重庆市2024届中考数学试卷（A卷）(含答案)

重庆市2024届中考数学试卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是( )
A.-2 B.0 C.3 D.
2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
4．如图，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是( )
A. B. C. D.
6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A.20 B.22 C.24 D.26
7．已知，则实数m的范围是( )
A. B. C. D.
8．如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9．如图，在正方形的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为( )
A. B. C. D.
10．已知整式，其中n，…，为自然数，为正整数，且.下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
11．计算：______.
12．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______.
13．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为______.
14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______.
15．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接AE交BC于点F.若，，则BF______.
16．若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______.
17．如图，以为直径的与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点F，连接CE，与交于点，连接.若，，则______.______.
18．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”.例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的“方减数”是______.把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为______.
三、解答题
19．计算：（1）
（2）.
20．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89.
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 a 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点.用尺规过点O作的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：矩形，点E，F分别在AB，CD上，E，F经过对角线的中点O，且.求证：四边形是菱形.
证明：四边形是矩形，
.
______，.
点O是的中点，
_____.
.
______
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_________.
22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
23．如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
24．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港.
（参考数据：，，）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于AB两点（A在B的左侧），连接AC，BC，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交AC于点D.点M是线段DE上一动点，轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
26．在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使，直线与直线AC交于点G.
（1）如图1，若，，，求的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
参考答案
1．答案：A
解析：，
最小的数是；
故选：A.
2．答案：C
解析：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C.
3．答案：C
解析：把代入，得
.
故选C.
4．答案：B
解析：如图，
，
，
，
，
故选：B.
5．答案：D
解析：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故选：D.
6．答案：B
解析：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即，
第2种如图②有6个氢原子，即，
第3种如图③有8个氢原子，即，
……，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B.
7．答案：B
解析：，
，
，
故选：B.
8．答案：D
解析：连接，
根据题意可得，
矩形，，，
在中，，
图中阴影部分的面积.
故选：D.
9．答案：A
解析：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
四边形是正方形，
，，，设，
，
，
，
，
，，设，
则，
，
，而，
，
，
，
，
同理可求，
，
，
故选：A.
10．答案：D
解析：n，，…，为自然数，为正整数，且，
，
当时，则，
，，
满足条件的整式有，
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：5；
满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式M共有个.故③符合题意；
故选D.
11．答案：3
解析：，
故答案为：3.
12．答案：9
解析：，
这个多边形的边数是9，
故答案为：9.
13．答案：
解析：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点B的情况有1种，
甲、乙两人同时选择景点B的概率为，
故答案为：.
14．答案：
解析：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：.
15．答案：3
解析：，过点D作，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3，
16．答案：16
解析：，
解①得：，
解②得：，
关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于y的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，a是偶数，
且，a是偶数，
则所有满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：16.
17．答案：8；/
解析：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
以为直径的与相切于点A，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案为：8；.
18．答案：82；4564
解析：设，则（，），
由题意得：，
，“方减数”最小，
，
则，，
，
则当时，最小，为82，
故答案为：82；
设，则（，），
，
B除以19余数为1，
能被19整除，
为整数，
又（k为整数），
是完全平方数，
，，
最小为49，最大为256，
即，
设，t为正整数，
则，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，
经检验，当，时，，，，，
，，
，
故答案为：82，4564.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式，
；
（2）原式，
，
.
20．答案：（1）86，87.5，40
（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析
（3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人
解析：（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，
八年级竞赛成绩中A组：（人），
B组：（人），
C组：6人，所占百分比为，
D组：（人）所占百分比为，则，
八年级的中位数为第10、11个同学竞赛成绩的平均数，
即C组第4、5个同学竞赛成绩的平均数，
故答案为：86，87.5，40；
（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.
21．答案：（1）见解析
（2）①；②；③；④四边形是菱形
解析：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形是矩形，
.
，.
点O是的中点，
.
.
.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形.
22．答案：（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）需要更新设备费用为万元
解析：（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
23．答案：（1），
（2）函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小
（3）
解析：（1），
，
，
，，
，；
（2）如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）由函数图象可知，当时x的取值范围.
24．答案：（1）A，C两港之间的距离海里；
（2）甲货轮先到达C港.
解析：（1）如图，过B作于点E，
，
由题意可知：，，
，
，
，
（海里），
A，C两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
，
，
由题意得：，，
，
，（海里），
甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
，且甲、乙速度相同，
甲货轮先到达C港.
25．答案：（1）
（2）的最小值为
（3）符合条件的点Q的坐标为或
解析：（1）令，则，
，
，
，
，
，
，
将和代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设（），则，
，
，
当时，最大，此时，
，，，
，，
连接，
四边形是平行四边形，
，
，
当E、N、F共线时，取最小值，即取最小值，
点F为线段的中点，
，
，
的最小值为；
（3）由（2）得点D的横坐标为，代入，得，
，
新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
，
过点D作交抛物线于点，
，
同理求得直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
，
设交x轴于点G，
由旋转的性质得到，
过点D作轴，作轴于点H，作于点，
当时，，
解得，
，，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，，
，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
，
综上，符合条件的点Q的坐标为或.
26．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）如图，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
在上截取，连接，，，交于点H，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点D关于直线的对称点为点E，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
中，，
，
，
；
（3）连接，记与的交点为点N，
，，
，
由轴对称知，，，，
当点G在边上时，由于，
当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
，
，
，，
，
中，，解得，
，而，
为等边三角形，
，
设，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
；
当点G在延长线上时，只能是，如图：
设，
，，
，
，
，
在中，，
解得，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
，
，
，
综上所述：或.