进A,B两种型号早餐机共20台,但总费用不超过2 200元,那么至少要购进A型早餐机多少台
解:(2)设购进A型早餐机n台,依题意,得
80n+120(20-n)≤2 200,
解得n≥5.
答:至少要购进A型早餐机5台.
新知应用
1.某超市花费1 140元购进苹果100千克,销售中有5%的正常损耗,为避免亏本(其他费用不考虑),售价至少定为多少元/千克 设售价为x元/千克,根据题意所列不等式正确的是( )
A.100(1-5%)x≥1 140
B.100(1-5%)x>1 140
C.100(1-5%)x<1 140
D.100(1-5%)x≤1 140
A
2.甲、乙两人从相距24 km的A,B两地沿着同一条公路相向而行,如果甲的速度是乙的速度的两倍,如果要保证在2 h以内相遇,则甲的速度
( )
A.小于8 km/h
B.大于8 km/h
C.小于4 km/h
D.大于4 km/h
B
3.(2023江西)今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3 棵,则剩余20棵;如果每人种4棵,则还缺25棵.
(1)求该班的学生人数;
解:(1)设该班的学生人数为x人,
根据题意,得3x+20=4x-25,
解得x=45.
答:该班的学生人数为45人.
(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问至少购买了甲树苗多
少棵
解:(2)设购买甲种树苗y棵,则购买乙种树苗(3×45+20-y)棵,
根据题意,得30y+40(3×45+20-y)≤5 400,
解得y≥80.
∴y的最小值为80.
答:至少购买了甲树苗80棵.
方案选择问题
[例3] 为落实“五育并举”校本课程方案,某中学组织本校师生参加红色研学实践活动,现租用甲、乙两种型号的客车共10辆(每种型号至少一辆)送492名学生和10名教师参加此次实践活动.甲、乙两种型号客车的载客量和租金如表所示:
甲型客车 乙型客车
载客量/(人/辆) 40 55
租金/(元/辆) 600 700
(1)求最多可以租用多少辆甲型客车.
(2)有哪几种租车方案 哪种租车方案最省钱
新知应用
某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶6个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶500元/个,B型分类垃圾桶550元/个,总费用不超过3 100元,则不同的购买方式有( )
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
B
1.某次知识竞赛共20道题,每一题答对得 10分,不答得0分,答错扣5分.小聪有一道题没答,竞赛成绩超过90分.设他答对了x道题,则根据题意可列出不等式为( )
A.10x-5(19-x)≥90
B.10x-5(19-x)>90
C.10x-(19-x)≥90
D.10x-(19-x)>90
B
2.某面馆购进A,B两种老陈醋,A种老陈醋每瓶12元,B种老陈醋每瓶10元,该面馆购进A种老陈醋7瓶和B种老陈醋若干瓶,预算为205元,那么该面馆最多可以购进B种老陈醋( )
A.12瓶 B.10瓶
C.14瓶 D.16瓶
3.一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了10 h,从B地匀速返回A地用了不到12 h,这段江水流速为3 km/h,设轮船在静水里的往返速度为v km/h,且此速度一直保持不变,请列出符合题意的一元一次不等式为 .
A
12(v-3)>10(v+3)
4.近年来,随着国民经济的飞速发展,物流业的市场需求持续扩大.某物流公司承接A,B两种货物的运输业务,已知A种货物的运费价格为80元/吨,B种货物的运费价格为50元/吨.若该物流公司预计9月份运输这两种货物共300吨,且当月运送这两种货物的总收入不低于19 800元,则该物流公司 9月份至少承接运输A种货物多少吨
解:设该物流公司9月份承接运输A种货物x吨,则承接运输B种货物(300-x)吨.
根据题意,得80x+50(300-x)≥19 800,解得x≥160.
答:该物流公司9月份至少承接运输A种货物160吨.
5.(2023济南期中)某中学为打造书香校园,计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书.调查发现,两种书柜的购买信息如表:
甲书柜/个 乙书柜/个 总费用/元
2 3 1 020
3 4 1 440
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个,学校至多能够提供资金3750元,请写出所有购买方案供这个学校选择(两种规格的书柜都必须购买).
解:(2)设甲种书柜购买m个,则乙种书柜购买(20-m)个.
由题意,得240m+180(20-m)≤3 750.
解得m≤2.5.
∵m取整数,∴m可以取值为1,2.
即:学校的购买方案有以下两种:
方案一:甲种书柜1个,乙种书柜19个,
方案二:甲种书柜2个,乙种书柜18个.
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第九章 不等式与不等式组
章末知识复习
知识点一 不等式的概念及性质
1.下列式子:①-2<0,②2x+3y>0,③x=2,④x2+2xy+y2,⑤x≠3,⑥x+1>2.其中不等式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2022宿迁)如果xA.2x<2y B.-2x<-2y
C.x-1>y-1 D.x+1>y+1
D
A
a<1
知识点二 一元一次不等式的解法及应用
4.不等式3(1-x)>2-4x的解集在数轴上表示正确的是( )
A
6.(2023黄冈)创建文明城市,构建美好家园.为提高垃圾分类意识,某社区决定采购A,B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元,购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元.
(1)求两种型号垃圾桶的单价.
(2)若需购买A,B两种型号的垃圾桶共 200个,总费用不超过15 000元,至少需购买A型垃圾桶多少个
解:(2)设购买A型垃圾桶a个,
由题意,得60a+100(200-a)≤15 000,
解得a≥125.
答:至少需购买A型垃圾桶125个.
知识点三 一元一次不等式组的解法
C
1≤n<3
类型一 数形结合思想
(1)利用不等式(组)的解集确定字母的值;
(2)借助数轴分析不等式组的解集.
1.在实数范围内规定新运算“△”,其规则是a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上表示如图所示,则k的取值是 .
-3
类型二 转化思想
(1)应用转化思想将双向不等式转化为不等式组;
(2)将解不等式(组)的问题转化为解方程(组)的问题.
1.(2023内蒙古)关于x的一元一次不等式x-1≤m的解集在数轴上的表示如图所示,则m的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
B
3≤x<5
7
6(答案不唯一)
6.(2023凉山)凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展,雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖,雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”,某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中,水果商将两种水果搭配销售,若购买雷波脐橙3 kg,资中血橙2 kg,共需78元人民 币;若购买雷波脐橙2 kg,资中血橙3 kg,共需72元人民币.
(1)雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元
(2)一顾客用不超过1 440元购买这两种水果共100 kg,要求雷波脐橙尽量多,他最多能购买雷波脐橙多少千克
解:(2)设购买雷波脐橙m kg,则购买资中血橙(100-m)kg,
根据题意,得18m+12(100-m)≤1 440,
解得m≤40.
∴m的最大值为40.
答:他最多能购买雷波脐橙40 kg.
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9.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
1.一元一次不等式的定义
只含有 个未知数,并且未知数的次数是 的不等式,叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式的解法
(1)依据:不等式的性质;
(2)目标:将不等式逐步化为 或 的形式;
(3)一般步骤:①去 (不等式的性质2或3);②去 ;③
(不等式的性质1);④ ;⑤ (不等式的性质2或3).
一
1
x>a
x分母
括号
移项
合并同类项
系数化为1
一元一次不等式的定义
[例1] 下列式子:①7>4;②3x≥2x+1;③x+y>1;④x2+3>2x.其中是一元一次不等式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
一元一次不等式满足的四个条件
(1)含不等号;
(2)不等号的两边都是整式;
(3)不等式只含有一个未知数;
(4)未知数的次数是1次.
新知应用
②④
±1
一元一次不等式的解法
[例2] 解下列不等式,并把解集表示在数轴上:
(1)2(x-1)+3>5;
解:(1)去括号,得2x-2+3>5.
移项,得2x>5+2-3.
合并同类项,得2x>4.
系数化为1,得x>2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
解:(2)去分母,得
14x-7(3x-8)+14≥4(10-x).
去括号,得14x-21x+56+14≥40-4x.
移项,得14x-21x+4x≥40-56-14.
合并同类项,得-3x≥-30.
系数化为1,得x≤10.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
解一元一次不等式的“四点注意”
步骤名称 注意问题
去分母 不等号两边各项都乘各分母的最小公倍数,不要漏乘不带分母的项
去括号 当括号前是“-”时,要注意去括号后括号内各项都要改变符号
移项 移项是从不等号的一边移到另一边,且不要忘记变号
将未知数的 系数化为1 若不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号要改变方向
新知应用
1.不等式3x+1<2x的解集在数轴上表示正确的是( )
B
2.解下列不等式:
(1)2x+6>3x-1;
(2)2(-3+x)>3(x+2);
解:(1)移项,得2x-3x>-1-6.
合并同类项,得-x>-7.
系数化为1,得x<7.
(2)去括号,得-6+2x>3x+6.
移项,得2x-3x>6+6.
合并同类项,得-x>12.
系数化为1,得x<-12.
解:(3)去分母,得2x移项,得2x-x<-3.
合并同类项,得x<-3.
1.若(m-1)x|m|-3>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
C
A
3.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是
( )
A.a>0
B.a<0
C.a>-1
D.a<-1
4.不等式2x-1>3x-5的正整数解有 个.
D
3
5.(1)(2023绍兴)解不等式:3x-2>x+4.
解:(1)移项,得3x-x>4+2,
合并同类项,得2x>6,
系数化为1,得x>3,
∴原不等式的解集为x>3.
解:(2)去分母,得6-(x-3)>2x.
去括号,得6-x+3>2x.
移项,合并同类项,得-3x>-9.
系数化为1,得x<3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
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9.1.2 不等式的性质
不等式的性质
(1)性质1,不等式两边加(或减) ,不等号的方向
.即如果a>b,那么a±c b±c;
同一个数(或式子)
不变
>
同一个正数
不变
>
>
改变
<
<
不等式的性质
>
>
>
<
>
<
>
[例2] 写出下列不等式的变形依据:
(1)若x+3>4,则x>1,此变形的依据为 ;
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质3
应用不等式的性质时注意
(1)两边加(或减、乘、除以)的必须是同一个数;
(2)同乘(或除以)负数时,不要忘记改变不等号方向.
新知应用
A
解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边都加上2.
(2)根据不等式的性质2,不等式两边都除以3.
(3)根据不等式的性质3,不等式两边都乘-1.
(4)根据不等式的性质3,不等式两边都除以-2.
(5)根据不等式的性质1,不等式两边都减去2;再根据不等式的性质3,不等式两边都乘-3.
用不等式的性质解简单的不等式
[例3] 利用不等式的性质解下列不等式,并将解集表示在数轴上;
(2)不等式两边减3,得-2y>4,不等式两边除以-2,得y<-2.解集在数轴上的表示如图所示.
(3)-2x>-3x+1;
(4)7x-6≤5x-4.
(4)不等式两边加6,得7x≤5x+2.不等式两边减5x,得2x≤2.不等式两边除以2,得x≤1.解集在数轴上的表示如图所示.
新知应用
1.不等式2x-4<10的解集是( )
A.x<3
B.x<7
C.x>3
D.x>7
B
(2)在原不等式的两边同时除以-0.3,不等号的方向改变,即x>5.
1.已知x>y,则下列不等式一定成立的是( )
A.x-6C.2x-1<2y-1 D.a2x>a2y
2.如果a>b,c<0,那么下列不等式一定成立的是( )
A.a+c>b B.a+c>b-c
C.ac-1>bc-1 D.a(c-1)3.若xB
D
m>0
(2)-8x≤-16.
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