2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--1.1　随机现象　1.2　样本空间　1.3　随机事件（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
1.1　随机现象　1.2　样本空间　1.3　随机事件
基础过关练
题组一　确定性现象与随机现象
1.一个不透明袋中装有6个白球,3个红球,这9个球除颜色外完全相同,现从中任取4个球,则下列现象为确定性现象的是( 　　)
A.4个都是白球　　　B.至少有一个红球
C.4个都是红球　　　D.至少有一个白球
2.(多选题)下列现象为随机现象的是(　　)
A.当x是实数时,x-|x|=2
B.某班一次数学测试,及格率低于75%
C.从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团上的数字是偶数
D.从一副扑克牌中任意抽出一张是红桃5
题组二　事件类型的判断
3.(2023陕西师范大学附属中学月考)下列说法中不正确的是(　　)
A.“在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾”是不可能事件
B.“某彩票中奖的概率为,则买10 000张这种彩票一定能中奖”是必然事件
C.“实数的绝对值不小于零”是必然事件
D.“将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和大于7”是随机事件
4.在10名学生中,男生有x名,现从这10名学生中任选6名参加某项活动,有下列事件:①选出的学生中至少有1名女生;②选出的学生中有5名男生,1名女生;③选出的学生中有3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x的值为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.3或4　　　　D.5或6
5.(2023辽宁东北育才学校月考)对满足A B的非空集合A,B,有下列四个命题:
①“若x A,则x∈B”是必然事件;
②“若x A,则x∈B”是不可能事件;
③“若x∈B,则x∈A”是随机事件;
④“若x B,则x A”是必然事件.
其中正确命题的个数为(　　)
A.4　　　B.3　　　　
C.2　　　D.1
题组三　样本点及样本空间
6.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是(　　)
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
7.(2023湖南长沙实验中学期末)为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为(　　)
A.3　　　B.5　　　　
C.6　　　D.9
8.先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一枚,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是(　　)
A.至少有一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上
9.某棋类游戏的规则如下:棋子的初始位置在起点处.玩家每掷出一枚骰子,朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3,则走到炸弹所在位置),若踩到炸弹则返回起点重新开始,若走到终点则游戏结束.已知小明掷完三次骰子后,最后一步踩在终点,游戏恰好结束,则所有不同的情况种数为　　　　.
10.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果记为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点 “x<3且y>1”呢
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
题组四　随机事件的含义及应用
11.袋中有10个球,其中白球9个,黑球1个,这10个球除颜色以外完全相同.
(1)试验E1:从中有放回地依次摸取一个球,一共摸取10次,记录摸到黑球的次数.如果用k表示“摸到黑球的次数”这个结果,请指出下列随机事件的含义:
①事件A={0};②事件B={10};③事件C={6,7,8,9,10};④事件D={0,2,4,6,8,10};⑤事件E={0,1,2,3,4};⑥事件F={5};
(2)试验E2:从中有放回地依次摸取一个球,直到摸到的球是黑球为止,记录摸球的次数.如果用m表示“直到摸到的球是黑球为止,共摸取的次数”这个结果,请指出下列随机事件的含义:
①事件G={1};②事件H={10};③事件I={6,7,8,9,10,…};④事件J={1,2,3,4}.
12.一边长为2的正三角形ABC如图所示,三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,从A,B,C,D,E,F这6个点中任取4个点,记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件,并指出样本点的个数.
(1)事件J表示随机事件“选取的4点能构成平行四边形”;
(2)事件K表示随机事件“选取的4点能构成梯形”;
(3)事件L表示随机事件“选取的4点不能构成四边形”.　　
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
1.1　随机现象　1.2　样本空间　1.3　随机事件
基础过关练
1.D
2.BCD　当x≥0时,x-|x|=0;当x<0时,x-|x|=2x<0,所以x-|x|不可能等于2,故A不是随机现象.由随机现象的定义知B,C,D均是随机现象.
3.B　在标准大气压下,水加热到100 ℃才会沸腾,所以A中事件是不可能事件;
某彩票中奖的概率为,仅代表中奖的可能性大小,所以买10 000张这种彩票不一定能中奖,即B中事件不是必然事件;
实数的绝对值不小于零,所以C中事件是必然事件;
将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和最小为2,最大为12,故“将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和大于7”是随机事件.故选B.
4.C　由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,∴x=3或x=4.
5.C　对于①②,当A B时,显然存在满足x A,x∈B的元素,因此“若x A,则x∈B”是随机事件,故①②错误;
对于③,当A B时,“若x∈B,则x∈A”可能成立,也可能不成立,是随机事件,故③正确;
对于④,因为A B,所以“若x B,则x A”一定成立,是必然事件,故④正确.
故正确的命题有2个.故选C.
6.D　
7.C　由题意得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个,故选C.
8.A　至少有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”3个样本点,故A符合题意;只有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”2个样本点,故B不符合题意;两枚硬币都正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”1个样本点,故C不符合题意;两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”2个样本点,故D不符合题意.故选A.
9.答案　21
解析　设小明掷三次骰子的点数为(x,y,z),x,y,z∈{1,2,3,4,5,6},则符合题意的情况有(3,4,5),(3,5,4),(3,6,3),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),(6,1,2),(6,2,1),共21种.
名师点拨　用列举法写试验结果时,首先明确事件发生的条件,再根据题意,按一定的次序列举,才能保证没有重复,也没有遗漏.
10.解析　(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)由(1)知,这个试验的样本点总数为16.
(3)事件“x+y=5”包含4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);事件“x<3且y>1”包含6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)事件“xy=4”包含3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);事件“x=y”包含4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
11.解析　(1)试验E1的样本空间Ω1={0,1,2,3,…,9,10},样本点的个数为11.
①事件A={0}的含义为10次摸到的全为白球,没有摸到黑球.
②事件B={10}的含义为10次摸到的全为黑球,没有摸到白球.
③事件C={6,7,8,9,10}的含义为摸到黑球的次数至少为6.
④事件D={0,2,4,6,8,10}的含义为摸到黑球的次数为偶数.
⑤事件E={0,1,2,3,4}的含义为摸到黑球的次数至多为4.
⑥事件F={5}的含义为5次摸到白球,5次摸到黑球.
(2)试验E2的样本空间Ω2={1,2,3,4,5,…},样本点有无穷多个.
①事件G={1}的含义为第1次就摸到黑球,摸球进行了1次.
②事件H={10}的含义为前9次摸到的球都是白球,直到第10次才摸到黑球,摸球进行了10次.
③事件I={6,7,8,9,10,…}的含义为前5次摸到的球都是白球,摸球至少进行了6次.
④事件J={1,2,3,4}的含义为至多需要4次即可摸到黑球,摸球至多进行了4次.
12.解析　样本空间Ω={ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF},样本点的个数为15.
(1)事件J={ADEF,BDEF,CDEF},样本点个数为3.(2)事件K={ABEF,ACDE,BCDF},样本点个数为3.(3)事件L={ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ACDF,ACEF,BCDE,BCEF},样本点的个数为9.
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