(共21张PPT)
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
1.平行线的性质1
(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角 .简单说成:两直线平行,同位角 ;
(2)符号语言:∵l1∥l2,∴∠1=∠2.
2.平行线的性质2
(1)两条 被第三条直线所截,内错角 .简单说成:两直线平行,内错角 ;
(2)符号语言:∵l1∥l2,∴∠2=∠3.
相等
相等
平行线
相等
相等
3.平行线的性质3
(1)两条 被第三条直线所截,同旁内角 .简单说成:两直线平行,同旁内角 ;
(2)符号语言:∵l1∥l2,
∴∠2+∠4=180°.
平行线
互补
互补
平行线的性质1
[例1] 如图所示,若 AB∥DE,AC∥DF,试说明∠A =∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
解:∵ AB∥DE (已知),
∴∠A = ( ).
∵ AC∥DF (已知) ,
∴∠D = ( ).
∴∠A =∠D ( ).
∠CPE
两直线平行,同位角相等
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
[例2] 如图所示,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上.若∠2=50°,求∠1的度数.
解:∵AC∥DF,
∴∠1=∠A.
∵AB∥EF,
∴∠A=∠2.
又∵∠2=50°,
∴∠1=∠2=50°.
新知应用
1.(2022重庆)如图所示,直线a∥b,直线 m与a,b相交,若∠1=115°,则∠2的度数为( )
A.115° B.105°
C.75° D.65°
2.已知直线a,b,c在同一平面内,若a∥b,a⊥c,则b c.
A
⊥
3.如图所示,直线DE∥BF,直角三角形ABC的顶点B在BF上,若∠CBF= 25°,则∠ADE的度数为 .
65°
平行线的性质2,3
[例3] 如图所示,如果 AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°,求∠2,∠3,∠4的度数.
解:∵DE∥BC,∠1=65°,
∴∠4=65°(两直线平行,内错角相等).
∴∠2=180°-65°=115°.
∵AB∥DF,∴∠3=∠2=115°(两直线平行,同位角相等).
[例4] 如图所示,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度数.
解:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠1=54°.
∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=2×54°=108°.
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°.
∴∠BDC=180°-∠ABD=180°-108°=72°.
∴∠2=∠BDC=72°.
利用平行线的性质求角度的方法
题目中出现两直线平行的条件时,应想到平行线的性质,分析图形特征,明确两角的位置关系,从而明确两角之间的数量关系是相等还是互补.这类题目通常还会与角平分线、垂线等知识结合,综合应用知识求解.
新知应用
1.如图所示,直线l1∥l2,直线l与l1,l2相交,若∠1=60°,则∠2为( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
2.如图所示,直线AB,CD被直线CE所截,AB∥CD,∠C=50°,则∠1的度数为( )
A.40° B.50°
C.130° D.150°
D
C
3.已知:如图所示,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3,试问:AD是∠BAC的平分线吗 若是,请说明理由.
解:是.理由如下:
∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴∠4=∠5=90°(垂直的定义).
∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行).
∴∠1=∠E(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵∠E=∠3(已知),∴∠1=∠2.∴AD是∠BAC的平分线.
平行线的性质和判定的综合应用
[例5] 已知:如图所示,∠1=∠2,∠3=∠E,试说明:∠A=∠EBC(请按图填空,并补充理由).
解:∵∠1=∠2(已知),
∴ ∥ ( ).
∴∠E=∠ ( ).
又∵∠E=∠3(已知),
∴∠3=∠ (等量代换).
∴ ∥ (内错角相等,两直线平行).
∴∠A=∠EBC( ).
DB
EC
内错角相等,两直线平行
4
两直线平行,内错角相等
4
AD
BE
两直线平行,同位角相等
新知应用
1.如图所示,已知AB∥CD,若∠BAE=∠CDF,则AE与DF平行吗 为什么
解:平行.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠CDA.
∵∠BAE=∠CDF,∠EAD=∠BAD-∠BAE,∠FDA=∠CDA-∠CDF,
∴∠EAD=∠FDA.
∴AE∥DF.
2.(2023彭水县期中)如图所示,已知AE∥CF,射线CF,AE与直线GH分别交于点D,B,连接AD,CB,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)试说明:AD∥BC;
解:(1)∵AE∥CF,
∴∠A=∠FDA.
∵∠A=∠C,
∴∠FDA=∠C.
∴AD∥BC.
(2)若∠ADB=50°,求∠EBC的度数.
解:(2)∵DA平分∠BDF,∠ADB=50°,
∴∠ADF=∠ADB=50°.
∵AE∥CF,
∴∠A=∠ADF=50°,∠C=∠EBC.
∵∠A=∠C,
∴∠EBC=∠A=50°.
1.如图所示,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=85°,则∠2等于( )
A.110° B.105°
C.100° D.95°
2.(2022山西)如图所示,直角三角形ABC是一块直角三角板,其中∠C= 90°,∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A,若DE∥CB,则∠DAB的度数为( )
A.100° B.120°
C.135° D.150°
D
B
3.(2022眉山)如图所示,已知a∥b,∠1=110°,则∠2的度数为 .
4.如图所示,将一副三角板按如图所示方式叠放,点C,B,D在同一直线上,且EF∥BC,则∠BFD的大小为 .
110°
15°
5.如图所示,已知EB∥DC,∠C=∠E.
(1)试说明∠A=∠EDA;
解:(1)∵EB∥DC,
∴∠C=∠ABE(两直线平行,同位角相等).
∵∠C=∠E,
∴∠ABE=∠E.
∴AC∥DE(内错角相等,两直线平行).
∴∠A=∠EDA.
(2)若∠E=60°,求∠EBC的度数.
解:(2)∵AC∥DE,
∴∠E+∠EBC=180°.
∵∠E=60°,
∴∠EBC=120°.
谢谢观赏！(共14张PPT)
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角、同旁内角的概念
如图所示,在两条直线(AB,CD)被第三条直线(EF)所截构成的八个角中,
(1)同位角:在截线(EF)的 ,在被截两直线(AB,CD)的 的两个角(如∠1和∠5);
(2)内错角:在截线(EF)的 ,在被截两直线(AB,CD) 的两个角(如∠3和∠5);
(3)同旁内角:在截线(EF)的 ,在被截两直线
(AB,CD) 的两个角(如∠4和∠5).
同侧
同一方
两侧
之间
同一旁
之间
同位角、内错角、同旁内角的识别
[例1] 填空(如图所示).
(1)图中直线DC,AC被直线BE所截形成的同旁内角有
;
(2)∠DEF与∠CFE是由直线 和直线 被直线 所截形成的 角;
(3)图中与∠DAC是同位角的所有角有 .
∠FBC和∠CFB,∠DFB和∠FBA
AG
DF
EF
内错
∠EBH,∠DCH,∠EDF,∠GEF
识别同位角、内错角、同旁内角的方法
(1)准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键是分清哪两条直线被哪条直线所截,往往是两个角的两边被公共边所截;
(2)在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两旁找内错角;
(3)形象记忆:同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.
[例2] 如图所示,找出图中用数字表示的角中所有的同位角、内错角、同旁内角.
解:图中的同位角是∠1和∠4,内错角是∠2和∠5,同旁内角是∠3和∠4,∠3和∠5,∠4和∠5.
[例3] 如图所示,说出下面几对角的位置关系,并说明是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的.
(1)∠B与∠5;
(2)∠1与∠3;
(3)∠2与∠3.
解:(1)∠B与∠5是直线AB,CD被直线BE所截形成的同位角.
(2)∠1与∠3是直线AB,CD被直线AC所截形成的内错角.
(3)∠2与∠3是直线AD,DC被直线AC所截形成的同旁内角.
新知应用
1.如图所示,直线a,b被直线c所截,下列各组角是同位角的是( )
A.∠1与∠2 B.∠1与∠3
C.∠2与∠3 D.∠3与∠4
2.下列各图中,∠1与∠2是内错角的是( )
B
B
3.如图所示,∠1与∠B是直线 和 被第三条直线 所截形成的 角,同时∠1与∠2也是 角.
BC
CD
BD
同旁内
同旁内
4.如图所示,找出图中的同位角、内错角、同旁内角(仅限于用数字
表示).
解:由题图可得
同位角:∠1与∠3,∠3与∠5;
内错角:∠1与∠4,∠4与∠5;
同旁内角:∠1与∠2,∠6与∠5.
1.如图所示,与∠1是同旁内角的是( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
2.(2023滨州期中)如图所示,按各组角的位置判断错误的是( )
A.∠1与∠4是同旁内角
B.∠3与∠4是内错角
C.∠2与∠5是同位角
D.∠5与∠6是同旁内角
A
D
3.如图所示,下列结论正确的是( )
A.∠4和∠5是同旁内角
B.∠3和∠2是对顶角
C.∠3和∠5是内错角
D.∠1和∠5是同位角
4.如图所示,∠B与 是直线 和直线 被直线 所截形成的同位角.
C
∠FAC
AC
BC
FB
5.如图所示,能与∠1构成同位角的角有 个.
3
6.如图所示,指出图中直线AC,BC被直线DE所截形成的同位角、内错角、同旁内角(仅指用数字标出的角).
解:同位角:∠1与∠2,∠4与∠6.
内错角:∠1与∠3,∠4与∠5.
同旁内角:∠3与∠4,∠1与∠5.
谢谢观赏！(共15张PPT)
5.4 平 移
1.平移的定义
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,图形的这种移动,叫做平移.
2.平移的性质
(1)新图形与原图形的 完全相同;
(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段 .
形状和大小
平行(或在同一条直线上)且相等
3.平移作图
(1)作平移后的图形必须知道平移的 和距离;
(2)作平移后的图形只需作出几个关键点.
方向
平移的概念及性质
[例1] 在以下现象中,属于平移的是( )
①在荡秋千的小朋友;②家用垂直电梯上升的过程;③宇宙中行星的运动;④快递分拣过程中传送带上快递的移动过程.
A.①② B.②④
C.②③ D.③④
B
[例2] 如图所示,经过平移,三角形ABC移到三角形DEF的位置,A与D,B与E,C与F分别是一对对应点.
(1)图中线段AD,CF,BE有什么关系
(2)图中每对对应线段之间有什么关系 每对对应角之间有什么关系
(3)平移前后的两个三角形的形状和大小有什么关系
解:(1)AD∥CF∥BE,且AD=CF=BE.
(2)对应线段平行且相等,对应角相等.
(3)形状相同,大小相等.
“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中,是图形的一条边.
新知应用
1.下列图案中,不能由基本图形通过平移方法得到的图案是( )
2.如图所示,将三角形ABC沿BC方向平移 1 cm 得到对应的三角形A′B′C′.若 B′C=2 cm,则BC′的长是 cm.
B
4
平移作图
[例3] 如图所示,平移四边形 ABCD,使点A移动到点A′,画出平移后的四边形A′B′C′D′,并指出平移的方向和平移的距离.
解题探究:
(1)如何确定平移的方向和距离
(2)要作出平移后的四边形,还需要确定哪几个点的对应点
解:(1)由点A移动到点A′,知平移的方向是由A到A′的方向,平移的距离为线段AA′的长.
(2)B,C,D三个点的对应点.
(3)完成画图过程(保留作图痕迹,不要求写画法).
解:(3)如图所示,四边形A′B′C′D′即为所求作.
平移作图的方法:①找出平移的方向和距离;②确定构成图形的关键点;③根据平移方向和距离作出各个关键点的对应点;④最后顺次连接所作的每个关键点的对应点,并标出相应的字母,得出平移后的图形.
新知应用
如图所示,下列网格中,每个小正方形的边长都是1,图中“鱼”的各个顶点都在格点上.把“鱼”向右平移5个单位长度,画出平移后的图形.
解:如图所示.
1.(2022广西)2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的,展现了运动员不断飞跃、超越自我、奋力拼搏、激励世界的冬残奥精神.下列的四个图中,能由如图所示的会徽经过平移得到的是( )
D
2.如图所示,三角形ABC的边BC长为4 cm.将三角形ABC平移2 cm得到三角形 A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.
8
3.学校会议室重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯,已知这种地毯每平方米售价40元,主楼梯道宽2 m,其侧面如图所示,买地毯至少需要 元.
800
4.如图所示,在网格纸中,每个小正方形的边长为一个单位长度,点A,B,C都在格点上.
(1)画出线段BC;
(2)将线段BC先向左平移2个单位长度,再向上平移
3个单位长度,得到线段DE,在图中画出线段DE;
(3)画出线段AD,AE,并求出三角形ADE的面积.
解:(1)如图所示,线段BC即为所求.
(2)如图所示,线段DE即为所求.
谢谢观赏！(共22张PPT)
5.3.2 命题、定理、证明
1.命题
项目 内容
定义 一件事情的语句,叫做命题
组成 命题由 和 两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项
形式 通常写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是 ,“那么”后接的部分是
分类 真命题:题设成立,结论 .
假命题:题设成立,结论
判断
题设
结论
题设
结论
一定成立
不一定成立
2.定理与证明
名称 定义 作用
定理 经过 证实得到的真命题叫做定理 作为继续推理的依据
证明 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明 验证一个命题的真假
推理
命题及分类
[例1] 下列各语句中,哪些是命题,哪些不是命题 是命题的,请先将它改写为“如果……那么……”的形式,再指出命题的题设和结论.
①同号两数的和一定不是负数;
②若x=2,则1-5x=0;
③延长线段AB至点C,使点B是AC的中点;
④互为倒数的两个数的积为1.
解:①②④是命题,③不是命题.
①如果两个数是同号,那么这两个数的和一定不是负数.题设:两个数是同号;结论:这两个数的和一定不是负数;
②如果x=2,那么1-5x=0.题设:x=2;结论:1-5x=0;
④如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1.题设:两个数互为倒数;结论:这两个数的积为1.
[例2] 指出下列命题的题设和结论,并判断其真假,如果是假命题,举出一个反例.
(1)邻补角是互补的角;
(2)同位角相等.
解:(1)命题“邻补角是互补的角”的题设是“两个角是邻补角”,结论是“这两个角互补”,是真命题.
(2)命题“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”,结论是“这两个角相等”,为假命题.
反例:如图所示,∠1和∠2是同位角,但∠1≠∠2.
(1)命题在改写过程中,不能简单地把题设部分、结论部分分别写在“如果”“那么”后面,要适当增减词语,保证句子通顺且不改变
题意;
(2)说明一个命题是真命题,需通过推理证明;说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.
新知应用
1.下列语句中:①时间都去哪儿了 ②画一条直线的平行线;③长方形的四个角都是直角;④4不是偶数.命题共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(无锡中考)对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是( )
A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2
C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3
B
B
3.判断下列语句是不是命题,如果是命题,判断命题的真假,如果是假命题请举出反例.
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)过直线外一点作直线l的平行线;
(3)如果a>b,a>c,那么b=c.
解:(1)是表示判断的句子,∴是命题,它是一个真命题.
(2)是作图,不是表示判断的句子,∴不是命题.
(3)是表示判断的句子,∴是命题,它是一个假命题.
举反例:如当a=5,b=3,c=1,此时a>b,a>c,满足题设的条件,但是结论b=c不成立.
证明
[例3] 如图所示,∠ACD是∠ACB的邻补角,请你从下面的三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个真命题.①CE∥AB;②∠A=∠B;③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件写出一个真命题,并按“ ”的形式写出来;
(1)解:①③ ②.
(2)请证明(1)中的真命题.
答案不唯一.
(2)证明:∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠A,∠DCE=∠B.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∴∠A=∠B.
证明一个命题的一般步骤
①分清命题的题设和结论,如果与图形有关,首先根据题意画出图形, 并在图形上标出有关的字母和符号;
②根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证;
③经过分析,找出由已知推出结论的途径,有条理地写出证明过程.
新知应用
1.(2023庐江期中)如图所示,已知∠A=∠3,DE⊥BC,AB⊥BC,求证:DE平分∠CDB.请完成下列推理并填空.
证明:∵DE⊥BC,AB⊥BC(已知),
∴∠DEC=∠ABC=90°( ).
∴DE∥AB( ).
∴∠2=∠3( ),
∠1= (两直线平行,同位角相等).
又∵∠A=∠3(已知),
∴ ( ).
∴DE平分∠CDB(角平分线的定义).
垂直的定义
同位角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等
∠A
∠1=∠2
等量代换
2.如图所示,AB∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)求证:AD∥EF;
(1)证明:∵AB∥DG,∴∠BAD=∠1.
∵∠1+∠2=180°,
∴∠2+∠BAD=180°.
∴AD∥EF.
(2)若3∠CDG=4∠1,∠2=150°,求∠B的度数.
1.下列语句是命题的是( )
A.延长线段AB到点C
B.用量角器画∠AOB=90°
C.两点之间线段最短
D.任何数的平方都不小于0吗
C
2.下列说法不正确的是( )
A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B.定理是命题,而且是真命题
C.“对顶角相等”是命题,但不是定理
D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
3.说明命题“若x>-4,则x2>16”是假命题的一个反例可以是 .
.
C
x=-3(答
案不唯一)
4.把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并指出其题设和结论.
(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
(2)负数之和仍为负数;
(3)两直线平行,内错角相等;
(4)互为相反数的两个数相加得0.
解:(1)如果两条直线被第三条直线所截,那么同位角相等.题设是“两条直线被第三条直线所截”,结论是“同位角相等”.
(2)如果几个数是负数,那么这几个数的和仍为负数.题设是“几个数是负数”,结论是“这几个数的和仍为负数”.
(3)如果两条平行线被第三条直线所截,那么内错角相等.题设是“两条平行线被第三条直线所截”,结论是“内错角相等”.
(4)如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0.题设是“两个数互为相反数”,结论是“这两个数相加得0”.
5.请指出下列命题的题设和结论,并判断它们的真假,若是假命题,请举出一个反例.
(1)等角的余角相等;
(2)绝对值相等的两个数相等.
解:(1)题设:有两个角相等;结论:这两个角的余角相等;是真命题.
(2)题设:有两个数的绝对值相等;结论:这两个数相等;是假命题;
反例:|2|=|-2|,2≠-2.
6.(2023张湾区期中)如图所示,直线AB,CD被直线AE所截,直线AM,EN被MN所截.请你从以下三个条件:①AB∥CD;②AM∥EN;③∠BAM=∠CEN中选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个正确的命题.
(1)请按照:“∵ , ;
∴ .”的形式,写出所有正确的命题;
解:(1)命题1:∵AB∥CD,AM∥EN;∴∠BAM=∠CEN.
命题2:∵AB∥CD,∠BAM=∠CEN;∴AM∥EN;
命题3:∵AM∥EN,∠BAM=∠CEN;∴AB∥CD.
(2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明,写出推理过程.
解:(2)答案不唯一.
证明命题1:∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠CEA.
∵AM∥EN,
∴∠3=∠4.
∴∠BAE-∠3=∠CEA-∠4,
即∠BAM=∠CEN.
谢谢观赏！(共17张PPT)
5.1.2 垂 线
1.垂直
两条直线相交所成的四个角中的任意一个角是 时,我们说这两条直线互相垂直.
如图所示,(1)直线AB,CD相交于点O,若∠AOC=90°,则 ;
(2)若AB⊥CD,则∠COB= .
90°
AB⊥CD
90°
2.垂线
垂直是相交的一种特殊情形,两条直线 ,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做 .如图所示,AB⊥CD,垂足为O.
3.垂线的性质
(1)在同一平面内,过一点有且只有 直线与已知直线垂直;
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短.简单说成: .
4.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的 ,叫做点到直线的距离.
互相垂直
垂足
一条
垂线段
垂线段最短
垂线段的长度
垂直与垂线
(2)若OE平分∠BOD,判断OD和AB的位置关系并说明理由.
解:(2)OD⊥AB.理由如下:
因为OE平分∠BOD,
所以∠BOD=2∠BOE.
因为∠BOE=45°,
所以∠BOD=90°.
所以OD⊥AB.
垂直的定义既是判定又是性质
(1)由两直线垂直可得其夹角为90°;
(2)由两直线的夹角为90°,可得两直线垂直.
新知应用
如图所示,点O在直线CD上,已知∠1=25°,BO⊥OA,则∠BOD等于( )
A.25° B.65°
C.75° D.90°
B
垂线的画法及性质
[例2] 下列各图中,过直线l外的点P画直线l的垂线,三角尺操作正确的是( )
C
[例3] 如图所示,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,∠APC=90°,则下列结论:①线段AP是点A到直线PC的距离;②线段BP的长是点P到直线l的距离;③PA,PB,PC三条线段中,PB最短;④线段PC的长是点P到直线l的距离.其中正确的是( )
A.②③ B.①②③
C.③④ D.①②③④
A
[例4] 如图所示,在铁路旁边有一村庄,现要建一火车站,使村庄的人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路边选一点来建火车站,并说明
理由.
解:如图所示.为了使村庄的人乘火车最方便(即距离最近),过村庄向铁路画垂线段,理由是垂线段最短.
新知应用
如图所示,点A表示小雨家,点B表示小樱家,点C表示小丽家,她们三家恰好组成一个直角三角形,其中AC⊥BC,AC=900 m,BC=1 200 m,
AB=1 500 m.
(1)试写出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离;
解:(1)因为AC⊥BC,AC=900 m,BC=1 200 m,
所以小雨家到街道BC的距离为900 m,小樱家到街道AC的距离为1 200 m.
(2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段.
解:(2)如图所示,CD即为小丽家到街道AB距离的线段.
1.如图所示,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择路线时所用到的数学知识是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间直线最短
C.两点之间线段最短
D.垂线段最短
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,如果∠EOD=38°,则∠AOC=
°.
D
52
60°
4.如图所示,码头、火车站分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近,画图并说明理由;
(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;
(3)从火车站到河流怎样走最近,画图并说明理由.
解:如图所示.
(1)沿线段BA走,理由:两点之间,线段最短.
(2)沿线段AC走,理由:垂线段最短.
(3)沿线段BD走,理由:垂线段最短.
谢谢观赏！(共15张PPT)
第五章 相交线与平行线
学业要求 学生核心素养目标
1.理解邻补角、对顶角的概念;掌握邻补角、对顶角的性质,能运用其性质进行相关的计算. 2.理解垂线、垂线段等概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线;掌握垂线段最短的性质;理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离. 3.能识别同位角、内错角、同旁内角. 4.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论,能利用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;会用平行线的判定方法判定两直线平行. 5.能区分命题的题设和结论;会判断命题的真假;能写出简单的推理过程. 6.会用平行线的性质进行简单的计算和推理. 7.通过具体实例认识平移并掌握它的性质. 提升几何直观和推理能力,初步会用数学语言进行表达和交流.
5.1 相交线
5.1.1 相交线
1.邻补角
(1)定义:若两个角有一条 边,且它们的另一边 .线,具有这种关系的两个角互为邻补角;
(2)性质:邻补角 .
2.对顶角
(1)定义:若两个角有一个 顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的 线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角;
(2)性质:对顶角 .
公共
互为反向延长
互补
公共
反向延长
相等
邻补角和对顶角的概念
[例1] 如图所示,直线AB,CE交于点O.
(1)∠AOC的对顶角为 ;邻补角为 ;
(2)∠COF的邻补角为 ;
(3)∠BOF的邻补角为 ;
(4)∠AOE的对顶角为 ,邻补角为 .
∠BOE
∠BOC,∠AOE
∠EOF
∠AOF
∠BOC
∠AOC,∠BOE
新知应用
1.下列说法正确的是( )
A.互补的两个角是邻补角
B.相等的角必是对顶角
C.有公共边的两个角互为邻补角
D.两边互为反向延长线的角是对顶角
2.如图所示,直线AB,CD和EF相交于点O.
(1)∠AOC的对顶角为 ,邻补角为 ;
(2)∠BOF的对顶角为 ,邻补角为 .
D
∠BOD
∠BOC和∠AOD
∠AOE
∠AOF和∠BOE
邻补角和对顶角的性质
[例2] 如图所示,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=75°,∠1=25°.
(1)求∠COE的度数;
解:(1)因为∠AOC=75°,
所以∠BOD=∠AOC=75°.
因为∠1=25°,
所以∠2=∠BOD-∠1=75°-25°=50°.
所以∠COE=180°-∠2=180°-50°=130°.
(2)若OE平分∠BOD,求∠2的度数.
新知应用
1.(2022自贡)如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=30°,则∠2的度数是( )
A.30° B.40°
C.60° D.150°
A
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE是一条射线,∠1∶∠3=2∶7, ∠2=70°.
(1)∠BOD的度数为 .
(2)试说明:OE平分∠COB.
解:(1)40°
(2)因为∠1+∠COE+∠2=180°,∠2=70°,
所以∠COE=180°-∠1-∠2=180°-40°-70°=70°.
所以∠2=∠COE.
所以OE平分∠COB.
1.下列各图中,∠1和∠2构成对顶角的是( )
2.如图所示,直线AB,CD交于点O,OE平分∠AOD,若∠1=36°,则∠COE等于( )
A.72° B.90°
C.108° D.144°
B
C
3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70°,则∠BOC= ,
∠2= .
4.互为邻补角的角平分线的夹角是 .
125°
55°
90°
5.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分;
(1)图中∠AOC的对顶角为 ,∠BOE的邻补角为 ;
解:(1)∠BOD ∠AOE
(2)若∠AOC=70°,且∠BOE∶∠EOD=2∶3,求∠AOE的度数.
谢谢观赏！(共22张PPT)
第五章 相交线与平行线
章末知识复习
知识点一 相交线
1.如图所示,已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截,下列等式一定成立的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠2+∠4=180° D.∠1+∠4=180°
D
2.如图所示,∠1和∠3是直线 和直线 被直线 所截形成的 角;图中与∠2互为同旁内角的角有 个.
AB
AC
DE
内错
3
3.(2023通辽期中)如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,OE⊥OF.
(1)直接写出图中∠COE的补角;
(2)若∠COF=3∠COE,求∠BOE的度数;
解:(1)∠COE的补角为∠EOD,∠AOE.
(3)试判断OF是否平分∠AOC,并说明理由.
解:(3)OF平分∠AOC.理由如下:
∵直线AB与CD相交于点O,
∴∠AOB=180°.
∵∠EOF=90°,
∴∠AOF+∠BOE=180°-∠EOF=90°.
∵∠COE=∠BOE,∠COF+∠COE=90°,
∴∠COF=∠AOF,即OF平分∠AOC.
知识点二 平行线的判定与性质
4.如图所示,直线a∥b,且直线a,b被直线c,d所截,则下列条件不能判定直线 c∥d的是( )
A.∠3=∠4 B.∠1+∠5=180°
C.∠1=∠2 D.∠1=∠4
C
5.(2023汕尾期中)如图所示,线段AB交线段CD,EF于点H,G,已知∠BHD= ∠BDH,∠CHG=∠C.
(1)求证:AC∥BE;
(2)若∠BHD+∠HGF=180°,求证:∠C+∠CFG=180°;
(1)证明:∵∠BHD=∠BDH,∠CHG=∠C,且∠BHD=∠CHG,
∴∠BDH=∠C.∴AC∥BE.
(2)证明:∵∠BHD=∠CHG,∠BHD+∠HGF=180°,
∴∠CHG+∠HGF=180°.∴CD∥EF.
∴∠C+∠CFG=180°.
(3)在(2)的条件下,若∠CFG+30°=2∠BDH,求∠C的度数.
(3)解:∵AC∥BE,CD∥EF,
∴∠BDH=∠C,∠CFG=180°-∠C.
∵∠CFG+30°=2∠BDH,
∴180°-∠C+30°=2∠C.
∴∠C=70°.
知识点三 平移
6.(跨学科融合)现实世界中,平移现象无处不在.中国的方块字中有些也具有平移性.下列汉字中可以看作是由平移构成的是( )
B
7.如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF,若AE=8 cm,DB=2 cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长;
(2)求四边形AEFC的周长.
(2)四边形AEFC的周长为AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm).
类型一 转化思想
转化思想在平行线中的主要用法
(1)数形转化:两直线的位置关系(形)转化为角之间的数量关系(数);
(2)角转化:将不是同位角、内错角、同旁内角的角,转化为这三类角.
1.如图所示,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA为
α度,则∠GFB为 度(用关于α的代数式表示).
2.如图所示,AB∥CD,∠B=115°,∠C=45°,则∠BEC的度数为 .
110°
类型二 方程思想
方程思想在相交线与平行线中的应用
(1)已知条件中含有角度的比值时;
(2)已知条件中含有角的和差倍分关系时.
1.如图所示,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,如果∠CFE∶∠EFB=3∶4, ∠ABF=40°,那么∠BEF的度数为 .
60°
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)∠BOD的补角是 ;
解:(1)∠AOD和∠BOC和∠BOE
(2)若∠EOC∶∠EOD=4∶5,求∠BOD的度数.
1.(2022常州)如图所示,斑马线的作用是引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是( )
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
2.(2022滨州)如图所示,在弯形管道ABCD中,若AB∥CD,拐角∠ABC= 122°,则∠BCD的大小为( )
A.58° B.68°
C.78° D.122°
3.(2022宜昌)如图所示,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西35°方向,则∠ACB的大小是 .
A
85°
4.(2022潍坊改编)如图所示是小亮绘制的潜望镜原理示意图,两个平面镜的镜面AB与CD平行,入射光线l与反射光线m平行.若∠1=∠2,∠3= ∠4,入射光线l与镜面AB的夹角∠1=40°10′,则∠6的度数为
.
99°40′
5.(2023广安期中)如图所示,已知点E,F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:AB∥CD;
(1)证明:∵∠CED=∠GHD,
∴CE∥FG.
∴∠C=∠FGD.
∵∠C=∠EFG,
∴∠FGD=∠EFG.
∴AB∥CD.
(2)若∠EHF=75°,∠D=35°,求∠AEM的度数.
(2)解:∵CE∥FG,∠EHF=∠GHD=75°,
∴∠CED=∠GHD=75°.
∵AB∥CD,∠D=35°,
∴∠HEF=∠D=35°.
∴∠AEM=∠CEF=∠CED+∠HEF=75°+35°=110°.
谢谢观赏！(共22张PPT)
5.2.2 平行线的判定
第1课时 判定方法1,2
两条直线平行的判定方法
1.利用同位角(判定方法1)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果同位角 ,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:同位角 ,两直线 ;
(3)符号语言:∵∠1=∠2,∴ .
相等
平行
相等
平行
AB∥CD
2.利用内错角(判定方法2)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果内错角 ,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:内错角相等,两直线 ;
(3)符号语言:∵∠1=∠3,∴ .
相等
平行
平行
AB∥CD
同位角相等,两直线平行
[例1] 如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为 ,理由是 .
AB∥CD
同位角相等,两直线平行
[例2] 如图所示,已知直线AB,CD被直线EF所截,且∠1=60°,∠2= 120°,能否判定AB∥CD 为什么
解:能判定AB∥CD.理由如下:
∵∠2+∠END=180°,∠2=120°,
∴∠END=60°.
∵∠1=60°.
∴∠1=∠END.
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
平行线的判定是利用角的数量关系判断两直线的位置关系.
新知应用
1.如图所示,下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥c
D.若∠3=∠4,则a∥c
C
2.如图所示,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C.试说明:BE∥AC,并在步骤后补充其理由.
解:∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义).
∵∠ABE=∠C,
∴∠DBE=∠C(等量代换).
∴BE∥AC(同位角相等,两直线平行).
内错角相等,两直线平行
[例3] 如图所示,点D,E,F分别是AB,BC,AC上的点.
用标注数字的角填空:
(1)若∠2= ,则DE∥AC;
(2)若∠2= ,则DF∥BC.
∠1
∠3
[例4] 如图所示,已知CD⊥AD于点D,DA⊥AB于点A,∠1=∠2,试说明:DF ∥AE.
解:∵CD⊥AD,DA⊥AB,
∴∠CDA=∠DAB=90°.
即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4.
∴DF∥AE.
新知应用
如图所示.
(1)如果∠1=∠B,那么 ∥ ,依据是 ;
(2)如果∠3=∠D,那么 ∥ ,依据是 ;
(3)如果要使AB∥CD,必须∠3= ,依据是 .
AB
CD
同位角相等,两直线平行
BE
DF
内错角相等,两直线平行
∠B
内错角相等,两直线平行
1.如图所示,∠1=∠2,则下列结论正确的是( )
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.AD∥EF D.EF∥BC
2.如图所示的是一款教室护眼灯AB,用两根电线AC,BD吊在天花板EF上,已知∠ACD=90°,为保证护眼灯AB与天花板EF平行,添加下列条件中,正确的是( )
A.∠BDC=90° B.∠BDF=90°
C.∠BAC=90° D.∠ACE=90°
C
C
3.小明把一副三角尺摆放在桌面上,如图所示,其中边BC,DF在同一条直线上,可以得到 ∥ ,理由是 .
AC
DE
内错角相等,两直线平行
4.已知:如图所示,CF平分∠ACM,∠1=72°,∠2=36°,判断CM与DN是否平行,并说明理由.
解:CM∥DN.理由如下:
∵CF平分∠ACM,∴∠ACM=2∠1.
∵∠1=72°,∴∠ACM=2∠1=144°.
∴∠BCM=180°-144°=36°.
∵∠2=36°,∴∠2=∠BCM.
∴CM∥DN.
5.(应用意识)如图所示,一块不规则木料,只有AB一边成直线.木工师傅想要在此木料上截出一块有一组对边平行的木板,用角尺在MN处画了一条直线,然后又用角尺在EF处画了一条直线,画完后用锯沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行的木料.这样做有道理吗 并说明理由.
解:有道理.理由如下:
∵用角尺画出的MN,EF都垂直于AB,∴∠MNB=∠EFB=90°.
根据“同位角相等,两直线平行”,可得MN∥EF.
第2课时 判定方法3
利用同旁内角(判定方法3)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:同旁内角互补,两直线 ;
(3)符号语言:∵∠2+∠1=180°,
∴AB∥CD.
平行
平行
同旁内角互补,两直线平行
[例1] 如图所示,点A,B,E在同一条直线上.
(1)当∠C+ =180°时,AD∥BC;
(2)若∠D=120°,则当∠A= 时,AB∥CD.
∠D
60°
[例2] (教材P22习题 T3变式)如图所示,直线AE,CD相交于点O,如果∠A=110°,∠1=70°,试问AB∥CD 吗 为什么
解:AB∥CD.理由如下:
∵直线AE,CD相交于点O,
∴∠AOD=∠1=70°.
又∵∠A =110°,
∴∠A +∠AOD=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
新知应用
(2023阜阳期末)如图所示,已知∠ABC=∠BCD,∠ABC+∠CDG=180°,请说明:BC∥GD.
解:∵∠ABC=∠BCD,∠ABC+∠CDG=180°(已知),
∴∠BCD+∠CDG=180°(等量代换).
∴BC∥GD(同旁内角互补,两直线平行).
1.如图所示,直线a,b被c,d所截,下列条件中能说明a∥b的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2+∠4=180°
C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
C
2.如图所示,a,b,c,d是四条直线,d与a,b,c均相交,且∠1=∠2,∠3与∠2互补,试说明a∥b.
解:∵∠1=∠2,∴a∥c(同位角相等,两直线平行).
∵∠3与∠2互补,∴∠3+∠2=180°.
∵∠3=∠4(对顶角的定义),∴∠4+∠2=180°.
∴b∥c(同旁内角互补,两直线平行).
∵a∥c,b∥c,
∴a∥b(平行于同一直线的两直线平行).
谢谢观赏！(共15张PPT)
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
1.平行线
(1)同一平面内两条直线的位置关系:在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系: 和 ;
(2)定义与记法:同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线.直线a与b平行,记作 .
2.平行公理
经过 外一点,有且只有一条直线与这条直线 .
相交
平行
a∥b
直线
平行
3.平行公理的推论
(1)文字描述:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也
;
(2)符号描述:如果b∥a,c∥a,那么 .
互相平行
b∥c
平行线的概念及画法
[例1]在下列4个判断中:①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行;②在同一平面内,不重合也不相交的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行的两条线段一定相交;④在同一平面内,不重合也不平行的两条直线一定相交.正确的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
C
[例2] 如图所示,在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA.
(2)过点P画l2∥OB.
(3)用量角器量一量l1与l2相交所成的角与∠O的大小有怎样的关系
解:(1)(2)如图所示.
(3)l1与l2相交所成的角有四个:∠1,∠2,∠3,∠4,其中∠1=∠3,∠2= ∠4;经测量知∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1和l2相交所成的角与∠O的数量关系有两种:相等和互补.
(1)平行线必须说明“在同一平面内”,平行线是指两条直线,而不是线段或射线.平常我们说两条线段或射线平行,都是指线段或射线它们所在的直线平行;
(2)利用直尺和三角板画平行线的“四步法”(如图所示).
新知应用
如图所示,P是AB上一点,试过点P画PM∥AC,交BC于点M,过点P画PN∥BC,交AC于点N.
解:如图所示.
平行公理及其推论
[例3] 用直尺和三角尺画平行线:
如图所示,已知:直线a,点A,点B,点C.
(1)经过点A 画直线a的平行线(选填“能”或“不能”).
(2)过点B画直线a的平行线b,能画出 条;再过点C画直线a的平行线c,能画出 条,由作图可知,直线c与直线b .
解:(1)不能 (2)1 1 平行
(3)经过什么样的点才能画已知直线的平行线 所画平行线是否唯一
解:(3)经过直线外的点才能画已知直线的平行线,所画平行线唯一.
(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性;
(2)注意平行公理的前提条件“经过直线外一点”,若点在直线上,则不会有平行线;
(3)平行公理的推论可说明两直线平行,并由此可知平行关系具有传 递性.
新知应用
1.已知在同一平面内,有三条直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则直线a与直线c之间的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.平行或相交
2.如图所示,已知OM∥a,ON∥a,则点O,M,N三点共线的理由是 .
.
B
经过直
线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
1.下列语句正确的有( )
①任意两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行;②过一点有且只有一条直线和已知直线平行;③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b;④若直线a∥b,b∥c,则c∥a.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条平行,则它们交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
D
B
3.如图所示,AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是 ,理由是 .
EF∥CD
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
4.根据下列要求画图.
(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图(2)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
解:(1)如图①所示. (2)如图②所示.
谢谢观赏！
