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7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
1.利用平面直角坐标系表示地理位置的方法
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为 ,确定x轴,y轴的
;
(2)根据具体问题确定 ;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的 和各个地点的名称.
2.利用方向和距离表示平面内点的位置的过程
(1)找到一个参照点;
(2)在该点建立方向标;
(3)根据 和 来表示物体的位置.
原点
正方向
单位长度
坐标
方向
距离
建立适当坐标系,用坐标表示地理位置
[例1] 如图所示,这是某市部分简图,为了确定各建筑物的位置(图中每个小正方形的边长均为1).
(1)请你以火车站为原点建立平面直角坐标系;
(2)写出体育场、宾馆、超市的坐标;
(3)图书馆的坐标为(-4,-3),请在图中标出图书馆的位置.
解:(1)如图所示.
(2)体育场的坐标为(-4,3),宾馆的坐标为(2,2),超市的坐标为(2,-3).
(3)图书馆的位置如图所示.
新知应用
如图所示,某校七年级的同学从学校O点出发,要到某地P处进行探险活动,他们先向正西方向走8 km到A处,又往正南方向走4 km到B处,又折向正东方向走6 km到C处,再折向正北方向走8 km到D处,最后又往正东方向走2 km才到探险处P,以点O为原点,取O点的正东方向为x轴的正方向,取O点的正北方向为y轴的正方向,以2 km为一个长度单位建立平面直角坐标系.
(1)在图中建立平面直角坐标系并画出探险路线图;
(2)分别写出A,B,C,D,P点的坐标.
解:(1)建立平面直角坐标系及探险路线图如图所示.
(2)A,B,C,D,P点的坐标分别是(-8,0),(-8,-4),(-2,-4),(-2,4),(0,4).
用方向和距离表示地理位置
[例2] 如图所示,四艘渔船A,B,C,D在回港途中遭遇台风,岛上边防战士接到命令后立即准备搜救.你能告诉边防战士这些
渔船的位置吗
解:渔船A在小岛的北偏东40°,25 km处;渔船B在小岛的正南方向,
20 km处;渔船C在小岛的北偏西30°,30 km处;渔船D在小岛的南偏东65°,35 km处.
新知应用
如图所示的是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的位置表述正确的是( )
A.在南偏东75°方向处
B.在5 km处
C.在南偏东15°方向5 km处
D.在南偏东75°方向5 km处
D
1.(教材P75练习T2变式)如图所示的是小明家相对于学校的位置,下列描述正确的是( )
A.在距离学校300 m处
B.在学校的北偏东32°方向
C.在北偏东32°方向300 m处
D.在学校北偏东58°方向300 m处
D
2.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧,攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图,如果建立平面直角坐标系,使“帅”位于点 (-1,-2),“马”位于点(2,
-2),那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 .
(-3,1)
3.如图所示的是某学校的平面示意图,已知旗杆的位置是(-2,3),实验室的位置是(1,4).
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系;
(2)用坐标表示位置:食堂 ,图书馆 ;
(3)已知办公楼的位置是(-2,1),教学楼的位置是(2,2),
在图中标出办公楼和教学楼的位置.
解:(1)如图所示,以大门为坐标原点建立坐标系,则满足旗杆的位置是(-2,3),实验室的位置是(1,4).
(2)(-5,5) (2,5)
(3)标位置如图所示.
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7.2.2 用坐标表示平移
1.用坐标表示点的平移
一般地,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或( , ));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或( , )).
2.用坐标表示图形的平移
一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向 (或向 )平移 个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向 (或向 )平移 个单位长度.
x-a
y
x
y-b
右
左
a
上
下
a
用坐标表示点的平移
[例1] 如图所示,平面直角坐标系中有一点 A(4,5).
(1)把点A(4,5)向右平移1个单位长度到达点A1,则点A1的坐标为 ;
(2)把点A(4,5)向左平移5个单位长度到达点A2,则点A2的坐标为 ;
(3)把点A(4,5)向上平移1个单位长度到达点A3,则点A3的坐标为 ;
(4)把点A(4,5)向下平移4个单位长度到达点A4,则点A4的坐标为 .
(5,5)
(-1,5)
(4,6)
(4,1)
新知应用
1.(2022广东)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度
后,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(1,-1)
2.在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点(-3,2)重合,则点A的坐标是 .
A
(2,-1)
用坐标表示图形的平移
[例2] 如图所示,在平面直角坐标系中,已知A,B,C三点的坐标分别为
(-1,5),(-3,0),(-4,3).
(1)画出把△ABC向右平移6个单位长度,再向上平移
1个单位长度得到的三角形A′B′C′;
解:(1)三角形A′B′C′如图所示.
(2)写出平移后三角形A′B′C′的各顶点的坐标;
(3)求三角形A′B′C′的面积.
解:(2)A′(5,6),B′(3,1),C′(2,4).
新知应用
如图所示,在三角形ABC中,点A(3,1),B(1,2),将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,则点B的对应点B′的坐标为( )
A.(3,1) B.(3,3)
C.(-1,1) D.(-1,3)
D
1.(2022赤峰)如图所示,点A(2,1),将线段OA先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(-3,2) B.(0,4)
C.(-1,3) D.(3,-1)
2.在平面直角坐标系中,A(2,1),B(4,1),将线段AB平移,使得AB中点的对应点落在(-1,-2)的位置,则点A的对应点的坐标为 .
C
(-2,-2)
3.如图所示,网格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(4,0),C(3,3),D(1,4).
(1)描出A,B,C,D四点的位置,并顺次连接A,B,C,D,组成一个封闭图形;
解:(1)如图所示.
(2)四边形ABCD的面积是 ;
(3)把四边形ABCD向左平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度得到四边形A′B′C′D′,在图中画出四边形A′B′C′D′,并写出A′,B′,C′,D′的坐标.
(3)四边形A′B′C′D′如图所示.其中A′(-4,1),B′(-1,1),C′(-2, 4),D′(-4,5).
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第七章 平面直角坐标系
学业要求 学生核心素养目标
1.会用有序数对表示物体的位置. 2.理解平面直角坐标系的有关概念;能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标;体会可以用坐标表达简单图形. 3.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置;会运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 4.在平面直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系. 5.了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化. 提升几何直观和逻辑分析能力,培养应用意识和创新意识,提升空间观念、抽象能力和推理
能力.
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
1.有序数对
有 的两个数组成的数对,叫做有序数对.
2.有序数对的应用
利用有序数对,可以准确地表示出一个 .
顺序
位置
有序数对
[例1] 如图所示,点B在(2,4)处,
(1)由点B在(2,4)处,可知利用有序数对表示点的位置时,列数在 ,行数在 .
(2)请写出表示其他各点位置的有序数对.
(3)(4,2)和(2,4)表示的是同一位置吗
(4)由(2)可知,在平面内要准确描述点的位置至少需要 个数据.
解:(1)前 后
(2)A(1,1),C(4,6),D(5,9),E(7,7),F(9,3),G(10,5),H(6,3),I(8,0).
(3)不是,(4,2)表示第4列第2行的点,(2,4)表示第2列第4行的点.
(4)两
新知应用
1.下列数据不能确定物体位置的是( )
A.4楼3号 B.解放路30号
C.红星电影院2排 D.东经110°,北纬114°
2.若(3,6)表示教室内第3排第6列的位置,某同学的座位号为(2,4),那么该同学所坐的位置是( )
A.第2排第4列 B.第4排第2列
C.第2排第6列 D.不能确定
C
A
有序数对的应用
[例2] 如图所示,小军家(点A)在经5路和纬4路的十字路口,用有序数对(5,4)表示;点B是学校的位置,点C是小芸家的位置,如果用(5,4)→ (5,5)→(5,6)→(6,6)→(7,6)→(8,6)表示小军家到学校的一条路径.
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置;
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径(至少写1条).
解:(1)学校和小芸家的位置分别是(8,6),(3,3).
(2)答案不唯一,如:(5,4)→(5,5)→(6,5)→(7,5)→(8,5)→(8,6).
新知应用
如图所示,小明从家到达学校要穿过一个居民小区,小区的道路均是正南或正东方向,则小明走下列线路不能到达学校的是( )
A.(0,4)→(0,0)→(4,0)
B.(0,4)→(4,4)→(4,0)
C.(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)
D.(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)
C
1.(2022宜昌)如图所示的是一个教室平面示意图,我们把小刚的座位“第1列第3排”记为(1,3).若小丽的座位为(3,2),以下四个座位中,与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是( )
A.(1,3) B.(3,4)
C.(4,2) D.(2,4)
2.电影票上“6排8号”,记作(6,8),则“2排3号”记作 .
C
(2,3)
3.小莹、小亮准备参加中考模拟考试,学校规定考生每人占一张桌子,按考号入座.考号按如图所示的方式贴在桌子上,请回答下面的问题:
解:(1)图略,小莹的位置在第1行第3列,小亮的位置在第1行第4列.
(2)(1,3) (1,4)
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第七章 平面直角坐标系
章末知识复习
知识点一 平面直角坐标系
1.下列说法中不正确的是( )
A.y轴上的点的横坐标为0
B.平面直角坐标系中(5,3)和(3,5)表示不同的点
C.坐标轴上的点不属于任何象限
D.横、纵坐标符号相同的点一定在第一象限
D
2.(易错题)点P(a+3,b+1)在平面直角坐标系的x轴上,并且点P到y轴的距离为2,则a+b的值为( )
A.-1 B.-2
C.-1或-6 D.-2或-6
3.(2023内江模拟)已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系 中,小手盖住的点的坐标可能是( )
A.(a,b) B.(a,-b)
C.(-a,-b) D.(-a,b)
4.在平面直角坐标系中,点A(-1,2),B(2,1),经过点A的直线a∥x轴,点C是直线a上的一个动点,当线段BC的长度最短时,点C的坐标为 .
D
D
(2,2)
知识点二 坐标的应用
5.小刚从学校出发往东走500 m是一家书店,继续往东走1 000 m,再往南走1 000 m即可到家,若选小刚家所在的位置为原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,规定一个单位长度代表1 m长,点A表示书店的位置,则点A的坐标是( )
A.(1 500,-1 000)
B.(-1 500,1 000)
C.(-1 000,1 000)
D.(1 000,-1 000)
C
6.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,-1),平移线段AB,使点A落在点A1(0,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(-1,-1) B.(1,0)
C.(-1,0) D.(3,0)
B
(3,-1)或(7,-5)
8.如图所示,三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的,点A与点A′,点B与点B′,点C与点C′分别对应,且这六个点都在格点(小正方形的顶点)上,观察各点以及各点坐标之间的关系,解答下列问题:
(1)分别写出点A和点A′的坐标,并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的;
(2)若M(a-2,2b-3)是三角形ABC内一点,它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为N(2a-7,9-b),分别求a和b的值;
(3)三角形A′B′C′的面积为 .
解:(1)A(0,2),A′(-3,-1),△A′B′C′是由△ABC向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的.
(2)∵M(a-2,2b-3)是三角形ABC内一点,它随△ABC按(1)中方式平移后得到对应点N(2a-7,9-b),∴a-2-3=2a-7,2b-3-3=9-b,解得a=2,b=5.
类型 数形结合思想
应用数形结合的题型
(1)应用坐标求线段的长度;
(2)应用平面直角坐标系求图形的面积.
1.小明为画一个零件的轴截面,以该轴截面底边所在的直线为x轴,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取
1 mm,则图中转折点P的坐标表示正确的是( )
A.(5,30) B.(8,10)
C.(9,10) D.(10,10)
C
2.如图所示,点M的坐标为(-3,4),线段MN平行于x轴,且MN=4,则点N的坐标为 .
(1,4)或(-7,4)
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(a,0),(b,0),且a,b满足|a+2|+(b-4)2=0,点C的坐标为(0,3).
(1)求a,b的值及S三角形ABC;
1.(2022乐山)点P(-1,2)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2022攀枝花)若点A(-a,b)在第一象限,则点B(a,b)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
B
3.(2023杭州)在直角坐标系中,把点A(m,2)先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等,则m等于
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2023滨州)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分别为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 .
C
(3,3)
5.(2023连云港)画一条水平数轴,以原点O为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心圆,过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴夹角的角度分别为30°,60°,90°,120°,…,330°的射线,这样就建立了“圆”坐标系.如图所示,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点A,B,C的坐标分别表示为(6,60°),(5,180°),(4,330°),则点D的坐标可以表示为
.
(3,150°)
6.(2022黔西南)如图所示,在平面直角坐标系中,A1(2,0),B1(0,1),A1B1的中点为C1;A2(0,3),B2(-2,0),A2B2的中点为C2;A3(-4,0),B3(0,-3), A3B3的中点为C3;A4(0,-5),B4(4,0),A4B4的中点为C4;…;按此做法进行下
去,则点C2 022的坐标为 .
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7.1.2 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的有关概念
在平面内,两条 、 重合的数轴,组成平面直角坐标系.水平的数轴称为 或 ,习惯上取向 的方向为正方向;竖直的数轴称为 或 ,取向 的方向为正方向, 的交点为平面直角坐标系的原点.
2.平面直角坐标系中点的坐标
对于平面内任意一点P.如图所示,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、
纵坐标,有序数对 叫做点P的坐标.
互相垂直
原点
x轴
横轴
右
y轴
纵轴
上
两坐标轴
(a,b)
3.象限及各象限内点的坐标的符号特征
建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成四部分,分别叫做 象限、 象限、 象限和 象限.各象限及各象限内点的坐标的符号特征如图所示.
4.坐标平面内的点与有序实数对是 的.
第一
第二
第三
第四
一一对应
平面直角坐标系
[例1] 在平面直角坐标系中,点P(-3,-4)在第 象限,到x轴的距离是 ,到y轴的距离是 .
[例2] 若点A(a-1,a+2)在x轴上,则点A的坐标是 .
三
4
3
(-3,0)
[例3] 如图所示,在平面直角坐标系中描出下列各点:A(-2,3),B(-1,
-4),C(4,3),D(0,3);并写出平面直角坐标系中点E,F,G,H,M,N的坐标.
解:描点如图所示.
E(2,0),F(0,-4),G(-2,2),H(1,-2),M(4,1),N(-3,-2).
新知应用
C
AB∥x轴(或平行)
5
3.(跨学科融合)如图所示,我们从唐代诗人韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中,“浪”的坐标是(1,1).
(1)“曲”和“酥”的坐标依次是 和 .
(2)将第2行与第3行对调,再将第4列与第7列对调,“河”由开始的坐标最终变换为 .
解:(1)(2,2) (7,4) (2)(7,3)
(3)“雨”开始的坐标是 ,使它的坐标变换到(5,3),应该哪两行对调,同时哪两列对调
解:(3)“雨”开始的坐标是(4,4),使它的坐标变换到(5,3),应该第4行与第3行对调,同时第4列与第5列对调.
坐标与几何图形
[例4] 如图所示,长方形ABCD的边长AB=4,BC=2,建立适当的平面直角坐标系,求A,B,C,D各点的坐标.
解:(答案不唯一).
如图所示,A,B,C,D四点的坐标分别是 A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).
[例5] (1)如图所示,在平面直角坐标系中,描出下列3个点:A(-1,0), B(3,-1),C(4,3);
(2)顺次连接点A,B,C,组成三角形ABC,
求三角形ABC的面积.
解:(1)如图所示.
新知应用
在平面直角坐标系中,已知A(-2,3),B(-1,0),C(4,0),求三角形ABC的
面积.
1.(2023丽水)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示,将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中.若顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),则顶点A的坐标为( )
A.(5,1) B.(12,3)
C.(3,15) D.(15,3)
3.若点P在第三象限,且点P到x轴,y轴的距离分别为3,2,则点P的坐标为
.
B
D
(-2,-3)
4.如图所示,已知四边形ABCD(网格中每个小正方形的边长均为1).
(1)写出点A,B,C,D的坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)A(-2,1),B(-3,-2),C(3,-2),D(1,2).
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