人教版2024年九年级上册第21章 一元二次方程 单元测试卷（含解析）

人教版2024年九年级上册第21章 一元二次方程 单元测试卷
满分120分 时间90分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝0 B．x2﹣y＝0
C．x2＝1 D．x2﹣（x﹣1）2＝0
2．将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3
3．下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣3 D．3
4．关于y的一元二次方程y2＝6y的解为（　　）
A．y＝0 B．y＝6 C．y1＝3，y2＝6 D．y1＝0，y2＝6
5．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
6．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0
7．某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．20
8．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　）
A．4 B．5 C．±4 D．±5
9．电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．4（1+x）＝7 B．4（1+x）2＝7
C．4+4（1+x）2＝7 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝7
10．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
12．若x＝1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则实数m的值为 　 　．
13．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为 　 　．
14．若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2024的值为 　 　．
15．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则可列方程 　 　．
16．已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则+的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）﹣2x2+6x﹣3＝0； （2）（2x+3）2＝（3x+2）2．
18．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的两根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+3x2＝0，求k的值．
19．（8分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
20．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
（1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 　 　；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
21．（10分）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？
22．（10分）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A.2x﹣y＝0，有两个未知数，未知数的最高次数是1，是二元一次方程，故不符合题意；
B．x2﹣y＝0，有两个未知数，未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故不符合题意；
C．x2＝1，有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；
C．x2﹣（x﹣1）2＝0，化简得：2x﹣1＝0，有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
2．解：∵2x2＝3x﹣1，
∴2x2﹣3x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别为2，﹣3，
故选：D．
3．解：（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3，
故选：D．
4．解：y2＝6y，
y2﹣6y＝0，
y（y﹣6）＝0，
y1＝0，y2＝6，
故选：D．
5．解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴这个方程是x2+2x﹣4＝0，
故选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＜0且m≠﹣1；
故选：A．
7．解：根据题意得：100（1﹣x%）2＝81，
（1﹣x%）2＝0.81，
1﹣x%＝±0.9，
解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），
∴x的值为10．
故选：A．
8．解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 （y+1）（y﹣1）＝15，
∴y2＝16，
解得：y1＝4，y2＝﹣4，
即 a2+b2＝4或 a2+b2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝4．
故选：A．
9．解：若把增长率记作x，则第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元，
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝7．
故选：D．
10．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1 x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1 x2+x1+x2+1＝8，即x1 x2+（x1+x2）﹣7＝0，
∴m2+2+2（m+1）﹣7＝0，
∴（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣3．
检验：当m＝1时，原方程可化为x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×1×3＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当m＝﹣3时，原方程可化为x2+4x+11＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×11＝16﹣44＝﹣28＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，
解得m＝2，
即m的值为2．
13．解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
∴（x﹣3）2＝14．
故答案为（x﹣3）2＝14．
14．解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m+1＝0即2m2﹣3m＝﹣1，
∴6m2﹣9m+2024＝3（2m2﹣3m）+2024＝2021，
故答案为：2021．
15．解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：（1+x）2＝81．
故答案为：（1+x）2＝81．
16．解：∵一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝3，
则+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×3＝19，
故答案为：19．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．解：（1）∵﹣2x2+6x﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝6，c＝﹣3，
∴Δ＝62﹣4×（﹣2）×（﹣3）＝12＞0，
∴，
解得；
（2）∵（2x+3）2＝（3x+2）2，
∴（2x+3）2﹣（3x+2）2＝0，
∴（2x+3+3x+2）（2x+3﹣3x﹣2）＝0，即（5x+5）（1﹣x）＝0，
∴5x+5＝0或1﹣x＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
18．解：（1）由题意可知：Δ＝22﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得：k≥﹣1；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k
∵x1+3x2＝0，
∴x1+x2+2x2＝0，即﹣2+2x2＝0，
解得x2＝1，
∴x1＝﹣3，
∴﹣3×1＝﹣k，
∴k＝3．
19．解：设修建的路宽应x米，可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x 2﹣50x+49＝0，
解得：x 1＝1米，x 2＝49米（不合题意舍去），
答：修建的道路宽为1米．
20．解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝c，
代入方程得，c2+2c＝0，
解得c＝0或﹣2；
故答案为：0或﹣2；
（2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝m+1，
代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0，
整理得，3m2+5m+2＝0，
解得或﹣1．
（3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，
∴方程的一个根为x＝c，且c≠0，
代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴ac+b+1＝0，
∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边，
∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，
∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
21．解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：2.225+9y≤2.5×（1+25%），
解得：y≤0.1，
∴y的最大值为0.1．
答：9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人．
22．解：（1）根据题意得：y＝100+10x，
∴y与x的函数关系式为：y＝10x+100（x＜60）；
（2）由（1）知，每件降价x元，每个月的销售量为（10x+100）件，每件利润为（60﹣42﹣x）元，
由题意得：（60﹣42﹣x）（10x+100）＝1920，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2（不符合题意，舍去），x2＝6，
答：这款汾酒每件可以降价6元．
23．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，
∴16﹣5x＝±8，
∴x1＝，x2＝；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，
∴PB BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；
②当＜y≤时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则
BP CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；
③＜y≤8时，
QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则
QP CB＝（22﹣y）×6＝12，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．