2023-2024学年数学七年级下册北师大版期末质量检测卷

2023-2024学年数学七年级下册北师大版期末质量检测卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有，两个格点，在网格的格点上任意放置点（点，除外），恰能使为直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为，其中关于常量和变量的表述正确的是（ ）
A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π
C．常量是2，变量是C，π D．常量是，变量是C，r
3．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（　　）号．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下面推理正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．下列各式运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，那么摸到黄球的可能性为大小是，则m是 ．
12．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ．
13．如图，把一个长方形沿折叠后，点分别落在，的位置．若，则 ．
14．如图，的一边为平面镜，，在上有一点E，从E点射出一束光线经上一点D反射，此时，且反射光线恰好与平行，则的度数是 ．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则四边形的面积为 ．
16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．

三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值:，其中．
18．如图，直线、相交于，，．
(1)求的度数；
(2)试说明平分．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的．
(1)作关于直线l对称的图形；
(2)求的面积．
20．今年3月5日，学校组织八年级全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动．八（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并作了如下直方图和扇形统计图。请根据班长所作的两个图形，解答：

(1)八（3）班有多少名学生？
(2)补全直方图的空缺部分；
(3)若八年级有1000名学生，请估算该年级去敬老院有多少人？
(4)求“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率．
21．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546

(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围）
22．如图，和中，，点、、、在同一直线上，有如下三个关系式：①：②；③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③并证明．

23．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．
(1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
24．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
(1)图2所表示的数学等式为___________；
(2)利用（1）得到的结论，解决问题：若，求的值；
(3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接，若两正方形的边长满足，求阴影部分面积．
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试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查简单的概率知识，按照题意分别找出点能使为直角三角形所在的位置，再根据概率公式求出概率即可．
【详解】如图，
可以找到6个恰好能使为直角三角形的点，
∴概率为：
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义，根据定义进行判断即可．
【详解】解：根据题意得：函数关系式中常量是，变量是C、r．
故选：D．
3．D
【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是4号．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：延长，，
，
，
根据多边形的外角和定理可得，
．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键．
【详解】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
7．B
【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长和4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积可表示为：．
∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为，
∴大正方形的面积还可表示为：，
∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：．
故选D．
9．A
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：当时，
不能判断三角形全等，故符合题意，
当时，
满足边角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角边角判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
故选A．
11．6
【分析】本题考查概率计算公式的使用，根据概率黄球个数总数，变形得到总数黄球个数概率，即可解题．
【详解】解：（个），
故答案为：6．
12．
【分析】此题主要考查了函数关系式，根据油箱内余油量原有的油量小时消耗的油量，可列出函数关系式．
【详解】解：由题意得．
故答案为：．
13．/50度
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，由平行线的性质可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又由折叠可得，，
∴，
故答案为：．
14．/84度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意可得，结合即可求解．
【详解】解：∵反射光线恰好与平行，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
15．20
【分析】本题考查完全平方公式的应用，正确的表示图形的面积和适当的变形，是得到正确答案的关键．
用含有a、b的代数式表示四边形的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案．
【详解】解：面积为
，
当时，
原式．
故答案为：20．
16．/45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
17．，8．
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：
=
=，
当时，原式=．
18．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了邻补角的定义，补角的定义，角平分线的定义，掌握角平分线的定义及邻补角的定义是解题的关键．
（）先根据已知条件和邻补角的性质求出的度数，然后即可求出的度数；
（）根据补角的定义可知即可解答．
【详解】（1）解：∵直线、相交于，，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）解：∵直线、相交于，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故平分．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了轴对称的性质，割补法求三角形的面积；
（1）根据轴对称的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）的面积为
20．(1)50人
(2)见解析
(3)200人
(4)
【分析】（1）本题需先根据条形图知到社区文艺演出的人数为15人，再有它们在图中所占的比例即可求出该班的学生人数；
（2）用总人数减去打扫街道和去社区文艺演出的人数，求出去敬老院服务的学生数，即可补全统计图；
（3）用总人数乘以该年级去敬老院的人数所占的百分比即可；
（4）用去敬老院服务的人数除以抽取的人数即可确定答案．
【详解】（1）解：由条形图知到社区文艺演出的人数为15人，由扇形图知到社区文艺演出的人数占全体的，
所以抽取的部分同学的人数人；
（2）根据题意，去敬老院服务的人数是：（人），
如图：

（3）根据题意得：
（人）．
答：该年级去敬老院的人数是200人；
（4）“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．(1)放水时间，游泳池的存水；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识；
（1）根据题中表格即可完成；
（2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格；
（3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式．
【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水；
（2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390
（3）解：与的函数关系式为．
22．如果①，③，那么②；证明见解析．（或如果②，③，那么①；证明见解析）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法．对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到，因为，，利用判定，得到，即得到；对于如果②，③，那么①，先根据平行线的性质证明，再根据证明，根据判定，得出即可．
【详解】解：如果①，③，那么②，证明如下：
，
，
在与中，
，
，
，
，
即．
如果②，③，那么①，证明如下：
，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识．
(1)利用三角形的面积公式求出即可解决问题；
(2)根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出．
【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为，
，
为边上的中线，
点是的中点，
；
（2）解：，，为边上的高，
，，
．
为的角平分线，
，
．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）利用（1）中的乘法公式，进行变形得出答案即可；
（3）利用正方形的面积正方形的面积三角形的面积三角形的面积求解．
【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积可以表示，
也可以表示为，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）可得：
；
（3）解：
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页