【高考真题】2024年上海市高考数学卷（春季）
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2024·上海）log2x的定义域 ．
2．（2024·上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
3．（2024·上海）已知，则 ．
4．（2024·上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
5．（2024·上海）三角形ABC中，，则AB＝ ．
6．（2024·上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
7．（2024·上海）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 ．
8．（2024·上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．
9．（2024·上海）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 ．
10．（2024·上海）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 ．
11．（2024·上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
12．（2024·上海）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有 对．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．（2024·上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
14．（2024·上海）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β
C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
15．（2024·上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立
16．（2024·上海）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）
①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．①②都成立 B．①②都不成立
C．①成立②不成立 D．①不成立②成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．（2024·上海）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．
（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；
（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．
18．（2024·上海）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若圆锥侧面积为，BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．
19．（2024·上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
20．（2024·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
答案解析部分
1．【答案】（0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由对数函数的真数大于零可得，所以 log2x的定义域为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）.
【分析】利用对数函数的定义即可.
2．【答案】45°
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：把直线的一般式方程x﹣y+1＝0化成斜截式方程为y=x+1，
所以k=1，设直线的倾斜角为，即
由因为，所以.
故答案为：45°.
【分析】先把直线方程化成斜截式，再利用倾斜角的定义即可.
3．【答案】﹣1﹣i
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： 已知 ，所以，所以.
故答案为：﹣1﹣i.
【分析】先利用复数的四则运算化简Z，再利用共轭复数的定义即可.
4．【答案】15
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得 （x﹣1）6 展开式的通项公式为
令6-k=4可得k=2，所以x4的系数为.
故答案为：15.
【分析】利用二项式的通项公式即可.
5．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得可得，
因为，所以，
由正弦定理可得.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理结合三角函数恒等变化即可.
6．【答案】12
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得4a2+9b2，当且仅当即或等号成立，
所以 4a2+9b2的最小值为 12.
故答案为：12.
【分析】利用基本不等式即可求解.
7．【答案】（﹣∞，﹣4）
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得an＝n+c，当时，，所以数列{an}为等差数列，
，解得即，解得.
故答案为：（﹣∞，﹣4）.
【分析】先利用等差数列的定义判定{an}为等差数列，再利用求和公式即可求解.
8．【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2c=6，所以c=3，即a=1，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用双曲线的定义即可.
9．【答案】（﹣∞，1]
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，解得，所以，
当时，，即解得，
所以g（x）≤2﹣x 的解集为（﹣∞，1].
故答案为：（﹣∞，1].
【分析】根据题意，分段解不等式即可.
10．【答案】arccos
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知如图所示：
已知，
，
设异面直线AA1与BD的夹角，，
所以.
故答案为：arccos.
【分析】由题意可得，再利用空间向量的运算和夹角公式即可.
11．【答案】2.73
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知以A为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：
则E(0.2，0.2)，F(0.8，0.8)，则圆心M一定在直线EF的垂直平分线上且圆M与y轴相切，
设线段EF的中点为N，则N(0.5，0.5)，则直线EF的方程为y=x，则EF的垂直平分线方程为y=-x+1，
设圆心为M（a，-a+1），半径为a，则EM=解得
所以圆的周长为.
故答案为：2.73.
【分析】建立平面直角坐标系，把问题转化成求过点E，F且和y轴相切的圆的方程即可.
12．【答案】48
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：由题意得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，满足{a1+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，
不妨设b1>b2>b3>b4，
由单调性有b1+b2＝24，b1+b3＝20，b2+b4＝10，b3+b4＝6，
分两种情况讨论：
①b2+b3＝12，b1+b4＝18，
解得b1＝16，b2＝8，b3＝4，b4＝2，
②b2+b3＝18，b1+b4＝12，
解得b1＝13，b2＝11，b3＝7，b4＝-1，所以有2种，
综上共有2＝48对．
故答案为：48．
【分析】由题意可得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，利用列举法结合组合排列数即可求出b1，b2，b3，b4 .
13．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、当b=-2，c=-3时满足b＞c但b2
B、由不等式的加法可得a2+b＞a2+c正确，故B选项正确；
C、由A选项可得b20时，ab2D、当a=0时，a2b=a2c，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用特殊值和不等式的运算性质即可.
14．【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若α⊥β，m⊥α，则，或，又因为n⊥β，所以m⊥n，故A选项正确；
B、 若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β 或或n与斜交都有可能，故B选项错误；
C、 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n 或m，n异面和相交都有可能，故C选项错误；
D、若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β或都可能，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】利用空间点，线，面的位置关系逐项判断即可.
15．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、若选到第四个盒子，事件A，B会同时发生，则事件A与事件B不互斥，故A选项错误；
B、由题意可得P(A)=，满足，故B选项正确；
C、若选到第四个盒子， 事件A与事件B∪C 同时发生， 事件A与事件B∪C不互斥，故C选项错误；
D、因为P(A)=，，则，
故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用互斥事件的定义及相互独立事件的定义逐项判断即可.
16．【答案】D
【知识点】函数的周期性；函数的连续性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可得g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
对于①，对于g（x）＝ex，
则g（x）是周期为1的周期函数，其值域为（1，e），
因为k≠0，y＝kx+b与y＝g（x）不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当k＝10时，存在b使得直线y＝kx+b可以与h（x）在区间（9，10）的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故答案为：D.
【分析】利用延展函数的定义，结合周期函数的定义即可.
17．【答案】（1）解：当ω＝1时，．
因为x∈[0，π]，所以，
根据函数y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，即取得最大值1，即取得最小值
综上函数的值域为．
（2）解：由题知，所以ω＝2，即，
因为 x∈[π，a] ，所以
根据函数y＝sinx图像可知f(x)在三个零点可得，
解得，
综上a的取值范围为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据x∈[0，π]，求出的取值范围，结合y＝sinx的图形象即可；
（2）先利用周期公式求出ω＝2，再求出，结合y＝sinx的图形象即可.
18．【答案】（1）证明：取BC中点O，接AO，连PO如图所示：
因为AB＝AC，所以AO⊥BC，
同理PB＝PC，则PO⊥BC，
又因为PO，AO 面PAO，PO∩AO＝点O，
所以BC⊥面PAO，又PA 面PAO，
所以PA⊥BC；
（2）解：因为圆锥侧面积为且BC＝2， 所以r=1，，所以，
由（1）可得PO⊥BC，所以
又因为，所以，所以，
所以以O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，
设平面PAB的法向量为，平面PAC的法向量为
则，令则所以，
同理可得，
所以，
由图可得二面角B﹣PA﹣C 为钝角，所以二面角B﹣PA﹣C为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取BC中点O，接AO，连PO，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥面PAO，即可得证；
（2）由题意可得，结合（1）可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可；
19．【答案】（1）解： 从136箱中随机挑选两箱水果样本空间共有个样本点，
设事件M=" 恰好一级果和二级果各一箱 "则事件M包含的样本点共个，
由古典概率公式可得；
（2）解：因为一级果箱数：二级果箱数=，
所以8箱水果中抽到一级果箱，二级果箱；
综上8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）解：设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为m平均值，方差为，
由已知可得，，，
所以，
．
预估：果园中单果平均质量为克．
综上 168个水果的平均数285.44克；方差1427.17克2，整个果园的单果的平均质量约287.69克
【知识点】分层抽样方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用古典概率公式即可求解；
（2）根据分层抽样的定义分层按相同比例抽取即可；
（3）利用平均数和方差的定义和分层随机抽样平均数和方差公式即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得所以
因为点A的横坐标为2，不妨设A（2，m），
因为点A在椭圆Γ上，所以，解得，
所以＝；
（2）解：由题意可得，不妨设A（x，y），xy≠0，
所以
因为S1≥S2，所以2y2≥x2，又，解得，所以，解得，
则，
故|OA|的范围为.
（3）解：存在，理由如下：
不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），由对称性可得A、C关于y轴对称，所以C（﹣x1，y1），
又F1（﹣2，0），F2（2，0），
则
所，，
同理可得
又因为，
所以
解得y2+2y1＝0或（无解），
不妨设直线AF2：x＝my+2，
联立消去x并整理得（m2+3）y2+4my﹣2＝0，
由根与系数关系可得得，解得，即
又x1＝my1+2，解得，解得
故存在x轴上方的点，使得成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的几何意义和两点间的距离公式即可；
（2）设A（x，y），利用三角形面积公式得2y2≥x2，利用椭圆方程解得，求出，最后利用两点间的距离公式即可；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1）利用向量的坐标运算得出y2+2y1＝0，再设直线AF2：x＝my+2，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可.
21．【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞） [﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c 0成立 f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c 0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用定义即可；
(2)先对g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2求导，利用导数研究函数的单调性，对a分类讨论即可；
(3)利用偶函数的定义结合题意分充分性和必要性证明即可.
1 / 1【高考真题】2024年上海市高考数学卷（春季）
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2024·上海）log2x的定义域 ．
【答案】（0，+∞）
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由对数函数的真数大于零可得，所以 log2x的定义域为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）.
【分析】利用对数函数的定义即可.
2．（2024·上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
【答案】45°
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：把直线的一般式方程x﹣y+1＝0化成斜截式方程为y=x+1，
所以k=1，设直线的倾斜角为，即
由因为，所以.
故答案为：45°.
【分析】先把直线方程化成斜截式，再利用倾斜角的定义即可.
3．（2024·上海）已知，则 ．
【答案】﹣1﹣i
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： 已知 ，所以，所以.
故答案为：﹣1﹣i.
【分析】先利用复数的四则运算化简Z，再利用共轭复数的定义即可.
4．（2024·上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
【答案】15
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得 （x﹣1）6 展开式的通项公式为
令6-k=4可得k=2，所以x4的系数为.
故答案为：15.
【分析】利用二项式的通项公式即可.
5．（2024·上海）三角形ABC中，，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得可得，
因为，所以，
由正弦定理可得.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理结合三角函数恒等变化即可.
6．（2024·上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得4a2+9b2，当且仅当即或等号成立，
所以 4a2+9b2的最小值为 12.
故答案为：12.
【分析】利用基本不等式即可求解.
7．（2024·上海）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞，﹣4）
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得an＝n+c，当时，，所以数列{an}为等差数列，
，解得即，解得.
故答案为：（﹣∞，﹣4）.
【分析】先利用等差数列的定义判定{an}为等差数列，再利用求和公式即可求解.
8．（2024·上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．
【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2c=6，所以c=3，即a=1，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用双曲线的定义即可.
9．（2024·上海）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 ．
【答案】（﹣∞，1]
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，解得，所以，
当时，，即解得，
所以g（x）≤2﹣x 的解集为（﹣∞，1].
故答案为：（﹣∞，1].
【分析】根据题意，分段解不等式即可.
10．（2024·上海）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 ．
【答案】arccos
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知如图所示：
已知，
，
设异面直线AA1与BD的夹角，，
所以.
故答案为：arccos.
【分析】由题意可得，再利用空间向量的运算和夹角公式即可.
11．（2024·上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
【答案】2.73
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知以A为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：
则E(0.2，0.2)，F(0.8，0.8)，则圆心M一定在直线EF的垂直平分线上且圆M与y轴相切，
设线段EF的中点为N，则N(0.5，0.5)，则直线EF的方程为y=x，则EF的垂直平分线方程为y=-x+1，
设圆心为M（a，-a+1），半径为a，则EM=解得
所以圆的周长为.
故答案为：2.73.
【分析】建立平面直角坐标系，把问题转化成求过点E，F且和y轴相切的圆的方程即可.
12．（2024·上海）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有 对．
【答案】48
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：由题意得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，满足{a1+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，
不妨设b1>b2>b3>b4，
由单调性有b1+b2＝24，b1+b3＝20，b2+b4＝10，b3+b4＝6，
分两种情况讨论：
①b2+b3＝12，b1+b4＝18，
解得b1＝16，b2＝8，b3＝4，b4＝2，
②b2+b3＝18，b1+b4＝12，
解得b1＝13，b2＝11，b3＝7，b4＝-1，所以有2种，
综上共有2＝48对．
故答案为：48．
【分析】由题意可得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，利用列举法结合组合排列数即可求出b1，b2，b3，b4 .
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．（2024·上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、当b=-2，c=-3时满足b＞c但b2B、由不等式的加法可得a2+b＞a2+c正确，故B选项正确；
C、由A选项可得b20时，ab2D、当a=0时，a2b=a2c，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用特殊值和不等式的运算性质即可.
14．（2024·上海）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β
C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若α⊥β，m⊥α，则，或，又因为n⊥β，所以m⊥n，故A选项正确；
B、 若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β 或或n与斜交都有可能，故B选项错误；
C、 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n 或m，n异面和相交都有可能，故C选项错误；
D、若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β或都可能，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】利用空间点，线，面的位置关系逐项判断即可.
15．（2024·上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、若选到第四个盒子，事件A，B会同时发生，则事件A与事件B不互斥，故A选项错误；
B、由题意可得P(A)=，满足，故B选项正确；
C、若选到第四个盒子， 事件A与事件B∪C 同时发生， 事件A与事件B∪C不互斥，故C选项错误；
D、因为P(A)=，，则，
故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用互斥事件的定义及相互独立事件的定义逐项判断即可.
16．（2024·上海）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）
①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．①②都成立 B．①②都不成立
C．①成立②不成立 D．①不成立②成立
【答案】D
【知识点】函数的周期性；函数的连续性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可得g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
对于①，对于g（x）＝ex，
则g（x）是周期为1的周期函数，其值域为（1，e），
因为k≠0，y＝kx+b与y＝g（x）不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当k＝10时，存在b使得直线y＝kx+b可以与h（x）在区间（9，10）的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故答案为：D.
【分析】利用延展函数的定义，结合周期函数的定义即可.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．（2024·上海）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．
（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；
（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当ω＝1时，．
因为x∈[0，π]，所以，
根据函数y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，即取得最大值1，即取得最小值
综上函数的值域为．
（2）解：由题知，所以ω＝2，即，
因为 x∈[π，a] ，所以
根据函数y＝sinx图像可知f(x)在三个零点可得，
解得，
综上a的取值范围为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据x∈[0，π]，求出的取值范围，结合y＝sinx的图形象即可；
（2）先利用周期公式求出ω＝2，再求出，结合y＝sinx的图形象即可.
18．（2024·上海）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若圆锥侧面积为，BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．
【答案】（1）证明：取BC中点O，接AO，连PO如图所示：
因为AB＝AC，所以AO⊥BC，
同理PB＝PC，则PO⊥BC，
又因为PO，AO 面PAO，PO∩AO＝点O，
所以BC⊥面PAO，又PA 面PAO，
所以PA⊥BC；
（2）解：因为圆锥侧面积为且BC＝2， 所以r=1，，所以，
由（1）可得PO⊥BC，所以
又因为，所以，所以，
所以以O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，
设平面PAB的法向量为，平面PAC的法向量为
则，令则所以，
同理可得，
所以，
由图可得二面角B﹣PA﹣C 为钝角，所以二面角B﹣PA﹣C为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取BC中点O，接AO，连PO，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥面PAO，即可得证；
（2）由题意可得，结合（1）可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可；
19．（2024·上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【答案】（1）解： 从136箱中随机挑选两箱水果样本空间共有个样本点，
设事件M=" 恰好一级果和二级果各一箱 "则事件M包含的样本点共个，
由古典概率公式可得；
（2）解：因为一级果箱数：二级果箱数=，
所以8箱水果中抽到一级果箱，二级果箱；
综上8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）解：设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为m平均值，方差为，
由已知可得，，，
所以，
．
预估：果园中单果平均质量为克．
综上 168个水果的平均数285.44克；方差1427.17克2，整个果园的单果的平均质量约287.69克
【知识点】分层抽样方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用古典概率公式即可求解；
（2）根据分层抽样的定义分层按相同比例抽取即可；
（3）利用平均数和方差的定义和分层随机抽样平均数和方差公式即可.
20．（2024·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得所以
因为点A的横坐标为2，不妨设A（2，m），
因为点A在椭圆Γ上，所以，解得，
所以＝；
（2）解：由题意可得，不妨设A（x，y），xy≠0，
所以
因为S1≥S2，所以2y2≥x2，又，解得，所以，解得，
则，
故|OA|的范围为.
（3）解：存在，理由如下：
不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），由对称性可得A、C关于y轴对称，所以C（﹣x1，y1），
又F1（﹣2，0），F2（2，0），
则
所，，
同理可得
又因为，
所以
解得y2+2y1＝0或（无解），
不妨设直线AF2：x＝my+2，
联立消去x并整理得（m2+3）y2+4my﹣2＝0，
由根与系数关系可得得，解得，即
又x1＝my1+2，解得，解得
故存在x轴上方的点，使得成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的几何意义和两点间的距离公式即可；
（2）设A（x，y），利用三角形面积公式得2y2≥x2，利用椭圆方程解得，求出，最后利用两点间的距离公式即可；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1）利用向量的坐标运算得出y2+2y1＝0，再设直线AF2：x＝my+2，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可.
21．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞） [﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c 0成立 f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c 0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用定义即可；
(2)先对g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2求导，利用导数研究函数的单调性，对a分类讨论即可；
(3)利用偶函数的定义结合题意分充分性和必要性证明即可.
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