2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--§2 实际问题中的函数模型（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第五章　函数应用
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2024北京怀柔青苗学校期中)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是(　　)
A.75,25　　　　B.75,16　　　　C.60,25　　　　D.60,16
2.(2024山东潍坊月考)把物体放在冷空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1,空气的温度为θ0,那么t小时后物体的温度θ可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、B两个物体放在空气中冷却,已知两个物体的初始温度相同,冷却2小时后,A、B两个物体的温度分别为4θ0、7θ0,假设A、B两个物体的冷却系数分别为kA、kB,则(　　)
A.kA-kB=ln 2　　　B.kB-kA=ln 2
C.ln 2　　　D.ln 2
3.(多选题)(2023广东东莞期中)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192 h,在22 ℃时的保鲜时间是48 h,则下列说法正确的是(　　)
A.k>0
B.储存的温度越高,该食品的保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃时的保鲜时间是96 h
D.该食品在33 ℃时的保鲜时间是24 h
4.(2024福建厦门杏南中学期中)2023年8月29日,某品牌智能手机在该品牌商城正式上线.为了进一步增加市场竞争力,该品牌公司在2024年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本300万元,每生产x(千部)手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=由市场调研知此款手机每部的售价为0.7万元,且每年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润w(x)(万元)关于年产量x(千部)的表达式;
(2)2024年年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大 最大利润是多少
题组二　自建函数模型解决问题
5.某山区加强了对环境的保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
6.(2023甘肃兰州第六十三中学期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量达到20~80 mg(包含20 mg,但不包含80 mg)的驾驶员即为饮酒驾车,80 mg及以上则认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果停止喝酒后,他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过　　　　小时才能驾驶汽车(参考数据:lg 0.2≈-0.7,lg 0.3≈-0.5,lg 0.7≈-0.15,lg 0.8≈-0.1)(　　)
A.1　　　B.3　　　　
C.5　　　D.7
题组三　拟合函数模型解决问题
7.(2022陕西咸阳期中)在某种新型材料的研制过程中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=2x-2　　　B.y=(x2-1)
C.y=log2x　　　D.y=lox
8.某植物研究员在研究某种植物1到5年内的植株高度时,将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1到5年内的生长规律,则下列函数模型中符合要求的是(　　)
A.y=kax+b(k>0,a>0且a≠1)
B.y=klogax+b(k>0,a>0且a≠1)
C.y=+b(k>0)
D.y=ax2+bx+c(a>0)
9.(2024广西崇左钦州名校期末联考)某果园占地约200公顷,拟种植某种果树,在相同种植条件下,该种果树每公顷最多可种植600棵,种植成本y(单位:万元)与果树数量x(单位:百棵)的相关数据如下表所示:
x 0 4 9 16 36
y 3 7 9 11 15
为了描述种植成本y与果树数量x之间的关系,现有以下三种模型可供选择:①y=bx+c;②y=b+c;③y=blogax+c.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并写出相应的函数解析式;
(2)已知该果园的年利润z(单位:万元)与x,y的关系式为z=3y-0.1x-20,则果树数量x为多少时年利润最大 并求出年利润的最大值.
能力提升练
题组一　已知函数模型解决实际问题
1.(2022广西柳州一模)5G技术的数学原理之一是著名的香农公式:C=Wlog2,它表示在受高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W.S是信道内所传信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率,叫作信噪比.按照香农公式,在不改变W的情况下,将信噪比从1 999提升至λ,使得C增加了20%,则λ的值约为(参考数据:lg 2≈0.3,103.96≈9 120)(　　)
A.9 121　　　B.9 119　　　　
C.9 919　　　D.10 999
2.(2023陕西实验中学第四次模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正数).已知经过1 h,设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤掉60%的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2=0.301 0)(　　)
A.3 h　　　　B.4 h　　　　C.5 h　　　　D.6 h
3.(2023江西赣州中学月考)“双碳”战略之下,新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示,截至2022年一季度,我国新能源汽车已累计推广突破1 000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,每生产x千辆将获利10W(x)万元,且W(x)=该企业预计今年在新能源汽车方面的全年其他成本总投入为(20x+10)万元,由市场调研知,该种汽车销路畅通,供不应求.今年的全年新能源汽车的利润为f(x)(单位:万元).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当今年的产量为多少辆时,该企业新能源汽车的利润最大 最大利润是多少
题组二　自建函数模型解决实际问题
4.一直角墙角的平面图如图所示,两墙的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(05.(多选题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.当印制证书不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5 元
D.当印制证书超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=
6.(2023湖南名校联考)物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度为T0,经过一段时间t后的温度为T,则T-Tc=(T0-Tc)·at,其中Tc为环境温度,a为参数.某日室温为20 ℃,上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水(假设加热时水温随时间的变化为一次函数,且初始温度与室温一致),8分钟后水温达到100 ℃,8点18分时,壶中热水自然冷却到60 ℃.
(1)求8点起壶中水温T(单位:℃)关于时间t(单位:分钟)的函数T=f(t);
(2)若当日小王在1升水沸腾(水温达到100 ℃)时,恰好有事出门,于是将养生壶设定为保温状态,已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值50 ℃时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值50 ℃时,开始加热至80 ℃后停止,加热速度与正常烧水一致,问养生壶(在保温状态下)多长时间后开始第二次加热 (结果保留整数)
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
题组三　拟合函数模型解决实际问题
7.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期末)随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注家庭成员的关系,一个以“从‘心’定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台从建立起就得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前三年,平台会员的人数如下表所示:
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y/千 14 20 29
(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后的平台会员人数y(千),并求出你选择模型的解析式:
①y=+b(t>0),②y=dlogrx+s(r>0且r≠1),③y=max+n(a>0且a≠1);
(2)为控制平台会员人数,防止其盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·(k>0)(千),依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值.
8.(2023重庆育才中学月考)某品牌汽车企业是我国乃至全世界新能源汽车的排头兵,新能源汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对该车企某型号纯电动汽车进行测试,国道限速60 km/h.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的数据如下表所示:
x 0 10 40 60
Q 0 1 420 4 480 6 720
为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系,现有以下三种函数模型可供选择:①Q1(x)=x3-2x2+cx;②Q2(x)=1-;③Q3(x)=300logax+b(a>0,且a≠1).
(1)当0≤x≤60时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号纯电动汽车在国道上行驶50 km,高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数解析式;高速上的车速x(单位:km/h)满足x∈[80,120],且每小时耗电量N(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)满足N(x)=2x2-10x+200(80≤x≤120).当国道和高速上的车速分别为多少时,该车的总耗电量最少 最少总耗电量为多少
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
1.D　由题意可得f(A)==15,所以c=15,而f(4)==30,所以=30,解得A=16,故c=15=60.故选D.
2.A　由题意可得
即
两式相除可得=2,所以2(kA-kB)=ln 2,即kA-kB=ln 2.故选A.
3.CD　根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得所以e22k=,所以e11k=,
所以k<0,故储存的温度越高,该食品的保鲜时间越短.
该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(h),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(h).
故选CD.
4.解析　(1)当0当x≥50时,w(x)=700x-+9 150,
∴w(x)=
(2)当0∴w(x)max=w(30)=8 700;
当x≥50时,w(x)=-+9 150≤9 150-2=8 950,
当且仅当x=,即x=100时,等号成立.
∵8 950>8 700,
∴2024年年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是8 950万元.
5.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y==(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增大的速度越来越快.故选D.
6.C　由题意得100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,
则(1-30%)x<0.2,即0.7x<0.2,两边取对数得lg 0.7x≈4.67,
那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选C.
7.B　由题表中数据可知函数在(0,+∞)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
8.B　由题图可知,植株高度增长越来越缓慢,故选择对数函数模型,故选B.
9.解析　(1)因为模型③在x=0处无意义,所以不符合题意.
若选择①作为y与x的函数模型,将(0,3),(4,7)代入,得所以则y=x+3,
当x=9时,y=12,当x=16时,y=19,当x=36时,y=39,
与表格中的实际值相差较大,所以①不适合作为y与x的函数模型.
若选择②作为y与x的函数模型,将(0,3),(4,7)代入,得所以则y=2+3,
当x=9时,y=9,当x=16时,y=11,当x=36时,y=15,
与表格中的实际值相同,所以②更适合作为y与x的函数模型,且相应的函数解析式为y=2+3.
由题可知,该果园最多可种120 000棵该种果树,所以x∈[0,1 200]且100x∈N.
(2)z=3y-0.1x-20=6-11,x∈[0,1 200]且100x∈N.
令=t,则z=-0.1t2+6t-11=-0.1(t-30)2+79,
当t=30,即x=900时,z取得最大值79.
故当种植果树900棵时年利润最大,为79万元.
能力提升练
1.B　由题意得=20%,
∴=1.2,∴log2(1+λ)=1.2log22 000,
∴1+λ=2 0001.2,∴λ=2 0001.2-1,
又∵lg2 0001.2=1.2lg 2 000=1.2(lg 2+3)≈1.2×(0.3+3)=3.96,
∴2 0001.2=103.96≈9 120,∴λ=2 0001.2-1=9 119.
2.B　由题意可知(1-20%)M0=M0e-k,所以e-k=0.8,
设过滤掉60%的污染物需要的时间为t1 h,
则(1-60%)M0=M0,
所以0.4=,
所以t1=log0.80.4=
=≈4,
故选B.
3.解析　(1)当0则f(x)=10W(x)-(20x+10)
=20(x2+17)-(20x+10)
=20x2-20x+330,
当2则f(x)=10W(x)-(20x+10)
=10×-(20x+10)
=490-20x-,
故f(x)=
(2)当0当且仅当20(x-1)=,即x=3时取等号.
故当今年的产量为3 000辆时,该企业新能源汽车的利润最大,最大利润为390万元.
4.C　设BC=x m,则花圃的面积y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a5.ABC　由题图知甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1,故A,B正确;
当印制证书不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元,故C正确;
易知当x>2时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=,故D不正确.
故选ABC.
6.解析　(1)当0≤t≤8时,设T=kt+20,
代入t=8,T=100,解得k=10,则T=10t+20,
将T=60,Tc=20,T0=100,t=10代入T-Tc=(T0-Tc)·at,得a=,
所以T=f(t)=
(2)从100 ℃降温至50 ℃,由题意有50-20=(100-20)·,
得t=10lo≈14,
故经过14分钟后养生壶(在保温状态下)开始第一次加热;
从50 ℃加热至80 ℃需要=3(分钟),
从80 ℃降温至50 ℃,则50-20=(80-20)×,得t=10,则共需要14+3+10=27(分钟),
故27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热.
7.解析　(1)从题表中数据可知y是关于x的增函数,故不可能是①,
∵函数增长的速度越来越快,∴选择③y=max+n(a>0且a≠1),
将(1,14),(2,20),(3,29)代入,可得解得∴y=8·+2,x∈N*.
(2)由(1)知y=8·+2,x∈N*,
则8·+2≤k·对x∈N*恒成立,
∴k≥=2·+8·对x∈N*恒成立.
令t=,则t∈,
令g(t)=2t2+8t,t∈ ,
∵g(t)在上单调递增,∴g(t)≤g,
∴k≥.
8.解析　(1)对于Q3(x)=300logax+b(a>0,且a≠1),当x=0时,它无意义,故不符合题意.
对于Q2(x)=1-,
当x=10时,Q2(10)=1-,
又0<=1,
所以Q2(10)=1-<1,故不符合题意.
故选Q1(x)=x3-2x2+cx,
由题表中的数据可得,×103-2×102+c×10=1 420,解得c=160,
∴Q(x)=x3-2x2+160x(x≥0).
经检验,(40,4 480),(60,6 720)均符合上式.
(2)设该车在高速上的耗电量为f(x)Wh,
则f(x)=·N(x)=·(2x2-10x+200)=600-3 000,x∈[80,120],
由对勾函数的性质可知,f(x)在[80,120]上单调递增,
∴当x∈[80,120]时,f(x)min=f(80)=600×-3 000=45 750.
设该车在国道上的耗电量为g(x)Wh,
则g(x)=·Q(x)=·=x2-100x+8 000=(x-50)2+5 500,x∈[0,60],
∴当x=50时,g(x)min=g(50)=5 500.
∴当该车在高速上的行驶速度为80 km/h,在国道上的行驶速度为50 km/h时,该车的总耗电量最少,最少为45 750+5 500=51 250(Wh).
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