2024届四川省泸州市中考数学试卷(含答案)

四川省泸州市2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，无理数是( )
A. B. C.0 D.π
2．第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费亿元，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( )
A. B. C. D.
4．把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则( )
A. B. C. D.
5．下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6．已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是( )
A. B. C. D.
7．分式方程的解是( )
A. B. C. D.
8．已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则( )
A. B. C. D.
10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，则的值为( )
A. B. C. D.
11．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
12．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是( )
A.4 B.5 C.8 D.10
二、填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是________.
14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为________.
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________.
16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换.如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为________.
三、解答题
17．计算：.
18．如图，在中，E，F是对角线上的点，且.求证：.
19．化简：.
20．某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表.
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图.
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
小麦种类统计量 甲 乙
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）______，______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2）______，______；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数.
21．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
22．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上.已知A，C相距30nmile.求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标.
24．如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F.
（1）求证：；
（2）过点C作于点G，若，，求的长.
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D选项中的数π是无理数，
故选：D.
2．答案：B
解析：，
故选：B.
3．答案：C
解析：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意.
故选：C.
4．答案：B
解析：如图，
直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故选：B.
5．答案：C
解析：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C.
6．答案：D
解析：如图，
A、，能判定为矩形，本选项不符合题意；
B、，，，能判定为矩形，本选项不符合题意；
C、，能判定为矩形，本选项不符合题意；
D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意；
故选：D.
7．答案：D
解析：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D.
8．答案：A
解析：方程无实数根，
，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A.
9．答案：C
解析：如图，连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
即，
，
，是的切线，根据切线长定理得，
，
，
.
故选：C.
10．答案：A
解析：设宽为x，
宽与长的比是，
长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
，
，
，
设，
在中，，
变形得：，
，，
，
故选A.
11．答案：A
解析：二次函数图象经过第一、二、四象限，
且，，
解得.
故选：A.
12．答案：B
解析：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
点M是的中点，
；
如图所示，在延长线上截取，连接，
，，，
，
，
，
当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
的最小值为5，
故选：B.
13．答案：
解析：在实数范围内有意义，
，
，
故答案为.
14．答案：3
解析：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
黄球的个数为3个.
故答案为：3.
15．答案：14
解析：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
.
故答案为：14.
16．答案：
解析：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，
，，
，，
，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
，
作轴于点D，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：.
17．答案：3
解析：原式，
，
.
18．答案：证明见解析
解析：证明：四边形是平行四边形，
，,
，
又，
，
.
19．答案：
解析：
.
20．答案：（1）2，4，乙种小麦的频数分布直方图见解析
（2）13，13.5
（3）乙，375
解析：（1）由表可知：甲种小麦苗高在的有7、8，故；
甲种小麦苗高在的有10、11、11、12，故，
（株），
补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
（2）由表可知：乙种小麦苗高最多，为5次，故；
将甲种小麦苗高从小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故中位数为，即；
故答案为：13.5，13；
（3）乙种小麦方差甲种小麦方差8.65，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙，
由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗高在有5株，
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，苗高在的株数为：
（株）.
21．答案：（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元
（2）购进A商品的件数最多为20件
解析：（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
为整数，
的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件.
22．答案：C，D间的距离为
解析：作于点E，
由题意得，，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为.
23．答案：（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2）
解析：（1）把代入中得：，解得，
反比例函数解析式为；
把，代入中得：，
，
一次函数解析式为；
（2）如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F，
直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，
，，
，
；
轴，点B在反比例函数的图象上，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，且符合题意，
.
24．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：是的直径，
，
，
；
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
同理可得，
，
；
如图所示，过点C作于H，则，
由（1）可得，，
，
，即，
，
；
设，则，
，，
，
，即，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或（舍去），
.
25．答案：（1）
（2）
（3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2
解析：（1）抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
，解得：，
；
（2）抛物线的开口向下，对称轴为直线，
抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，，当时，，
，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
，
设，则：，
，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2.