2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练4 变换作图及其应用

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2025北师大版高中数学必修第一册
专题强化练4　变换作图及其应用
1.(2023天津月考)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)
A B C D
2.(多选题)(2024云南昆明第三中学期中)已知a>0,函数f(x)=ax+2a-2的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
3.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四个结论:①函数f(x)的值域为(0,+∞);②函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;④函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点.其中正确结论的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.(2022陕西咸阳实验中学月考)已知函数f(x)=|3x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是(　　)
A.a<0,b<0,c<0　　　B.a<0,b≥0,c>0
C.a<0,b=-c,c>0　　　D.3b+3c>2
5.(多选题)(2023江苏淮阴中学期中)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且当x无穷大或无穷小时,图象无限接近于直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　　)
A.a=-2,b=2
B.f(x)的值域为(-∞,2)
C.若xD.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0
6.(2024山西大同云冈汇林中学期中)已知函数f(x)=的图象与直线y=有四个交点,则a的取值范围为　　　　.
7.(2024天津河东期中)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,则a的取值范围为　　　　.
8.已知函数f(x)=-a.
(1)若a=0,画出函数f(x)的图象,并指出其单调区间;
(2)讨论方程f(x)=0的实数解的个数.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　变换作图及其应用
1.D　函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到.
当a>1时,0<<1,故排除A、B;当01,故排除C.故选D.
2.BCD　当0当a=时,函数图象过坐标原点,如D中图象;
当a=1时,函数f(x)=1,如C中图象;
当a>1时,函数f(x)=ax+2a-2单调递增,且f(0)=1+2a-2=2a-1>1,图象与y轴正半轴相交,如B中图象.
故选BCD.
3.B　作出函数f(x)=2|x-1|的图象,如图,
由图象可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.正确结论的个数为2,故选B.
方法技巧　研究指数型函数的性质,借助图象是常见的手段,画出简图后很多问题可迎刃而解.
4.D　函数f(x)的图象如图所示,由图可知a<0,b的符号不确定,c>0,故A,B不一定成立;
当a<0f(c)>f(b),此时b≠-c,故C不一定成立;
当b<0时,由f(c)>f(b),即|3c-1|>|3b-1|,且c>0,
得3c-1>1-3b,所以3b+3c>2,当b>0时,3b>1,又3c>1,所以3b+3c>2,故D正确.
故选D.
5.AD　∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0,∴a+b=0,
又∵当x趋近于+∞时,趋近于0,
∴当x趋近于+∞时,f(x)=a+b趋近于b,
由题知当x无穷大时,函数f(x)的图象无限接近于直线y=2,则b=2,∴a=-2,故A正确;
f(x)=-2+2,f(x)的大致图象如图所示,则f(x)∈[0,2),故B错误;
由图知,f(x)在(-∞,0]上单调递减,
∴当xf(y),故C错误;
易知f(x)为偶函数,
∵f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
∴当f(x)=f(y),且x≠y时,-x=y,∴x+y=0,故D正确.
故选AD.
6.答案　(0,2)
解析　f(x)=
=其图象如图所示,
当x∈[-1,1]时,f(x)∈,
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)∈,
要想函数f(x)=的图象与直线y=有四个交点,只需0<,解得07.答案　(-1,1]
解析　f(x)的图象如图所示,
原方程可变形为[f(x)+a-1]·[f(x)+a]=0,即f(x)=1-a或f(x)=-a,
因为关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,
所以或解得-18.解析　(1)当a=0时,f(x)=,其图象如图所示.
由图象可知, f(x)的单调递增区间为(0,+∞),
f(x)的单调递减区间为(-∞,0).
(2)方程f(x)=0可化为=a.
由(1)中图象可知,当a<0时,方程f(x)=0无实数解;
当a=0时,方程f(x)=0有唯一实数解;
当0当a≥1时,方程f(x)=0有唯一实数解.
综上,当a<0时,方程f(x)=0没有实数解;
当a=0或a≥1时,方程f(x)=0有且仅有一个实数解;
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