2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--1.1　利用函数性质判定方程解的存在性（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
题组一　求函数的零点
1.(2022四川成都实验外国语学校月考)一元二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
A.,-1　　　B.-,1
C.,(1,0)　　　D.,(-1,0)
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
A.,0　　　B.-2,0　　　　
C.　　　D.0
3.(2023河北石家庄二中月考)已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为　　　　.
4.(2023安徽合肥第六中学阶段测评)函数f(x)=ln x+ln(3-x)的所有零点之和是　　　　.
题组二　函数零点(方程的解)个数的判断
5.若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个　　　B.两个　　　　
C.至少两个　　　D.无法判断
6.(2024广东深圳期末)函数f(x)=的零点个数是　　　　.
7.(2024福建泉州期末)函数f(x)=(k>0)的零点个数为　　　　.
8.(1)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数;
(2)(2023山东临沂兰陵第四中学摸底测试)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-.
求证:函数f(x)有两个不同的零点.
题组三　确定函数零点(方程的解)所在的区间
9.(2024陕西西安交通大学附属中学期末)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,e)　　　　D.(3,4)
10.(2024安徽六安第二中学期末)已知f(x)是y=3x的反函数,g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
11.(多选题)(2023河南洛阳孟津一高月考)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(　　)
A.在区间内有零点
B.在区间内无零点
C.在区间(1,e)内有零点
D.在区间(1,e)内无零点
12.(2024河南新乡期末)已知函数f(x)=ln x+x的零点在[0.5,1]内,且零点附近的函数值如下表:
x 0.5 1 0.75 0.625 0.562 5
f(x) -0.193 1 0.462 0.155 -0.013
则零点所在的区间为(　　)
A.(0.5,0.562 5)　　　B.(0.625,0.75)
C.(0.562 5,0.625)　　　D.(0.75,1)
13.(2023河北保定部分学校联考)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a题组四　根据函数零点(方程的解)的情况求参
14.(2024广西柳州期末)已知函数f(x)=x2+mx+n的零点为-1和3,则m+n=(　　)
A.-5　　　B.-4　　　　
C.4　　　D.5
15. (2024安徽蚌埠期末)若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点,则实数a的值为(　　)
A.4　　　B.3　　　　
C.2　　　D.1
16.(2023福建福州永泰城关中学期中)已知函数f(x)=写出一个使得关于x的方程f(x)=a有两个不等实根的a的值:　　　　.
17.已知函数f(x)=x2-ax+2,在下列条件下,求实数a的取值范围.
(1)零点小于2;
(2)一个零点大于2,一个零点小于2;
(3)在(2,4)内恰有一个零点.
18.已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1能力提升练
题组一　函数的零点与方程的解
1.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-1的零点个数为(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
2.(2023上海行知中学月考)已知函数f(x)=-log2x,0A.db　　　　C.d>c　　　　D.d3.(2024山东德州期末)已知函数f(x)=函数y=k与y=f(x)的图象有四个交点,横坐标依次为x1,x2,x3,x4且x1A.(0,20)　　　　B.(2,20)　　　　C.(3,20)　　　　D.(6,20)
4.(多选题)(2023广东广州第九十七中学阶段训练)已知函数f(x)=令h(x)=f(x)-k,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞)
B.当k∈(-∞,-4)时,h(x)有1个零点
C.当k∈(-4,-3]时,h(x)有3个零点
D.当k=-2时,h(x)的所有零点之和为-1
5.(多选题)(2023湖南长沙期中)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①②所示,给出下列四个命题,其中正确的是(　　)
图①　图②
A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解
B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解
C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解
D.方程g(g(x))=0有且仅有一个解
6.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意x∈[0,1], f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=f(x)-2x-上有没有零点 若有,求出零点;若没有,请说明理由.
题组二　根据函数零点(方程的解)的情况求参
7.(多选题)(2023广东东莞翰林实验学校期中)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有实根,则实数k的取值可以是(　　)
A.　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.-2
8.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是(　　)
A.　　　B.(-∞,-2)∪
C.　　　D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间上恰有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　B.[3,+∞)
C.[2,3]　　　D.[2,3)
10.(2024云南昆明第十六中学月考)若函数f(x)=|loga(x-2)|-t+1(a>0,a≠1,t∈R)有两个零点m,n(m>n),则下列说法中正确的是　(　　)
A.t∈[1,+∞)　　　
B.n>3
C.(m-2)(n-2)=2　　　
D.mn-2(m+n)=-3
11.(2024广西柳州高级中学期末)设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”,区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,则m的取值范围是　　　　.
12.(2024河北衡水故城郑口中学期末)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数,若函数h(x)=f(x)-x-b无零点,则实数b的取值范围为　　　　.
13.(2024湖北武汉部分重点学校期末)已知函数f(x)=lo(ax2-x+2a-3),g(x)=xn+x-n.
(1)直接写出x>0时,g(x)的最小值;
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上是否存在零点 给出结论并证明;
(3)若g(2)=,f(g(x))存在两个零点,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
1.A　令2x2+x-1=0,即(2x-1)(x+1)=0,解得x=或x=-1.故选A.
2.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,舍去.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
3.答案　
解析　因为函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,所以f(x)=ln x,
又因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x,
由-ln x=1可得x=.
4.答案　3
解析　由解得0令f(x)=ln x+ln(3-x)=ln(3x-x2)=0,
则3x-x2=1,解得x1=,
∵0∴所有零点之和是x1+x2=3.
5.B　f(x)在(0,+∞)上单调递减, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.因此函数f(x)有两个零点.
6.答案　2
解析　由解得x=-2;
当x>0时,f(x)=ln x+x-2单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
综上所述,f(x)的零点个数是2.
7.答案　1
解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)=(k>0)在(0,+∞)上单调递减,
当k=1时,f(1)=1-1=0,函数f(x)有1个零点;
当00,
f(1)f(k)<0,函数f(x)在(k,1)上有唯一零点;
当k>1时,f(1)=k-1>0,f(k)=1-<0,
f(1)f(k)<0,函数f(x)在(1,k)上有唯一零点.
综上可得,函数f(x)=(k>0)的零点个数为1.
8.解析　(1)解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,作出两个函数的图象(如图).
两函数的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个实数根,即函数f(x)=ln x+x2-3有且只有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴函数f(x)的零点有且只有一个.
(2)证明:∵f(1)=a+b+c=--b,
∴f(x)=ax2+bx--b.
对于方程f(x)=0,Δ=b2-4a=b2+6a2+4ab=(2a+b)2+2a2≥0,
又a>0,∴函数f(x)有两个不同的零点.
9.B　易得f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)·f(2)<0,
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选B.
10.B　由题意知f(x)=log3x,则g(x)=log3x+2x-6,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(2)=log32+22-6=log32-2<0,g(3)=log33+23-6=3>0,所以a∈(2,3),即n=2.故选B.
11.BC　令f(x)=x-ln x=0,得x=ln x.
作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,
由图可知函数y=x和y=ln x的图象在上无交点,在(1,e)上有一个交点,所以f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点,故选BC.
12.C　因为函数y=ln x和y=x在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增.
将题表中数据按照x从小到大排列如下:
x 0.5 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -0.193 -0.013 0.155 0.462 1
由表格可得f(0.562 5)=-0.013<0,f(0.625)=0.155>0.
由函数零点存在定理可得,零点所在的区间为(0.562 5,0.625).
故选C.
13.答案　
解析　由题意得a≠0,f(1)=a+b+c=0,
又a0,<1.
因为a+b+c>a+b+b=a+2b,所以a+2b<0,
所以,所以-<1.
由题意得x0,1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根,
所以-114.A　由题意知-1和3是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,
所以f(x)=x2+mx+n=[x-(-1)](x-3)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3,故m+n=-2+(-3)=-5.
故选A.
15.D　f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2=2x-1+21-x+(x-a)2-2,
令f(x)=0,则2x-1+21-x-2=-(x-a)2,
令g(x)=2x-1+21-x-2,∵2x-1>0,21-x>0,
∴g(x)=2x-1+21-x-2≥2-2=0,当且仅当x-1=1-x,即x=1时等号成立,
令h(x)=-(x-a)2,其图象开口向下,易知h(x)≤0,当且仅当x=a时等号成立,
∴当且仅当a=1时,g(x)=h(x),故选D.
16.答案　9(答案不唯一,符合a>8即可)
解析　作出函数f(x)的图象与直线y=a,如图所示:
当f(x)=a有两个不等实根时,f(x)的图象与直线y=a有两个交点,由图可知a>8.
17.解析　(1)根据题意得
解得a≤-2或2≤a<3,
即实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,3).
(2)根据题意得f(2)=6-2a<0,解得a>3,
即实数a的取值范围为(3,+∞).
(3)根据题意得f(2)f(4)=(6-2a)(18-4a)<0或解得3综上所述,实数a的取值范围为.
18.解析　(1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当x∈[-2,2]时, f(x)=4+4x,
令4+4x=0,解得x=-1;
当 x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,
令2x2+4x-4=0,解得x=-1±,
∴x=-1-.
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.
(3)当|x|≤2时, f(x)=ax+4,令ax+4=0,可知方程在(0,2]上最多有一个实数根;
当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,令2x2+ax-4=0,
若x1,x2均为该方程在(2,4)上的实数根,
则x1x2=-2,不符合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;
由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7综上所述,实数a的取值范围为-7能力提升练
1.C　令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-,x2=1.当x∈[3,+∞)时,=1,解得x3=5.综上, f(x)=1的解为x1=-,x2=1,x3=5.作出f(x)的图象如图所示.
由图象可得方程f(x)=-无解,方程f(x)=1有3个解,方程f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f(f(x))-1的零点个数为4,故选C.
2.C　因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=-log2x在(0,+∞)上单调递减,
因为0f(b)>f(c),
又因为f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,
所以若f(a),f(b),f(c)都为负值,则a,b,c都大于d,
若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则a,b都小于d,c大于d.
综上可得,d>c不可能成立.
故选C.
3.D　画出f(x)的图象如图所示,
由图可得-x1=x2,x3+x4=6,
令x2-6x+8=0,得x=2或x=4,故x3∈(1,2),lg(-x1)=lg x2,
故lg(-x1)-lg x2+,
∈(2,4),
所以lg(-x1)-lg x2+∈(6,20).故选D.
方法技巧　函数零点问题或方程解的问题通常转化为两函数图象的交点问题,将代数问题几何化,借助图象分析,大大降低了思维难度,注意要熟悉常见的函数图象,如指数函数、对数函数、幂函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移、伸缩、对称和翻折等,涉及零点之和问题,通常考虑图象的对称性.
4.BC　作出函数y=f(x)的图象如图所示,
函数f(x)在(-1,+∞)上不单调,故A错误;
当k∈(-∞,-4)时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有一个交点,即方程f(x)=k有一个解,所以当k∈(-∞,-4)时,h(x)=f(x)-k有1个零点,故B正确;
当k∈(-4,-3]时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有3个交点,即方程f(x)=k有3个解,所以当k∈(-4,-3]时,h(x)=f(x)-k有3个零点,故C正确;
当k=-2时,方程f(x)=-2等价于x2+2x-3=-2(x≤0)或-2+ln x=-2(x>0),所以x=-1-或x=1,所以h(x)的所有零点之和为-1-,故D错误.
故选BC.
5.AD　设f(x)的零点为x1,x2,x3,且x1则x1,x2∈(-a,0),x3=a,
设g(x)的零点为x4,则x4∈(0,a).
对于A, f(g(x))=0,即g(x)=x1,x2或x3,由题图②知,g(x)∈[-a,a],且g(x)单调递减,∴g(x)=x1,x2或x3分别有一解,∴方程f(g(x))=0有且仅有三个解,A正确;
对于B,g(f(x))=0,即f(x)=x4,由题图①知,有且仅有两个解,B不正确;
对于C,方程f(f(x))=0,即f(x)=x1,x2或x3,结合题图①易知f(x)=x1与f(x)=x2分别有三个解, f(x)=x3有一个解,所以共有七个解,C不正确;
对于D,g(g(x))=0,即g(x)=x4,结合题图②知有且仅有一个解,D正确.
故选AD.
6.解析　(1)在条件③中,令x1=x2=0,
得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
由条件①知f(0)≥0,所以f(0)=0.
(2)没有.理由如下:
任取x1,x2∈[0,1],且x1则x2-x1∈(0,1],则f(x2-x1)≥0,
所以f(x2)=f((x2-x1)+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),
所以f(x)在[0,1]上为增函数,
所以f(x)的最大值是f(1)=1.
取x∈,则2x≥2×=1,
所以对一切实数x∈,都有f(x)≤2x,
所以对一切实数x∈,都有f(x)<2x+,
即对一切实数x∈,都有f(x)-2x-<0,
所以函数g(x)=f(x)-2x-在上没有零点.
7.ACD　方程f(x)=g(x)有实根,即函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有交点,
作出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示:
由函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有交点,
可得k≥或k<-1,故选ACD.
8.C　令t=f(x),则原方程可化为t2-bt+1=0.
作出函数f(x)的图象,如图.
因为方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,所以方程t2-bt+1=0的两个实数根t1,t2∈(0,6],且t1≠t2,令g(t)=t2-bt+1,
所以解得29.D　令f(x)=0,则(2ax-1)2=loga(ax+2),易知函数y=(2ax-1)2与y=loga(ax+2)的图象最多有2个交点,所以函数f(x)最多有2个零点,
则函数f(x)在区间上有零点的充分条件为f(0)f ≤0,即(1-loga2)·(1-loga3)≤0,
则或
解得2≤a≤3.
当a=3时,f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),
显然函数f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且f =1-1=0, f(0)=1-log32>0,
f -log37<0,所以函数f(x)在上有两个零点,不符合题意.
经检验,当a=2时,符合题意.
故实数a的取值范围为[2,3).故选D.
10.D　对于A,令f(x)=|loga(x-2)|-t+1=0,
则|loga(x-2)|=t-1,
由f(x)有两个零点知|loga(x-2)|=t-1有两个根,
即函数y=|loga(x-2)|,y=t-1的图象有2个交点,作出两函数的图象如图所示,
要使两函数的图象有2个交点,需满足t-1>0,即t∈(1,+∞),A错误;
对于B,由A中分析可知函数y=|loga(x-2)|,y=t-1的图象有2个交点,交点的横坐标即为m,n,由于m>n,结合图象可知m>3,2对于C,D,由题意可知|loga(m-2)|=t-1,|loga(n-2)|=t-1,故|loga(m-2)|=|loga(n-2)|,而m>3,2故选D.
11.答案　
解析　因为f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,
所以y=f(x)-g(x)=x2-2x+m-(-x2-x-m)=2x2-x+2m在x∈[0,3]上有两个不同的零点,
即2x2-x+2m=0在x∈[0,3]上有两个不同的根,
设h(x)=2x2-x+2m,其图象的对称轴为直线x=,
则解得0≤m<.
故m的取值范围是.
12.答案　(-∞,0]
解析　因为f(x)是偶函数,
所以 x∈R,有f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9=-x,
所以(2k+1)x=0,所以k=-.
函数h(x)=f(x)-x-b无零点,即log9(9x+1)-x+b无实数解,即log9(9x+1)-x=b无实数解,
令g(x)=log9(9x+1)-x,则g(x)的图象与直线y=b无交点,
g(x)=log9,
因为y=在R上单调递减,所以g(x)=log9在R上单调递减,
当x趋向于正无穷大时,趋近于0,故1+趋近于1,
当x趋向于负无穷大时,1+趋近于正无穷大,
故g(x)∈(0,+∞),
故要使得g(x)的图象与直线y=b无交点,需满足b≤0,即实数b的取值范围为(-∞,0].
13.解析　(1)因为x>0,所以xn>0,x-n>0,所以g(x)=xn+x-n=xn+≥2=2,
当且仅当xn=,即x=1时等号成立,
所以当x>0时,g(x)的最小值为2.
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上存在零点,证明如下:
当a=2时,f(x)=-log3(2x2-x+1),
令t=2x2-x+1=2,则t>0,
函数t=2x2-x+1在上单调递增,又函数y=log3t在(0,+∞)上单调递增,
所以F(x)=-log3(2x2-x+1)+log43在上单调递减,
因为F(1)=-log32+log43,
<1,
所以F(1)=-log32+log43>0,
又F=-log34+log43,log34>1,log43<1,
所以F=-log34+log43<0,
所以F(1)F<0,
所以F(x)在x∈上存在零点.
(3)由g(2)=2n+,解得n=±1,则g(x)=x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
令t=g(x),则f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或f(t)有-2和2两个零点,令G(x)=ax2-x+2a-4,则G(x)在x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或G(x)有-2和2两个零点.
①两个零点为-2和2时,代入解得a∈ ,
②有一个零点时,
(i)若a=0,则G(x)=-x-4,令G(x)=0,得x=-4,满足条件.
(ii)若a≠0,则
a.解得a=;
b.G(2)·G(-2)=(6a-6)(6a-2)<0,解得综上所述,a的取值范围是∪.
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