人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数正弦值 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数正弦值 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 151.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-18 05:43:51 | ||
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文档简介
教学设计
课 题 锐角三角函数正弦值
课时安排 第1课时 课前准备 课件、课后练
教材内容 分 析 《锐角三角函数正弦值》是人教版数学九年级下册第28章教材第一节的内容。锐角的正弦反映了直角三角形中锐角与其对边、斜边之间的关系，建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节。锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。
设计理念 本节课使用的媒体资源主要是计算机、几何画板。教师应用多媒体课件创设情境，演示“运动——变化”过程，解释知识形成的过程， 进而促成学生对知识的主动建构，帮助学生思考，为学生观察猜想提供学习资源和支持。在整个过程中，让学生亲自动手实践， 通过学生自主学习、亲身体验分析探索、发现新知识， 并运用数学知识解决问题。
学情分析 学生前面已经学习了三角形、四边形、 相似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习提供的研究方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习， 具备了一定的合作与交流能力。 了解锐角的正弦研究内容的必要性和合理性，对学生来说比较困难;利用相似三角形的性质“两个直角三角形的对应边的比相等”探索并认识锐角的正弦时，首先要得出结论“直角三角形的形状相同，大小改变，但边与边的比值不变”，然后需要联系函数概念，把直角三角形的“边 与边的比值”与“锐角”对应起来，进而得到“比值随锐角的确定而唯一确定 ，随锐角的改变而改变”，涉及的知识较多，看问题的角度和观点灵活多变，并且要用完全陌生的符号sinA表示锐角A的正弦，对学生具有很大的挑战性。
教学目标 1.通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念。 2.正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示。 3.学会根据定义求锐角的正弦值。 4.掌握利用相似三角形的性质研究直角三角形中，对于一个锐角而言，无论直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值为定值的研究过程和方法，体会研究对边与斜边的比为定值对锐角的正弦定义的必要性，掌握锐角的正弦表达式的结构。
教学重难点 教学重点：直角三角形中边角关系的提出过程，锐角正弦的定义过程，正弦的概念。 教学难点:研究内容的提出过程;锐角的正弦定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值的必要性。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 如图1，意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m. 1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m,而且还在继续倾斜，有倒塌的危险.当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43. 8 cm。 问题1我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角θ的度数吗 师生活动:多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。 追问1在上述问题中，可以抽象出什么几何图形 上述问题可以抽象成什么数学问题 师生活动:结合动画演示，引导学生得出:这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”。 追问2对直角三角形的边角关系，已经研究了什么 还可以研究什么 师生活动:通过师生交流，引导学生回答，我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系(两锐角互余)、三边之间的关系(勾股定理)，还可以研究边与角之间的关系。
设计意图 通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。教师引人课题并板书:从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系;从数学内部看，我们已经研究直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢 从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。
教学环节（二） 师生活动 问题2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ (1)隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC. 追问1你能用数学语言来表述这个实际问题吗 如何解决这个问题。 师生活动:学生组织语言与同伴交流，教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。把上述实际问题抽象成数学问题为: 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. 依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案:“需要准备70 m长的水管。 追问2在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管 师生活动:引导学生活动.依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案:“需要准备100 m长的水管”。 追问3对于有一个锐角为30°的任意直角三形，30角的对边与斜边有怎样的数量关系 可以用一个怎样的式子表示 师生活动:学生用数量关系表示，并引导学生得出 (然后归纳:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。
设计意图 运用多媒体隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC，引导学生把实际问题抽象成数学问题，进而培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。在学生用“直角三角形中，30° 角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。
教学环节 （三） 师生活动 问题3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗 例如，如图3，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比. 由此你能得出什么结论？ 师生活动:教师引出问题并投影显示，学生分组讨论，交流展示。 在Rt△ABC中，∠C=90°， 因为∠A=45°，所以ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB =AC +BC =2BC ，AB=BC 因此 归纳结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。 问题4 由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值。由此你猜想出什么一般的结论呢？ 师生活动:教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想: 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 在《几何画板》软件制作平台中演示、验证猜想的特殊情形(图4) 师生活动:多媒体演示，学生感受直观验证猜想的过程。
设计意图 强化学生对“对边与斜边的比”的关注，为获得“角度固定，比值也固定”作进一步铺垫。让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一。同时为学生提供自主探究的空间，增强语言表达能力。运用现代技术手段，让学生初步确认猜想的正确性。
教学环节 （四） 师生活动 问题5 任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 师生活动:教师引导学生将猜想“在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程。 ∵ ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ∴ ，即 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= 注意：(1)sinA不是一个角 (2)sinA不是sin与A的乘积 (3)sinA是一个比值 (4)sinA没有单位 ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化.
设计意图 培养学生的推理论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，为引出锐角的正弦概念奠定基础。让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念过程，感受定义的方式:先研究合理性，再下定义。
教学环节 （五） 师生活动 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 师生活动:师生共同完成图 (1) 教师提问: (1)求sinA 实际上要确定什么 依据是什么 求sin B呢 (2)它们的对边和斜边都已知吗 未知的怎么办呢 (3)能口述解题过程吗 学生思考作答，教师在学生代表口述的解题过程中引导规范步骤并同步板书， 解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 图(2)由学生独立完成，同桌交流，学生代表板演展示，教师巡视指导. 如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值. 师生活动:学生独立思考、合作完成习题，教师巡视及时解决学生的困难.
设计意图 例题示范，巩固锐角的正弦概念，规范学生的解题格式。进一步巩固锐角的正弦概念，加深对它的理解。
板书设计 创设情境，导入新课 直角三角形中角与角之间的关系(两锐角互余)、三边之间的关系(勾股定理)，边与角之间存在怎样的关系？ 探究发现，形成概念 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 证明猜想，形成概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化. 概念理解，应用提升 规范的解题步骤
教学反思 锐角的正弦反映了直角三角形中锐角与其对边、斜边之间的关系。从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，通过动画展示比萨斜塔的背景材料，为抽象出直角三角形做铺垫，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节。运用多媒体隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC，引导学生把实际问题抽象成数学问题，进而培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。在《几何画板》软件制作平台中演示、验证猜想，运用现代技术手段，让学生感受直观验证猜想的过程；再利用相似三角形的性质，研究-般直角三角形中锐角的对边与斜边的比的不变性，最后给出锐角的正弦概念引人锐角的正弦概念的过程，体现了从特殊到一般的思想方法。本节课有效展示了信息技术在数学教学中的创新应用，对提升教学质量有显著帮助。
课 题 锐角三角函数正弦值
课时安排 第1课时 课前准备 课件、课后练
教材内容 分 析 《锐角三角函数正弦值》是人教版数学九年级下册第28章教材第一节的内容。锐角的正弦反映了直角三角形中锐角与其对边、斜边之间的关系，建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节。锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。
设计理念 本节课使用的媒体资源主要是计算机、几何画板。教师应用多媒体课件创设情境，演示“运动——变化”过程，解释知识形成的过程， 进而促成学生对知识的主动建构，帮助学生思考，为学生观察猜想提供学习资源和支持。在整个过程中，让学生亲自动手实践， 通过学生自主学习、亲身体验分析探索、发现新知识， 并运用数学知识解决问题。
学情分析 学生前面已经学习了三角形、四边形、 相似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习提供的研究方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习， 具备了一定的合作与交流能力。 了解锐角的正弦研究内容的必要性和合理性，对学生来说比较困难;利用相似三角形的性质“两个直角三角形的对应边的比相等”探索并认识锐角的正弦时，首先要得出结论“直角三角形的形状相同，大小改变，但边与边的比值不变”，然后需要联系函数概念，把直角三角形的“边 与边的比值”与“锐角”对应起来，进而得到“比值随锐角的确定而唯一确定 ，随锐角的改变而改变”，涉及的知识较多，看问题的角度和观点灵活多变，并且要用完全陌生的符号sinA表示锐角A的正弦，对学生具有很大的挑战性。
教学目标 1.通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念。 2.正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示。 3.学会根据定义求锐角的正弦值。 4.掌握利用相似三角形的性质研究直角三角形中，对于一个锐角而言，无论直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值为定值的研究过程和方法，体会研究对边与斜边的比为定值对锐角的正弦定义的必要性，掌握锐角的正弦表达式的结构。
教学重难点 教学重点：直角三角形中边角关系的提出过程，锐角正弦的定义过程，正弦的概念。 教学难点:研究内容的提出过程;锐角的正弦定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值的必要性。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 如图1，意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m. 1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2 m,而且还在继续倾斜，有倒塌的危险.当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了43. 8 cm。 问题1我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角θ的度数吗 师生活动:多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。 追问1在上述问题中，可以抽象出什么几何图形 上述问题可以抽象成什么数学问题 师生活动:结合动画演示，引导学生得出:这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”。 追问2对直角三角形的边角关系，已经研究了什么 还可以研究什么 师生活动:通过师生交流，引导学生回答，我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系(两锐角互余)、三边之间的关系(勾股定理)，还可以研究边与角之间的关系。
设计意图 通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。教师引人课题并板书:从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系;从数学内部看，我们已经研究直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢 从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。
教学环节（二） 师生活动 问题2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ (1)隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC. 追问1你能用数学语言来表述这个实际问题吗 如何解决这个问题。 师生活动:学生组织语言与同伴交流，教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。把上述实际问题抽象成数学问题为: 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. 依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案:“需要准备70 m长的水管。 追问2在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管 师生活动:引导学生活动.依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案:“需要准备100 m长的水管”。 追问3对于有一个锐角为30°的任意直角三形，30角的对边与斜边有怎样的数量关系 可以用一个怎样的式子表示 师生活动:学生用数量关系表示，并引导学生得出 (然后归纳:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。
设计意图 运用多媒体隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC，引导学生把实际问题抽象成数学问题，进而培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。在学生用“直角三角形中，30° 角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。
教学环节 （三） 师生活动 问题3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗 例如，如图3，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比. 由此你能得出什么结论？ 师生活动:教师引出问题并投影显示，学生分组讨论，交流展示。 在Rt△ABC中，∠C=90°， 因为∠A=45°，所以ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB =AC +BC =2BC ，AB=BC 因此 归纳结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。 问题4 由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值。由此你猜想出什么一般的结论呢？ 师生活动:教师引导学生思考、交流并用准确的语言归纳猜想: 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 在《几何画板》软件制作平台中演示、验证猜想的特殊情形(图4) 师生活动:多媒体演示，学生感受直观验证猜想的过程。
设计意图 强化学生对“对边与斜边的比”的关注，为获得“角度固定，比值也固定”作进一步铺垫。让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一。同时为学生提供自主探究的空间，增强语言表达能力。运用现代技术手段，让学生初步确认猜想的正确性。
教学环节 （四） 师生活动 问题5 任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 师生活动:教师引导学生将猜想“在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程。 ∵ ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ∴ ，即 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= 注意：(1)sinA不是一个角 (2)sinA不是sin与A的乘积 (3)sinA是一个比值 (4)sinA没有单位 ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化.
设计意图 培养学生的推理论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，为引出锐角的正弦概念奠定基础。让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念过程，感受定义的方式:先研究合理性，再下定义。
教学环节 （五） 师生活动 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 师生活动:师生共同完成图 (1) 教师提问: (1)求sinA 实际上要确定什么 依据是什么 求sin B呢 (2)它们的对边和斜边都已知吗 未知的怎么办呢 (3)能口述解题过程吗 学生思考作答，教师在学生代表口述的解题过程中引导规范步骤并同步板书， 解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 图(2)由学生独立完成，同桌交流，学生代表板演展示，教师巡视指导. 如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值. 师生活动:学生独立思考、合作完成习题，教师巡视及时解决学生的困难.
设计意图 例题示范，巩固锐角的正弦概念，规范学生的解题格式。进一步巩固锐角的正弦概念，加深对它的理解。
板书设计 创设情境，导入新课 直角三角形中角与角之间的关系(两锐角互余)、三边之间的关系(勾股定理)，边与角之间存在怎样的关系？ 探究发现，形成概念 在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。 证明猜想，形成概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化. 概念理解，应用提升 规范的解题步骤
教学反思 锐角的正弦反映了直角三角形中锐角与其对边、斜边之间的关系。从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，通过动画展示比萨斜塔的背景材料，为抽象出直角三角形做铺垫，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节。运用多媒体隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的Rt△ABC，引导学生把实际问题抽象成数学问题，进而培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。在《几何画板》软件制作平台中演示、验证猜想，运用现代技术手段，让学生感受直观验证猜想的过程；再利用相似三角形的性质，研究-般直角三角形中锐角的对边与斜边的比的不变性，最后给出锐角的正弦概念引人锐角的正弦概念的过程，体现了从特殊到一般的思想方法。本节课有效展示了信息技术在数学教学中的创新应用，对提升教学质量有显著帮助。