2022~2023学年福建厦门思明区厦门市第一中学高二上学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年福建厦门思明区厦门市第一中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知椭圆 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知向量 ，单位向量 满足 ，则 ， 的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、若圆 与圆 有3条公切线，则 （ ）
A. 3
B.3
C.5
D.3或 3
4、若双曲线 ： 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的焦距为（ ）
A.8
B.10
C.12
D.16
5、已知圆 ： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作圆 的两条切线 、 ，
切点分别A、 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过点 且斜率 的直线与双曲线
在第二象限的交点为 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7、以 为直径的圆有一内接梯形 ， ，梯形 的周长为10.若点 ， 在以 ， 为焦点的
椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、长方体 中， ， ，上底面 的中心为 ，当点 在线
段 上从 移动到 时，点 在平面 上的射影 的轨迹长度为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则 或
C.若 ，则
D.若 ，则
10、已知 ， ， 平面 ，则（ ）
A.点 到平面 的距离为
B. 与 所成角的正弦值为
C.点 到平面 的距离为
D. 与平面 所成角的正弦值为
11、月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半
椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，
椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线 与半圆交于点 ，与半椭圆交于点 ，则下列结论正确的是
（ ）．
A.椭圆的离心率是
B.线段 长度的取值范围是
C. 面积的最大值是
D. 的周长存在最大值
12、已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说
法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.若圆C关于直线l对称，则
C.若 ，则 或
D.若A，B，C，O四点共圆，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、过点 且倾斜角为 的直线在 轴上的截距是 .
14、已知四面体 棱长均为 ，点 ， 分别是 、 的中点，则 .
15、直线 与曲线 恰有2个公共点，则实数 的取值范围为 .
16、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，O为坐标原点，P是双曲线上一点，
且 ，点M满足 ， ，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知以点 为圆心的圆与直线 ： 相切，过点 的直线l与圆A相交于M，N两点，
Q是MN的中点， ．
(1)求圆A的标准方程；
(2)求直线l的方程．
18、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， 和 均为边长为 的等
边三角形
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正 弦值.
19、（本小题12分）
已知点 ，点 在双曲线 ： 上
(1)求 的最小值，并求出此时求点 的坐标；
(2)直线 与 交于点 （异于点 ），若原点 在 以 为直径的圆的外部，求直线 的斜率的取值范围.
20、（本小题12分）
如图，圆柱的轴截面 为正方形，点 在底面圆周上，且 为 上的一点，且 为
线段 上一动点（不与 , 重合）
(1)若 ，设平面 面 ，求证： ；
(2)当平面 与平面 夹角为 ，试确定 点的位置.
21、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中， 的周长为12， ， 边的中点分别为 和 ，点 为 边
的中点
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 的另一个交点为 ，线段 的中点为 ，记
，求 的最大值.
22、（本小题12分）
已知椭圆 ： 的焦距为 ，且过点 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个不
同的交点 ，
(1)求 的标准方 程；
(2)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 ， 和点
共线，求 .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
将椭圆方程转化为标准方程，利用 即 即可求解.
【详解】
解：因为椭圆 的方程为 ，即 ，
故 ，又 ，故 .
故选：C.
2、
【答 案】
C
【分析】
将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小.
【详解】
因为 ，故 ，
因此 ，故 即 ，
故 即 ，故 ，
而 ，故 ，
故选：C.
3、
【答 案】
D
【分析】
因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,
则圆心距等于两圆半径之和,
即 , 解得 或 ,
因此正确答案为:D.
4、
【答 案】
A
【分析】
由题得双曲线的渐近线方程为 ，不妨设直线 ，解方程 即得解.
【详解】
由 ，则该双曲线的渐近线方程为 ，
不妨设直线 被圆 所截得的弦长为 ，
则 ，解得 ，所以 ，所以 .
故该双曲线的焦距为
故选：A
5、
【答 案】
B
【分析】
由切线性质得 ，A， ， 四点共圆，且 ，则 ，又
，故当直线 时， 最小， 最小，即可由点斜式求得方程
【详解】
圆 的标准 方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
由切线性质得， ，A， ， 四点共圆，且 . 所以
，
而 ，则当直线 时， 最小，即 最小，即 最小，所以此时直线
，即
故选：B
6、
【答 案】
A
【分析】
根据数量积的运算律得到 ，再由直线 的斜率可得 的正切值，进而求出它的余弦值，
在三角形中，由余弦定理可得 ， 的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
【详解】
解：因为 ，而 ，
所以 ，可得 ，
即 ，
因为 在第二象限，由双曲 线的定义可得 ，
所以 ，
过点 且斜率为 的直线 ，可得\tan ，
\tan \sin
又 \cos ，解得\cos 或\cos （舍去），
在 中，由余弦定理可得：
\cos ，
整理可得 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线为 ；
故选：A．
7、
【答 案】
D
【分析】
根据圆的性质，结合相似三角形的性质、椭圆的定义、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】
如图所示，依题意可知，梯形 为等腰梯形，且有 ，不妨假设 ，则有
，过 作 ，垂足为 ，则有 ，
因为
所以 ，因此有 ，
代入化简得 ，解得 ，即 ， ，又 ，得 ，离
心率 ，
故选：D
【点睛】
关键点点睛 ：利用相似三角形的性质，椭圆的定义是解题的关键.
8、
【答 案】
B
【分析】
根据题意，证明 平面 ，以 ， 分别为 轴， 轴正方向建立平面直角坐标系，由 ，
可得： ，化简可得射影 的轨迹，求出轨迹对应的圆心角，利用弧长公式，即可求得答
案.
【详 解】
易证明 平面 ，则 面 面
如图所示，以 ， 分别为 轴， 轴正方向建立平面直 角坐标系，
则有： ， ， ，设 ，
∴由 ，可得： ，
整理可得： ，
∴点 在平面 上的射影 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆弧 ，
∵ ，
∴
∴ 是等边三角形，即 ，
∴圆弧 的长
故选：B
二、多选题
9、
【答 案】
A;C
【分析】
根据两直线平行列出方程，求出 或 ，经检验， 不合要求；
再根据两直线垂直列出方程，求出 .
【详解】
令 ，解得： 或 ．当 时， 与 重合；当 时， ．A正确，B错
误．
若 ，则 ，解得 ，C正确，D错误．
故选：AC
10、
【答 案】
C;D
【分析】
根据点面距、线线角、线面角等知识求得正确答案.
【详解】
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离为 ，故A错误，C正确；
与 所成角的余弦值为 ，正弦值为 ，B错误.
与平面 所成角的正弦值为 ，D正确.
故选：CD
11、
【答 案】
A;B;C
【分析】
由题意得半圆的方程为 ，
设椭圆的方程为 ，
所以 ，
．
所以椭圆的方程为 ．
A选项：椭圆的离心率是 ，
所以该选项正确；
B选项： 当 时， ；
当 时， ，
所以线段 长度的取值范围是 ，
所以该选项正确；
C选项：由题得 的面积 ，
设 ，
，
，
设 ，
，
，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，
所以该选项正确；
D选项： 的周长 ，
所以当 时， 的周长最大，但是 不能取零，
所以 的周长没有最大值，
所以该选项错误．
故选：ABC.
12、
【答 案】
A;C;D
【分析】
直线 过点 ，
圆 ，即 ①，
圆心为 ，半径为 ，
由于 ，所以 在圆 内. ，
所以 ，此时 ，所以A无误.
若圆 关于直线 对称，则直线 过 两点，斜率为 ，所以B有误.
设 ，则 ，此时三角形 是等腰直角三角形，
到直线 的距离为 ，即 ，
解得 或 ，所以C无误.
对于D选项，若 四点共圆，设此圆为圆 ，圆 的圆心为 ，
的中点为 ， ，
所以 的垂直平分线为 ，则 ②，
圆 的方程为 ，
整理得 ③，
直线 是圆 和圆 的交线，
由①-③并整理得 ，
将 代入上式得 ， ④，
由②④解得 ，
所以直线 即直线 的斜率为 ，D无误.
因此正确答案为：ACD
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
求出所求直线的方程，化为斜截式，可得结果.
【详解】
由题意可 知，所求直线的斜率为 ，故所求直线方程为 ，即 .
因此，该直线在 轴上的截距是 .
故答案为： .
14、
【答 案】
【分析】
根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】
解：因为点 ， 分别是 、 的中点，
所以 ， ，
，
，
所以 .
故答案为：
15、
【答 案】
【分析】
由曲线 得，当 时 ；当 时 ；
直线 恒过 点，
所以直线与曲线的图象为
当直线 与 相切时，此时 ，
得 ，解得 ，
当直线 与 平行时， ，
直线 与曲线 要恰有2 个公共点，
可得 ，
因此正确答案为： .
16、
【答 案】
2
【分析】
取 另一三等分点N，则有 ，又M是PN中点，则有Q是OP中点，再由平行四边形的对角线平方和
等于四边的平方和，列出关于 的方程，即可得答案；
【详解】
因为点M满足 ，所以M是 一个三等分点，
取 另一三等分点N，则有 ，又M是PN中点，则 有Q是OP中点，
因为 ，
所以 ，则 ，
由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和 ，
，
，化简得 ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查双 曲线的离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，
求解时注意平面几何知识的运用.
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2) 或
【分析】
（1）设圆A半径为R，由圆与直线 ： 相切得 ，
∴圆A的标准方程为 .
（2）i. 当直线l与x轴垂直时，即 ，此时 ，与题意相符；
ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为 ，即 ，
Q是MN的中点， ，∴ ，即 ，解得 ，∴直线l
为： .
∴直线l的方程为 或 .
18、
【答案 】
(1)见解析
(2)
【分析】
（1）取 的中点 ，连接 ， ，利用勾股定理证明 ，从而可证得 平面 ，再根据面
面垂直的判定定理即可得证；
（2）先求出 ，以 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法
求解即可.
【详解】
（1）证明 ：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 均为边长为 的等边 三角形，
所以 ， 且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
2 （ ）解：因为 ， 为等边三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
依题意 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19、
【答 案】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）设 ，则有 ，计算 ，计算得到答案.
（2）设 ： ，联立方程得到方程组，消去 利用韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为
，利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
（1）设 ，则有 ，
则 ，
当 时， ，此时点 的坐标为
（2）由题知直线 的斜率存在，故可设 ： ， ， ，
与双曲线方程联立得 ， ，
则 ，解得 且
， ，
，依题意得 ，解得
所以
20、
【答案 】
(1)证明见解析；
(2) 为 中点.
【分析】
（1）由线面垂直、圆的性质有 、 ，再由线面垂直的判定及性质得 ，进而有 面
，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系求 的坐标，设 ，可得
，再分别求出面 、面 的法向量，结合已知面面角的大小求参数 ，即可
确定 点的位置.
（1）
由题知 面 面 ，则 ，
由 为底面圆的直径，则 ，
由 ， 面 ，
面 ，
又∵ 面 ， ∴ ，
又 ， 面 ，
面 ，
又∵ 面 ， 故 .
由 ，在 中，由射影定理： ，
故 面 面 ,
∴ 面 ，又面 面 ， 面 ，
∴ .
（2）
由（1 ）知，以 为原点 为 , 轴正方向，过 的母线为 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设
，
则 ，
设 ，
，
设面 的法向量为 ，则 ，
令 =1，则 ，
又平面 的一个法向量
设平面 与平面 的夹角为 ，则cos cos ，
解得 或 ，
其中 时 重合，不合题意，
故当平面 与平面 夹角为 时 ，此时 为 中点.
21、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意有： ，且 ，
∴ ，
故点 的轨迹 是以 和 为焦点，长轴长为4的椭圆，
考虑到三个中点不可共线，故点 不落在 上，
综上所述所求轨迹方程： .
（2）设 ， ，显然直线 不与 轴重合，
不妨设直线 的方程为： ,
与椭圆 方程联立整理得： ，
， ， ,
， ,
∴ ,
令 ，则 ,
∵ ，∴ ，当 ，即 时，
∴ ,
∴当直线 轴时，∴ .
22、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）解法1：根据椭圆上点 的坐标，求 和 ，再结合椭圆的定义求椭圆方程；解法2：将点 代入椭
圆方程，结合焦距，即可求解椭圆方程；
（2）首先设直线 方程，与椭圆方程联 立，利用韦达定理，用点 的坐标，表示点 的坐标，同理用点 的坐
标表示点 的坐标，再利用向量的坐标表示 ， ， 三点共线，化简求得 的值.
【详解】
（1）解法 1：设焦距为 ，则
设椭圆左右焦点为 、 ，则 ，
则 ，解得
所以椭圆 的标准方程为
解法2：设焦距为 ，则
点 在椭圆上，有
解得 ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）设 ， ， ，
① ②. 则
又 ，所以可设 ，直线 的方程为
由 消去 可得
则 ，即
又 ，则 ，
同理
所以 .
同理可得 .
故 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
将点 ， 的坐标代入化简可得 ，即