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第2课时 实数的运算
1.实数的相反数与绝对值
(1)实数的相反数:实数a的相反数是 ;
(2)实数的绝对值:一个正实数的绝对值是 ;0的绝对值是 ;一个负实数的绝对值是它的 .即设a表示一个实数,
-a
它本身
0
相反数
0
-a
2.实数的运算
(1)实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算.正数及0可以进行 运算.任意一个实数都可以进行 运算;
(2)实数运算中,有理数的运算法则及运算性质、运算律等同样适用;
(3)实数运算中,无理数可按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替.
开平方
开立方
实数的相反数与绝对值
[例1] 填空:
0
5
(1)去绝对值符号时,先要确定绝对值符号内的式子的正负,若为正数,则直接去掉绝对值符号;若为负数,则去掉绝对值符号时,要变成它的相反数;
(2)a-b的相反数表示为-a+b (或b-a),不要错误地表示为a+b;a+b的相反数表示为-a-b,不要错误地表示为a-b.
新知应用
2-π
π-2
实数的运算
[例3] 计算:
(2)记忆口诀:实数运算不要慌,有理(数)法则来帮忙;运算首先开、乘方,乘除加减再开张;同级运算左到右,括号先算不多想.
新知应用
B
D
B
π-3.14
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6.3 实 数
第1课时 实 数
1.无理数
小数叫做无理数.
2.实数
(1)定义: 和 统称实数;
(2)分类:
无限不循环
有理数
无理数
(3)实数与数轴
①实数与数轴上的点是 关系,即每一个实数都可以用数轴上的 来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个 ;
②数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数 .
一一对应
一个点
实数
大
实数的概念及分类
[例1] 把下列各数填入相应的集合内:
的个数逐次加1)
的个数逐次加1)
新知应用
1.下列说法正确的是( )
A.正实数和负实数统称实数
B.正数、零和负数统称有理数
C.带根号的数和分数统称实数
D.无理数和有理数统称实数
D
实数与数轴的关系及实数的大小比较
[例2] 下列说法:①所有的有理数都能在数轴上找到表示它的点;
②数轴上的点都表示有理数;
③在数轴上,左边的点表示的数总小于右边的点表示的数;
①③
实数大小比较的一般方法
(1)定义法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;(2)两个负数绝对值大的反而小;(3)在数轴上表示的数,右边的总比左边的大; (4)比较无理数的大小时,可先利用平方法估计其在哪两个有理数之 间,然后再进行比较.
新知应用
1.(2022北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a<-2 B.b<1
C.a>b D.-a>b
D
<
<
C
C
A
A
正数集合:{ …};
负数集合:{ …};
非负整数集合:{ …};
分数集合:{ …};
无理数集合:{ …}.
②,④,⑥,⑦,⑧
①,③
②,⑤
①,④,⑥,⑦
③,⑧
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6.2 立方根
1.立方根
(1)定义:一般地,如果一个数的 等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的 ;
立方
立方根
三次根号a
被开方
根指
正数
负数
0
2.开立方
求一个数的 的运算,叫做开立方,开立方与 互为逆运算.
立方根
立方
立方根
[例1] 求下列各数的立方根.
(1)-1;(2)-343;
求一个数的立方根的基本方法
求数a的立方根,通常先找出立方等于a的数,写出立方式,再由立方式写出a的立方根的值.
注意:(1)熟记一些数的立方,如1～10 的立方;
(2)求一个带分数的立方根,先将带分数化为假分数.
新知应用
1.填空:
-2
3
立方根的性质
[例2] 下列语句正确的是( )
A.负数没有立方根
B.8的立方根是±2
C.把8立方与8开立方互为逆运算
D
(1)一个非零数与其立方根同号;
(2)当两个数互为相反数时,其立方根也互为相反数.
新知应用
1.下列说法正确的是( )
A.一个正数的立方根有两个,它们互为相反数
B.若a3=b,则b是a的立方根
C.任何一个数的立方根都是非负数
D.正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根
D
D
C
C
D
解:(1)∵93=729,
∴729的立方根是9.
(3)0.001;
(4)(-5)3.
解:(3)∵0.13=0.001,
∴0.001的立方根是0.1.
(4)(-5)3的立方根是-5.
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第六章 实 数
学业要求 学生核心素养目标
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念;会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根;会用平方运算求百以内完全平方数的平方根;会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根;会用计算器计算平方根和立方根. 2.了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一对应;能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小;能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数和绝对值. 提升计算能力、推理能力、应用意识和创新意识.
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
1.算术平方根
(1)定义:一般地,如果一个 x的 等于a,即 ,那么这个 x叫做a的算术平方根.a叫做 ;
(2)记法:a的算术平方根记作: ;
正数
平方
x2=a
正数
被开方数
根号a
0
0
非负数的算术平方根
[例1] 求下列各数的算术平方根:
(1)①因为求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的,所以可以借助平方运算求一个数的算术平方根;
②当被开方数为带分数或其中含有运算时,应先将其化为假分数或进行整理,再求其算术平方根;
(2)一个正数越大,其算术平方根也就越大.
新知应用
D
9
0.3
算术平方根的非负性
[例2] 填空:
(1)若|a+3|=0,则a= ;
(2)若(m-7)2=0,则m= ;
-3
7
5
-1
新知应用
C
C
D
-8
5.已知a-2的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求2a+b的算术平方根.
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第六章 实 数
章末知识复习
知识点一 平方根与算术平方根
1.下列说法错误的是( )
A.5是25的算术平方根
B.1是1的一个平方根
C.(-4)2的平方根是-4
D.0的平方根与算术平方根都是0
C
B
1
4.已知3a+1的平方根是±2,2a-b+3的平方根是±3,求a-2b.
解:∵3a+1的平方根是±2,2a-b+3的平方根是±3,
∴3a+1=4,2a-b+3=9,
解得a=1,b=-4.
∴a-2b=1-2×(-4)=1+8=9.
知识点二 立方根
C
0
7.一个数值转换器:
则输入的x的值为 .
,
±8
解:(1)∵(-2+x)3=-216=(-6)3,
∴-2+x=-6,解得x=-4.
知识点三 实数的分类与性质
B
C
>
知识点四 实数的运算
D
类型一 分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能的情况时,应该按照问题出现的类型进行分类讨论,分类时,要按照一定的标准进行划分,做到不重不漏.本章中,在求解平方根,化简绝对值等问题中,经常要用到分类讨论思想.
1.已知2a-1与-a+2是一个正数的平方根,则这个正数的值是( )
A.1或9 B.3
C.1 D.81
A
类型二 数形结合思想
数形结合思想在实数中的主要应用
(1)在数轴上确定实数;
(2)比较实数的大小;
(3)借助数轴判断一些算式的符号,从而化简绝对值.
B
C
3.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简:|2-a|+|-2-b|+
|b-a|.
解:由题中数轴,可得
-2
∴2-a<0,-2-b<0,b-a<0.
∴|2-a|+|-2-b|+|b-a|
=a-2+2+b+a-b
=2a.
D
C
B
±2
1
解:(1)由题意,得2a-14+a+2=0,
解得a=4,
∴x的平方根是-6和6,即x=36.
由b+1的立方根为-3,得b+1=-27,
∴b=-28.
(2)求a-2b+c的算术平方根.
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第2课时 平方根
1.平方根
(1)定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么 叫做a的平方根或 .即如果x2=a,那么 叫做 的平方根;
(2)表示和读法:正数a的平方根用符号“ ”表示,读作“ ”;
(3)性质:
①正数有 个平方根,它们互为 ;
②0的平方根是 ;
这个数
二次方根
x
a
正负根号a
两
相反数
0
③负数 平方根.
2.开平方
(1)定义:求一个数a的 的运算;
(2)平方和开平方的关系:互为 .
没有
平方根
逆运算
逆运算
[例1] 填空:
19
[例2] 求下列各数的平方根:
(1)225;(2)0.36;(3)0;
解:(1)∵(±15)2=225,
∴225的平方根是±15.
(2)∵(±0.6)2=0.36,
∴0.36的平方根是±0.6.
(3)∵02=0,
∴0的平方根是0.
求一个数的平方根的方法
(1)先观察这个数是正数、0还是负数;
(2)如果是非负数,对于易求出平方根的数,通常先写出哪个数的平方等于已知数,再写出这个数的平方根;
(3)如果被开方数为带分数,应先把它化为假分数;
新知应用
1.(2022宜宾)4的平方根是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.16
C
解:(1)∵(±11)2=121,
∴121的平方根是±11,算术平方根是11.
(3)(-13)2;(4)-(-4)3.
解:(3)(-13)2=169,∵(±13)2=169,
∴(-13)2的平方根是±13,算术平方根是13.
(4)-(-4)3=64,∵(±8)2=64,
∴-(-4)3的平方根是±8,算术平方根是8.
平方根的性质
[例3] 一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个非负数是多少
解:根据题意,得(2a-1)+(a-5)=0,
解得a=2.
∴这个非负数为(2a-1)2=(2×2-1)2=9.
新知应用
1.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
解:依题意,得2a-1=9且3a+b-1=16,
∴a=5,b=2.
∴a+2b=5+4=9.
∴a+2b的平方根为±3.
2.已知a-1与5-2a是m的平方根,求m的值.
解:根据题意,分以下两种情况:
①当a-1与5-2a是同一平方根时,
a-1=5-2a,解得a=2.
此时,m=12=1.
②当a-1与5-2a是两个平方根时,
a-1+5-2a=0,解得a=4.
此时,m=(4-1)2=9.
综上所述,当a=2时,m=1;当a=4时,m=9.
A
C
B
5.一个数的算术平方根为2M-6,平方根为±(M-2),求这个数.
解:①当2M-6=M-2时,
解得M=4.
∴2M-6=8-6=2,22=4.
6.求下列各式中x的值:
(1)4x2-1=0;
(2)9(x-1)2=36.
(2)原式可变为(x-1)2=4,
由平方根的定义,可得x-1=±2.
解得x=3或x=-1.
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