2024届四川省遂宁市中考数学试卷(含答案)

四川省遂宁市2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，无理数是( )
A. B. C. D.0
2．古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学计数法表示为( )
A. B. C. D.
4．下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5．不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A. B. C. D.
7．分式方程的解为正数，则m的取值范围( )
A. B.且 C. D.且
8．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( )
A. B. C. D.
9．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在中，，点D，E在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
①
②
③
④若方程两根为m，，则
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11．分解因式：______.
12．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限.
13．体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
14．在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，______.
15．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连结并延长交于点F.给出以下结论：
①为等腰三角形
②F为的中点
③
④.
其中正确结论是______.（填序号）
三、解答题
16．计算：.
17．先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
18．康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA，OB，OC，OD
③顺次连结所得的四点得到四边形.
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______.
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图，四边形是平行四边形，.
求证：四边形是矩形.
19．小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽（，）为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）（，，）
20．某酒店有A，B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
（1）求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
21．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
22．遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生
数据的整理与描述
景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求的面积.
24．如图，是的直径，是一条弦，点D是的中点，于点E，交于点F，连结交于点G.
（1）求证：；
（2）延长至点M，使，连结.
①求证：是的切线；
②若，，求的半径.
25．二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：，，0都是有理数，是无理数，故选：C.
2．答案：A
解析：由实物图可知，从正面看到的图形是，故选：A.
3．答案：C
解析：万，故选：C.
4．答案：D
解析：A、，该选项错误，不合题意；
B、，该选项错误，不合题意；
C、，该选项错误，不合题意；
D、，该选项正确，符合题意；
故选：D.
5．答案：B
解析：，由①得，，由②得，，不等式组的解集为，不等式组的解集在数轴上表示为，故选：B.
6．答案：C
解析：设这个正多边形的边数为n，则，，这个正多边形的每个外角为，故选：C.
7．答案：B
解析：方程两边同时乘以得，，解得，分式方程的解为正数，，，又，即，，m的取值范围为且，故选：B.
8．答案：A
解析：过点O作于D，则，，
圆的直径为2米，，在中，，，为等边三角形，，淤泥横截面的面积，故选：A.
9．答案：D
解析：，，在和中，，，，在，中，，，，在，中，，，，在，中，，，，综上所述，共有4对“伪全等三角形”，故选：D.
10．答案：B
解析：由图可知，
抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，，
则，
抛物线与y轴的交点B在，之间，
，
则，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点，
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，解得，
则，故②错误；
，，，
，解得，故③正确；
根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为m，n满足，故④正确；
故选：B.
11．答案：
解析：.故答案为：.
12．答案：四
解析：反比例函数的图象在第一、三象限，，，点在第四象限，故答案为：四.
13．答案：甲
解析：甲的平均数为，，乙的平均数为，，，甲成绩更稳定，应选甲参加比赛，
故答案为：甲.
14．答案：
解析：根据题意可得，当时，，则当时，，故答案为：.
15．答案：①②③
解析：如图所示，
E为的中点，，设正方形的边长为，则，折叠，，，，，是等腰三角形，故①正确；
设，，，，，又，四边形是平行四边形，，，即F是的中点，故②正确；
，，，在中，，，，设，则，，，，，，故③正确；
连接，如图所示，
，，，又，，，又，，，又，，，，，，在中，，，故④不正确，故答案为：①②③.
16．答案：2024
解析：
.
17．答案：2
解析：
，
，2，
当时，原式.
18．答案：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）证明见解析
解析：（1）由作图可得：，，
四边形是平行四边形，
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形.
19．答案：此时台灯最高点C到桌面的距离为
解析：由已知，，
在图1中，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
在图2中，过点C作于点N，
，
灯柱高，
点C到桌面的距离为.
答：此时台灯最高点C到桌面的距离为.
20．答案：（1）A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元
（2）当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元
解析：（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，
由题意可得，，
解得，
答：A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元；
（2）设A种客房每间定价为a元，
则，
，
当时，W取最大值，元，
答：当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元.
21．答案：（1）证明见解析
（2）或
解析：（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2），是方程的两个实数根，
，，
，
解得：或.
22．答案：（1），10，
（2）见解析
（3）
（4）
解析：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，
C组的人数为：，
，
，
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是.
故答案为：，10，.
（2）根据（1）可得C组人数为10人，补全统计图，如图所示，
（3）.
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；
（4）列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，
他们选择同一景点的概率为.
23．答案：（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为
（2）或
（3）8
解析：（1）把代入得，，，反比例函数表达式为，把代入得，，，，把、代入得，，解得，一次函数表达式为；
（2）由图象可得，当时，x的取值范围为或；
（3）如图，设直线与y轴相交于点D，过点A作轴于点M，过点C作轴于点N，则，，
点B、C关于原点对称，，，，，，即的面积为8.
24．答案：（1）证明见解析
（2）①证明见解析，②的半径为
解析：（1）证明：如图，连接，
点D是的中点，，，，为的直径，，，，.
（2）证明：①为的直径，，，，是的垂直平分线，，，，而，，，
，为的直径，是的切线；
②，，，，，，，，，，，，的半径为.
25．答案：（1）
（2）
（3）存在，最小值为
解析：（1）把，，代入得，，解得，二次函数的表达式为；
（2）如图：
由得抛物线对称轴为直线，P，C两点关于抛物线对轴对称，，，设，，，，整理得，，解得，（舍去），，；
（3）存在，理由：当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，设点，则点，设直线交x轴于点H，
设直线表达式为：，代入，，得：，解得：，直线的表达式为：，令，得，则，则，则，即S存在最小值为；当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线表达式为：，令，得，则，则，则即S存在最小值为；当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，即S存在最小值为，综上所述，的面积S是否存在最小值，且为.