人教版八年级数学上册试题 第12章 全等三角形 单元测试卷 （含解析）

第12章《全等三角形》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（　　）

A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE
3．如图，的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则的面积是（ ）
A．54 B．51 C．42 D．41
4．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B．≌
C． D．
7．如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB=BC，，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，∠DAC与∠ACE的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为cm，则的取值范围是
12．如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点．
（1）当与满足 的关系时，；
（2）当时， ．

13．我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）．
14．如图，在中，，以为斜边作，，E为上一点，连接、，且满足，若，，则 的长为 ．

15．如图，和都为等腰直角三角形，，五边形面积为，求 ．
16．如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC与点E，则EP的长是 ．
17．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .

18．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论

①；②； ③； ④．
其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：，求作一个，使，且．
20．（8分）如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．
(1) 求∠AOE得度数； (2) 求证：AC=AE+CD．
21．（10分）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
22．（10分）已知线段直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边和△ADE，直线交直线于点．
(1)当点F在线段上时，如图1，试说明：
（ⅰ）．
（ⅱ）．
(2)当点F在线段延长线上时，如图2，请写出线段，，之间的关系，并说明理由．
23．（10分）在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
24．（12分）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：
(1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________；
(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：；
(3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．
【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，
则，即，
∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10，
∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．
故选：C．
2．A
【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.
【详解】∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；
若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；
若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；
故选：A．

3．B
【分析】连接CF，依据中线的性质，推理可得 ，进而得出 ，据此可得结论．
【详解】解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴，
∴，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴，，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．
【详解】解：（1）如图1所示：时，
图1
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
图2
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．
【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，

∵平分， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当点重合时，最大，最大值为，
∴，
故选：．
6．D
【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可．
【详解】解：在和中，
，
∴≌（），故选项A正确，不合题意；
连接，
∵≌（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项C正确，不合题意；
∵，证不出，
∴选项D错误，符合题意；
在和中，
∴≌（），故选项B正确，不合题意；
故选：D
7．B
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴（SAS）．
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形全等的判定定理与性质推出，又根据三角形全等的判定定理与性质推出，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，即
在和中，
点D是BC的中点
在和中，
故选：A．
9．B
【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
10．A
【分析】在射线AD上截取，连接PM，证明，可得，，然后证明，利用相似三角形的性质进行求解可得到结论．
【详解】解：如下图，在射线AD上截取，连接PM，
∵PA平分，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵PC平分，
∴．
如下图，延长MB，PC交于点G，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴180°-∠PCA=2∠PCA-60°，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题
11．3＜x＜5
【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.
【详解】
解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM
在△ABD和△CDM中，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM=AB=8．
在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，
解得：3＜x＜5．
故答案为3＜x＜5．
12．
【分析】（1）根据角平分线的性质平分，可得，再由两直线平行线同位角相等，内错角相等可得即可解答；
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角定理即可求解
【详解】（1）解：平分，
，
，
当时，，
故答案为：；
（2）解：平分，平分，
，
又
,
当时,
，
故答案为：
13．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键．
【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】延长至O点，使得，连接，先证明，再证明，问题随之得解．
【详解】延长至O点，使得，连接，如图，

∵，
∴，
∵，，
∴△ADO≌△ADE，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】过点作，且，连接、，交于点，则是等腰直角三角形，证明，则，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，且，连接、，交于点，则是等腰直角三角形，
∵和都为等腰直角三角形，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴，则
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
∴五边形面积
∴
故答案为：2．
16．3
【详解】如图，过点D作DH∥AC交BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BDH也是等边三角形，
∴BD=HD，
∵BD=CF，
∴HD=CF，
∵DH∥AC，
∴∠PCF=∠PHD，
在△PCF和△PHD中，
∴△PCF≌△PHD（AAS），
∴PC=PH，
∵△BDH是等边三角形，DE⊥BC，
∴BE=EH，
∴EP=EH+HP= BC，
∵等边△ABC，AB=6，
∴EP=╳6＝3.
故答案是：3．
17．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【详解】如图，延长交 的角平分线于点，连接．

平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．①③④
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项不正确；
即,
∴，本选项正确；
，本此选项正确；
故答案为：①③④．
三、解答题
19．解：如图
过点A作BC的平行线AE，再在AE上截取，交AE于点D，连接BD，CD即可得到△BCD．
20．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴,，
∵是的外角，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
21．（1），
，
（2）猜想：
由（1）可知，
，，
，
得证；
（3）当成立
由（1）可知，
，，
，
得证．
22．（1）（ⅰ）证明：和都是等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
．
（ⅱ），
，．
直线，
，，．
点，，在一条线上，，
，
，
．
，
，即；
（2）解：同理证明，
，，，
，
，
，即．
23．（1）证明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：结论：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，
∴，
解得：，不合题意；
②当时，点M在上，点N也在上，如图，

∵，
∴点M与点N重合，
∴，
解得：；
③当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，
∴，
解得：；
④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，

∵，
∴，
解得：；
综上所述：当或14或16秒时，与全等．
24．（1）解：，理由如下：
为等边三角形，
，，
由题意得：，
在和中，
，
，
；
（2）证明如下：由（1）可知，
，
，，
；
（3）证明：过点作交于，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
．