2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--专题强化练7 古典概型

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2025北师大版高中数学必修第一册
专题强化练7　古典概型
1.(2023广西钦州第四中学月考)一个笼子里有3只白兔,2只灰兔,现让它们一一跑出笼子,假设每次跑出的兔子都是随机的,则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔,另一只是灰兔的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2022安徽淮北一中月考)皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,他在1636年提出:若p是质数,且整数a与p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒为1.后来人们称之为费马小定理.以此定理,若在数集{2,3,4}中先后取两个不同的数,其中第一个数作为p,第二个数作为a,则所取两个数符合费马小定理的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(2024湖北武汉第四中学月考)饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一,最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上,盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为一个单位长度,有一点P从点A出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能的,那么点P经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(多选题)(2024湖北黄冈月考)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能地随机顺序前往酒店接嘉宾,某嘉宾突发奇想,设计了两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则(　　)
A.P1·P2=　　　B.P1=P2=
C.P1+P2=　　　D.P1>P2
5.(2023广东佛山测试)众所周知,长时间玩手机可能会影响视力.据调查,某校学生大约有40%的人近视,大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则该学生近视的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.从集合P中随机取一个数作为a,从集合Q中随机取一个数作为b.
(1)列举出所有的数对(a,b),并求函数y=f(x)有零点的概率;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率.
专题强化练7　古典概型
1.A　设3只白兔分别为a1,a2,a3,2只灰兔分别为b1,b2,
则样本空间中的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10个,
其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔,另一只是灰兔的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个,
所以所求事件的概率为.故选A.
2.C　在数集{2,3,4}中先后取两个不同的数,其中第一个数作为p,第二个数作为a,记为(p,a),则样本空间包含的样本点有(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6个,其中所取两个数符合费马小定理的有(2,3),(3,4),(3,2),共3个,故所取两个数符合费马小定理的概率为.
3.B　点P从点A出发,每次向右或向下跳一个单位长度,所有可能为(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右),(右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共8种,符合题意的有(下,下,右),共1种,所以所求概率P=.故选B.
4.ACD　三辆车到达酒店的顺序可能为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种情况,
方案一坐到“3号”车包含(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共 3种情况,
所以方案一坐到“3号”车的概率P1=.
方案二坐到“3号”车包含(3,1,2),(3,2,1),共2种情况,
所以方案二坐到“3号”车的概率P2=.
所以P1·P2=,P1>P2,A,C,D正确.
故选ACD.
5.B　设该校有a名学生,则约有0.4a名学生近视,0.3a名学生每天玩手机超过2 h,且每天玩手机超过2 h的学生中近视的人数为0.3a×0.5=0.15a,
所以有0.7a名学生每天玩手机不超过2 h,在这0.7a名学生中,有0.4a-0.15a=0.25a名学生近视,
所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,该学生近视的概率P=.
故选B.
6.解析　(1)数对(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15个.
函数y=f(x)有零点等价于Δ=(-b)2-4a≥0,则满足条件的数对(a,b)有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.
所以函数y=f(x)有零点的概率P1=.
(2)易知a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=,因为函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以≤1.满足条件的数对(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13个,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率P2=.
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