2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练6 统计思想的应用

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2025北师大版高中数学必修第一册
专题强化练6　统计思想的应用
1.某商城一年中各月份的收入、支出(单位:万元)情况如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.2至3月份的收入的变化值与11至12月份的收入的变化值相同
B.支出最高值与支出最低值的比是3∶1
C.7至9月份的平均支出为50万元
D.利润最高的月份是2月份
2.(多选题)(2024河南信阳高级中学月考)某公司对2021年的营收来源进行了统计,并绘制成如图所示的统计图.在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约为1 421万元,则下列说法正确的是(　　)
A.该公司在华东地区的营收额约为东北地区营收额的三倍
B.该公司在华南地区的营收额,比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C.该公司2021年的营收总额约为20 300万元
D.估计该公司在湖南省的营收额占华中地区营收额的34.18%
3.(多选题)(2024辽宁朝阳月考)某工厂为了了解一批产品的长度,从中随机抽取了100件产品进行测量,所得数据都在区间[5,40]内,其频率分布直方图如图所示,则(　　)
A.a=0.05
B.估计产品长度的样本数据的70%分位数是27 mm
C.估计产品长度的样本数据的众数是22.5 mm
D.估计产品长度的样本数据的平均数是23 mm
4.(2024湖北宜昌枝江第一高级中学月考)在跳水比赛中,有8名评委分别给出某选手原始分,在评定该选手的成绩时,从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分(最高分和最低分不相等),得到6个有效分,这6个有效分与8个原始分相比较,下列说法正确的是(　　)
A.中位数、平均数、方差均不变
B.中位数、平均数、方差均变小
C.中位数不变,平均数可能不变,方差变小
D.中位数、平均数、方差都发生改变
5.(2023贵州贵阳白云阶段性质量监测)为国家培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人,构建德智体美劳全面发展的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极响应党的号召,开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动,该校高三文科实验(1)班和理科实验(1)班两个班级在某次活动中德智体美劳的评价得分如图(得分越高,说明该项教育越好),下列说法正确的是(　　)
A.高三理科实验(1)班五项评价得分的极差为1.5
B.除“体”外,高三文科实验(1)班各项评价得分均高于高三理科实验(1)班对应的得分
C.高三文科实验(1)班五项评价得分的平均分比高三理科实验(1)班五项评价得分的平均分要高
D.各项评价得分中,这两班“体”的评价得分相差最大
6.(多选题)(2024黑龙江大庆实验中学月考)已知采用分层随机抽样得到的样本数据由两部分组成,第一部分样本数据xi(i=1,2,…,m)的平均数为,方差为;第二部分样本数据yi(i=1,2,…,n)的平均数为,方差为,设,则下列命题正确的是(　　)
A.设总样本的平均数为,则
B.设总样本的平均数为,则
C.设总样本的方差为s2,则≤s2≤
D.若m=n,,则s2=
7.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,一组:[20,25),二组:[25,30),三组:[30,35),四组:[35,40),五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知一组有6人.
(1)求x的值;
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数);
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1至5组,从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中一至五组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1至5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　统计思想的应用
1.A　2至3月份的收入的变化值为60-80=-20(万元),11至12月份的收入的变化值为50-70=-20(万元),故A中说法正确;
支出最高的月份是2月份,最低的月份是5月份,故支出最高值与支出最低值的比是6∶1,故B中说法错误;
7,8,9月份的支出分别为20万元,40万元,40万元,故这三个月份的平均支出为(万元),故C中说法错误;
利润最高的月份是3月份和10月份,都是30万元,高于2月份的利润,故D中说法错误.故选A.
2.ACD　对于A, ≈3.03,故A正确;
对于B,在华中地区的三省中,河南省的营收额最少,所以河南省的营收额为6.19%, 19.34%-(13.41%+6.19%)=-0.26%<0,故B不正确;
对于C,因为在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约为1 421万元,所以该公司2021年的营收总额约为=20 300(万元),故C正确;
对于D,因为≈34.18%,所以估计该公司在湖南省的营收额占华中地区营收额的34.18%,故D正确.
故选A.
3.ABC　对于A,(0.01×3+0.02+0.04+a+0.06)×5=1,解得a=0.05,正确;
对于B,长度在25 mm以下的频率为(0.01+0.01+0.04+0.06)×5=0.6,
长度在30 mm以下的频率为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85,
故70%分位数在[25,30)内,设为x,则×0.05×5+0.6=0.7,解得x=27,正确;
对于C,估计产品长度的样本数据的众数是=22.5(mm),正确;
对于D,估计产品长度的样本数据的平均数是7.5×0.01×5+12.5×0.01×5+…+37.5×0.01×5=23.25(mm),错误.
故选ABC.
4.C　不妨设原始分为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8,x1≠x8,则中位数为,
有效分为x2,x3,x4,x5,x6,x7,中位数为,两者相等,所以中位数不变.
例如:原始分为2,2,2,2,2,2,2,3,平均数为2.125,则有效分为2,2,2,2,2,2,平均数为2,两者不相等,此时平均数改变;
再例如:原始分为1,2,2,2,2,2,2,3,平均数为2,则有效分为2,2,2,2,2,2,平均数为2,两者相等,此时平均数不变,故平均数可能不变.
从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分,即把波动最大的两个值去掉,则有效分比原始分更集中,波动性减小,故有效分的方差小于原始分的方差,即方差变小.故选C.
5.C　高三理科实验(1)班五项评价得分的极差为10-9=1,故A错误.
高三文科实验(1)班“德”的评价得分为10,高三理科实验(1)班“德”的评价得分为10,故B错误.
高三文科实验(1)班“德”“智”“体”“美”评价得分的总分为10+10+9.5+10=39.5,“劳”的评价得分在9.5到10之间,故其五项评价得分的总分在49到49.5之间;
高三理科实验(1)班五项评价得分的总分为10+9.5+10+9.5+9=48,故C正确.
各项评价得分中,这两班“劳”的评价得分相差最大,故D错误.
故选C.
6.AD　对于A,因为≤,
所以≤,
≥,
即≤≤,A正确;
对于B,不妨取第一部分数据为1,1,1,1,1,则=0,取第二部分数据为-3,9,则=36,则·,B不正确;
对于C,不妨取第一部分数据为-2,-1,0,1,2,则=2,
取第二部分数据为1,2,3,4,5,则=2,则,
s2=,C不正确;
对于D,若m=n,,则,则s2=,D正确.
故选AD.
7.解析　(1)根据题中频率分布直方图得一组的频率为0.01×5=0.05,
∴=0.05,∴x=120.
(2)设中位数为a岁,
则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,
∴a=≈32,
∴抽取的x人的年龄的中位数约为32岁.
(3)①5个年龄组成绩的平均数为×(93+96+97+94+90)=94(分),方差为×[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6.
5个职业组成绩的平均数为×(93+98+94+95+90)=94(分),方差为×[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.
②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.
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