2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--§2 对数的运算（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§2　对数的运算
基础过关练
题组一　对数的运算性质
1.(多选题)(2024山东青岛统考)已知a=lg 2,b=lg 3,则(　　)
A.a+b=lg 6　　　B.=log34
C.2+=log212　　　D.b-a=lg
2.(2023江苏淮海中学期中)我们知道,任何一个正数N可以用科学记数法表示成a×10n(1≤a<10,n∈N)的形式,此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1),当n>0时,称N的位数是n+1.根据以上信息可知350的位数是(lg 3≈0.477 12)(　　)
A.23　　　　B.24　　　　C.25　　　　D.51
3.(2024山西晋城第一中学月考)计算lg 2-lg +3lg 5-log32×log49=　　　　.
4.(2023黑龙江省实验中学期中)已知f(ex)=xlg 7,则f(2)+f(5)=　　　　.
5. (2024河北石家庄二中期中)已知a=log3log38·log2,则a+b+c= 　　　　.
6.(1)已知logx8=6,求x的值;
(2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值.
题组二　换底公式
7.(2024山东薛城舜耕实验学校月考)已知3x=5y=a,且=2,则a的值为(　　)
A.　　　　B.15　　　　C.±　　　　D.225
8.(2024四川成都期中)牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t后的温度T将满足T-Ta=·(T0-Ta),其中Ta是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶,放置在25 ℃的房间中,如果热茶降温到55 ℃需要10分钟,则热茶从85 ℃降温到45 ℃大约需要多少分钟(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.12　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.18
9.(2023湖南邵阳第二中学期中)log23×log34×log48=　　　　.
10. (2023江西萍乡期末)把满足log23×log34×…×log(n+1)(n+2),n∈N*为整数的n叫作“贺数”, 则在区间(1,50)内所有“贺数”的和是　　　　.
11.(2024河南前20名校调研)已知2a=32,loga2·log4x=a,则log5x+logx5=　　　　.
题组三　对数运算的综合应用
12. (2024湖南邵阳武冈期中)已知某种垃圾的分解率为v,与时间t(月)满足函数关系式v=abt(其中a,b为非零常数),若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,经过24个月,这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
A.48个月　　　B.52个月
C.64个月　　　D.120个月
13.(2024四川泸县第四中学月考)a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖(假设全部溶解),生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为(a>b>0,m>0),这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式,下列不等式正确的是(　　)
A.log85B.
C.　　　
D.
14.(多选题)(2023江西九江期末)已知910>109,912>1011,1112>1211,设a=log1211,b=,则下列结论中正确的是(　　)
A.ab　　　　C.a>d　　　　D.c>d
15.(2024山东菏泽第一中学月考)已知函数f(x)=则f(log23)=　　　　.
16.(2023上海建平中学期中)若正数x,y满足2+log2x=1+log3y=log6(2x+y),则的值为　　　　.
17.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
18.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:.
19.(1)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求lg;
(2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3和,乙看错了常数c,得两根为和81,求这个方程正确的根.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§2　对数的运算
基础过关练
1.AD　对于A,lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a+b,故A正确;
对于B,log34=≠,故B错误;
对于C,log212=log2(4×3)=log24+log23=2+,故C错误;
对于D,lg =lg 3-lg 2=b-a,故D正确.故选AD.
2.B　lg 350=50lg 3≈23.856=23+0.856,则350的位数是23+1=24.故选B.
3.答案　2
解析　原式=lg 2+2lg 2+3lg 5-2××log32×log23=3(lg 2+lg 5)-1=3lg 10-1=2.
4.答案　ln 7
解析　令t=ex,则x=ln t(t>0),则f(t)=ln t·lg 7(t>0),所以f(x)=ln x·lg 7(x>0).
则f(2)+f(5)=ln 2·lg 7+ln 5·lg 7=lg 7·(ln 2+ln 5)=lg 7·ln 10=ln 7.
5.答案　
解析　a=log323·log32·,
所以a+b+c=-.
6.解析　(1)因为logx8=6,所以x6=8,
所以x=.
(2)因为log3(x2-10)=1+log3x,
所以log3(x2-10)=log3(3x),
所以解得x=5.
7.A　∵3x=5y=a,∴xlg 3=ylg 5=lg a,∴,则2=,
∴lg a2=lg 15,∵a>0,∴a=,故选A.
8.C　根据题意得55-25=·(85-25),解得h=10,
∴45-25=·(85-25),即,则t=10×≈16.故选C.
9.答案　3
解析　原式=log23×=log28=3.
方法技巧　对数式恒等变形的常用策略:一看底数,底数不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑对数恒等式及特殊值.
10.答案　52
解析　因为log23×log34×…×log(n+1)(n+2)=×…×=log2(n+2),
且log24=2,log28=3,log216=4,log232=5,log264=6,……,
所以当n+2=4,8,16,32,即n=2,6,14,30时,log2(n+2)为整数,
所以在区间(1,50)内所有“贺数”的和是2+6+14+30=52.
11.答案　
解析　因为2a=32=25,所以a=5,
所以loga2·log4x=log52·lolog52·log2x
=×5,
即log5x=4,所以x=54,
所以log5x+logx5=log554+lo.
12.B　由题意可得解得
所以v=·,
这种垃圾完全分解,即当v=1时,有1=·,即2t=2012,
则t=log22012=12log220=12log2(4×5)=24+12log25=24+12×≈52.
故选B.
13.A　对于A,由lg 8>lg 5,lg 2>0得log85==log1610,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,由题意得,故C错误;
对于D,由糖水不等式得,所以,故D错误.故选A.
14.BCD　由题意知a,b,c,d都大于零,
1112,因为1112>1211,所以>1,故a>b,A错误;
912,因为912>1011,所以>1,故c>b,B正确;
因为b-d=>0,所以b>d,又a>b,故a>d, C正确;
910,因为910>109,所以>1,故c>d, D正确.
故选BCD.
15.答案　
解析　由已知得f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=f(log224)=.
16.答案　12
解析　因为2+log2x=1+log3y=log6(2x+y),
所以log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y),
设log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y)=k,
则2k=4x x=2k-2,3k=3y y=3k-1,6k=2x+y,
所以=22×31=12.
17.解析　原方程可变形为2(lg x)2-4lg x+1=0,
∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,
∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
18.解析　设3x=4y=6z=t,t>1,
则x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.
(2)证明:∵·logt4=·2logt2=logt2,
∴.
19.解析　(1)lg=lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+lg =lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+×(1-0.301 0)=0.826 6.
(2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-12=-b,
故c=1,b=12,
则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27,
即这个方程正确的根为27和.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)