2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--§4　一元二次函数与一元二次不等式（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
题组一　一元二次函数的图象与性质
1.(2022湖南天壹名校联盟联考)函数y=ax+b的图象如图所示,则函数y=x2+ax+b的图象可能为(　　)
　　　　　　　　　
　　　　　
2.若一元二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上的函数值y随自变量x的增大而减小,则(　　)
A.a<-2　　　　B.a≤-2　　　　C.a>-2　　　　D.a≥-2
3.(多选题)(2023山西太原期中)已知一元二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … -1 0 1 …
y … 3 0 -1 …
则下列结论正确的是(　　)
A.该函数图象开口向下
B.方程ax2+bx+c=0的实数根为x1=0,x2=2
C.该函数图象的对称轴为直线x=1
D.该函数有最小值-1
4.(2023安徽卓越县中联盟期中)已知函数y=x2+2x在区间[t,1]上的最大值为3,则实数t的取值范围为　　　　.
5.函数y=2(x-1)2+1的图象通过怎样的变换可以得到函数y=x2的图象
题组二　一元二次不等式及其解法
6.(2024吉林省实验中学期中)已知A={x∈N+|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B=(　　)
A.{1,2,3}　　　B.{1,2}
C.{x|07.不等式组的解集是(　　)
A.(2,3)　　　B.∪(2,3)
C.∪(3,+∞)　　　D.(-∞,1)∪(2,+∞)
8.(2024天津第五十四中学月考)已知集合M=,N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N=(　　)
A. 　　　B.{x|x>1}
C.{x|x>1或x≤0}　　　D.{x|0≤x≤1}
9.(2024黑龙江哈尔滨第一中学第一次质检)解下列关于x的不等式(组):
(1)2x2-5x+2≤0;(2)≥1;(3)3<|5x-2|<8.
题组三　三个“二次”之间的关系
10.(2023湖北襄阳四中月考)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.{x|x<-1或x>2}　　　B.{x|x<1或x>2}
C.　　　D.
11.(2024湖南株洲第二中学月考)不等式cx2+ax+b>0的解集为x-1A　　　　B　　　　C　　　　D
12.(2024浙江宁波月考)一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是,则不等式bx2+2x-a<0的解集为　　　　.
13.(2024江西南昌新民外语学校月考)已知函数y=x2+x-a2-a.
(1)解关于x的不等式x2+x-a2-a>0;
(2)方程y=0的一个根比-1小,另一个根比1大,求a的取值范围.
题组四　一元二次不等式的恒(能)成立问题
14.(2023江苏镇江第一中学月考)关于x的不等式x2-4x-6-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤-2}　　　B.{a|a≥-2}
C.{a|a≥-6}　　　D.{a|a≤-6}
15.(多选题)(2023吉林省实验中学期中) x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.0-1　　　　C.016.(2024浙江温州苍南中学月考)若不等式2kx2+2kx-3<0对一切实数x都成立,则k的取值范围是(　　)
A.(0,6)　　　　B.(-6,0)　　　　C.(-6,0]　　　　D.[0,6)
题组五　一元二次不等式的实际应用
17.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值为　　　　.
18.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.
(1)仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是多少
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长
能力提升练
题组一　一元二次不等式及其解法
1.不等式x2-x-2≥0和x2-(2a+1)x+a2+a>0的解集分别为A和B,且A B,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.[0,1]　　　　 C.[-1,1]　　　　　D.(-1,1)
2.(2024湖南长沙一中第一次段考)若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|-2≤m<-1}　　　
B.{m|-2C.{m|-2≤m<-1或3D.{m|-23.(多选题)(2023河北石家庄第一中学月考)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是(　　)
A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.当a<0时,不等式的解集为
C.当a<0时,不等式的解集为
D.当a=-时,不等式的解集为
题组二　三个“二次”的综合应用
4.(多选题)(2023黑龙江大庆铁人中学月考)已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3},下列说法正确的是(　　)
A.a+5b+c=0
B.c<0
C.bx2-ax+c>0的解集是(-2,3)
D.对于任意的x∈R,cx2+ax-b<0恒成立
5.(2024江苏泗阳实验高级中学第一次调研测试)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0　　　B.-3C.|x1-x2|>4　　　D.x1x2+3<0
6.(2024辽宁部分高中月考)已知抛物线y=mx2+(3-5m)x-n经过点(0,-15).
(1)若关于x的不等式mx2+(3-5m)x-n<0的解集为x-,求m,n的值;
(2)若m<0,求关于x的不等式mx2+(3-5m)x-n>0的解集.
题组三　一元二次不等式恒(能)成立问题
7.(2024四川绵阳期中)若不等式(ax+2)(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的可能取值为(　　)
A.-4　　　　B.-5　　　　C.-6　　　　D.-7
8.(2023江苏南京金陵中学月考)关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为(　　)
A.a≥　　　B.a≤
C.-≤a≤　　　D.a≤-,或a≥
9.已知a>0时,对任意x>0,(x-a)(x2+bx-a)≥0恒成立,则的取值范围是　　　　　.
10.(2024安徽合肥十中质量评价)已知函数y=-,若y+2x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a的取值范围为　　　　.
题组四　一元二次不等式的实际应用
11.(2022福建厦门一中月考)为配制一种药液,进行了三次稀释,先在容积为V(V>10)升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,搅拌均匀,第三次倒出10升后用水补满,搅拌均匀.若第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围是　　　　.
12.经观测,某段公路在某时间段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间满足函数关系y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量y最大 最大车流量为多少 (精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,汽车的平均速度v(千米/时)应控制在什么范围内
13.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 200元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时(租金增加为50元的整数倍),未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车
(2)设租金为(3 200+50x)元/辆(x∈N),用x表示租赁公司的月收益y(单位:元);
(3)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
1.A　由题图可知a<0,b<0,所以->0,所以函数y=x2+ax+b的图象的对称轴在y轴右侧,令x=0,得y=b<0,所以函数y=x2+ax+b的图象与y轴交于负半轴.故选A.
2.B　由题意得-≥1,解得a≤-2.
3.BCD　根据题表得解得
所以y=x2-2x,所以其图象开口向上,故A错误;
令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或x=2,故B正确;
该函数图象的对称轴为直线x=-=1,故C正确;
y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,故该函数的最小值为-1,故D正确.故选BCD.
4.答案　[-3,1)
解析　因为y=x2+2x=(x+1)2-1,所以函数在(-∞,-1]上y随x的增大而减小,在(-1,+∞)上y随x的增大而增大,令x2+2x=3,得x=1或x=-3,所以-3≤t<1,故答案为[-3,1).
5.解析　将函数y=2(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,得到函数y=2x2+1的图象,再向下平移1个单位长度,得到函数y=2x2的图象,最后将图象上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,得到函数y=x2的图象.
6.A　由题意得A={x∈N+|x≤3}={1,2,3},B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},
∴A∩B={1,2,3},故选A.
7.B　∵x2-4x+3<0,∴(x-1)(x-3)<0,∴1∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<或x>2.
∴原不等式组的解集为∪(2,3).
8.B　M=={x|x>1或x≤0},
N={y|y=3x2+1,x∈R}={y|y≥1},
所以M∩N={x|x>1},故选B.
9.解析　(1)原不等式整理得(2x-1)(x-2)≤0,解得≤x≤2,所以不等式的解集为.
(2)因为≥1,所以≤0,即解得3≤x<5,
所以不等式的解集为{x|3≤x<5}.
(3)因为3<|5x-2|<8,所以3<5x-2<8或-8<5x-2<-3,解得1所以不等式组的解集为x110.A　对于不等式mx2-ax-1>0(m>0),(-a)2+4m>0,故不等式一定有解,
设mx2-ax-1=0的两个实根分别为x1,x2,且x1故不等式解集的形式为{x|xx2}.
根据上述讨论,只有A满足.
11.A　因为不等式cx2+ax+b>0的解集为x-1所以c<0,方程cx2+ax+b=0的两根分别为,-1,
由根与系数的关系得解得
所以函数y=ax2-bx-c=(x+2)(x-1)的图象开口向下,且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),结合选项知A符合,故选A.
12.答案　{x|x<-2或x>3}
解析　由一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是,可得a<0,且一元二次方程ax2+bx+2=0的两个根为-和,
所以解得
所以不等式bx2+2x-a<0即为-2x2+2x+12<0,即-2(x+2)(x-3)<0,解得x<-2或x>3,
所以不等式bx2+2x-a<0的解集为{x|x<-2或x>3}.
13.解析　(1)由x2+x-a2-a>0得(x-a)(x+a+1)>0,
当a>-a-1,即a>-时,不等式的解集为(-∞,-a-1)∪(a,+∞);
当a<-a-1,即a<-时,不等式的解集为(-∞,a)∪(-a-1,+∞);
当a=-a-1,即a=-时,不等式的解集为∪.
综上所述,当a>-时,不等式的解集为(-∞,-a-1)∪(a,+∞);当a<-时,不等式的解集为(-∞,a)∪(-a-1,+∞);当a=-时,不等式的解集为∪.
(2)函数y=x2+x-a2-a的图象开口向上,
∵方程y=0的一个根比-1小,另一个根比1大,∴当x=-1时,y<0,当x=1时,y<0,
则解得a>1或a<-2.
故a的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).
14.D　不等式x2-4x-6-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于在{x|1≤x≤4}内,a≤(x2-4x-6)max.而y=x2-4x-6=(x-2)2-10,当1≤x≤4时,-10≤y≤-6,所以a≤-6.故选D.
15.BD　∵ x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M N,对比选项可知,选项B,D均符合题意.故选BD.
16.C　当k=0时,不等式为-3<0,对一切实数x都成立,满足题意;
当k≠0时,要使不等式2kx2+2kx-3<0对一切实数x都成立,
需满足解得-6综上可知,k的取值范围是(-6,0].故选C.
17.答案　20
解析　由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
18.解析　(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部面积S=xy平方米.由题意,知40x+2×45y+20xy≤3 200,由基本不等式,得3 200≥2 +20S(当且仅当40x=90y时取“=”),
所以S+6-160≤0,即(+16)≤0,
解得-16≤≤10.
由题意知>0,故0<≤10,从而0故仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是40x=90y,且xy=100,解得x=15,即铁栅应设计为15米长.
能力提升练
1.D　由已知得A={x|x≤-1,或x≥2},B={x|xa+1}.若A B,则故-12.C　不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,
当m=1时,不等式为(x+1)2<0,不等式的解集为 ,不符合题意;
当m>1时,-m<-1,解不等式得-m当m<1时,-m>-1,解不等式得-1因为不等式的解集中恰有两个整数,
所以-4≤-m<-3或1<-m≤2,即3所以m的取值范围是{m|-2≤m<-1或3故选C.
3.AD　对于A,当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确;
对于B,C,D,由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两个实根分别为x1=-,x2=4,
当即a<-时,原不等式的解集为,
当即-当-=4,即a=-时,(ax+2)(x-4)>0的解集为 ,故B,C不正确,D正确,故选AD.
4.AC　因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3},
所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3,
则=-6,即b=a,c=-6a,
所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故A正确;
c=-6a>0,故B错误;
由bx2-ax+c>0,得ax2-ax-6a>0,即x2-x-6<0,解得-20的解集是(-2,3),故C正确;
由cx2+ax-b<0,得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1<0,不等式无解,故D错误.故选AC.
5.ACD　由题意得,a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1∴a<0,且x1,x2是ax2+2ax-3a+2=0的两个根,则
∴x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,故A,D正确;
原不等式可化为a(x-1)(x+3)>-2,其解集为{x|x1由图知x1<-3<14,故B错误,C正确.
故选ACD.
易错分析　运用“三个二次”之间的关系解决一元二次不等式问题的关键是由一元二次不等式的解集得到对应二次函数的图象和对应方程的两根,再利用根与系数的关系建立参数间的关系,解题时要注意二次项系数的符号、二次函数图象的对称轴等特征.
6.解析　(1)由题意得n=15,
因为不等式mx2+(3-5m)x-n<0的解集为x-,所以m>0,且关于x的一元二次方程mx2+(3-5m)x-n=0的两个根分别为-,
由根与系数的关系可得
解得m=3或m=-3(舍去),即m=3,n=15.
(2)不等式mx2+(3-5m)x-15>0可化为(mx+3)(x-5)>0.
令-=5,得m=-.
当m=-时,不等式为(x-5)2<0,无解;
当m<-时,-<5,解不等式(mx+3)(x-5)>0得-当-5,解不等式(mx+3)(x-5)>0得5综上,当m<-时,原不等式的解集为x-7.B　当b≥0时,x2+b≥0恒成立,故ax+2≤0在x∈[0,+∞)上恒成立,此时a不存在;
当b<0时,画出函数y=ax+2和y=x2+b的图象,如图所示,
要使不等式(ax+2)(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立,
需满足
因为a,b是整数,所以或
所以a+b=-5或a+b=-3.故选B.
8.A　关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,
即对于任意t∈{t|t≥0},at2-t+2a≥0恒成立,因此a≥对任意t∈{t|t≥0}恒成立,
当t=0时,a≥0;当t>0时,易知≤,当且仅当t=时取“=”,即,所以a≥.
综上,a≥.故选A.
9.答案　(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析　因为对任意x>0,(x-a)(x2+bx-a)≥0恒成立,所以x=a为方程x2+bx-a=0的根,即a2+ba-a=0,又a>0,所以a+b-1=0,所以b=1-a,
所以.
因为a>0,所以1-a<1,所以<0或>1,
所以<-1或>0.
10.答案　(-∞,0)∪
解析　由题意得,-+2x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即+2x≥在x∈(0,+∞)上恒成立,
∵+2x≥2=4,当且仅当=2x,即x=1时,等号成立,
∴4≥恒成立,解得a<0或a≥,
故a的取值范围为(-∞,0)∪.
11.答案　10解析　第2次倒出药液后桶中剩余纯药液升,依题意(V-10)-×8≤V×60%,即V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,
又V>10,∴1012.解析　(1)y=≤≈11.08,
当且仅当v=,即v=40时,车流量最大,最大车流量为11.08千辆/时.
(2)根据题意有≥10,
化简得v2-89v+1 600≤0,
即(v-25)(v-64)≤0,解得25≤v≤64.
所以汽车的平均速度v(千米/时)应控制在25≤v≤64这个范围内.
13.解析　(1)由题意得=8,100-8=92,即能租出92辆车.
(2)y=(3 200+50x)(100-x)-150(100-x)-50x
=-50x2+1 900x+305 000(x∈N).
(3)由(2)知y=-50(x-19)2+323 050,
当x=19时,y=323 050,3 200+50×19=4 150,
∴当每辆车的月租金定为4 150元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是323 050元.
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