2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--1.2 利用二分法求方程 的近似解（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第一册
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　二分法的概念及适用条件
1.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是(　　)
2.(2024安徽皖北六校期末联考)用二分法求函数f(x)=3x-2-1的零点时,初始区间可选为(　　)
A.[-1,0]　　　　B.[0,1]　　　　C.[1,2]　　　　D.[2,3]
3.(多选题)(2024陕西宝鸡期末) 用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在(1.25,1.5)上有零点
B.已经达到精确度,可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度,应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度,应该接着计算f(1.437 5)
4.(2024福建莆田第二十五中学期末)若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第三次取区间的中点x3=　　　　.
题组二　用二分法求函数零点的近似值
5.(2023黑龙江哈尔滨师大附中期中)用二分法求方程3x=8-3x在(1,2)内的近似解时,记f(x)=3x+3x-8,可得f(1)<0, f(1.25)<0, f(1.5)>0, f(1.75)>0,据此判断,方程的根所在的区间是(　　)
A.(1,1.25)　　　B.(1.25,1.5)
C.(1.5,1.75)　　　D.(1.75,2)
6.(2023河北唐山第一中学月考)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题不正确的是(　　)
A.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
7.已知用二分法计算函数f(x)=x3+2x-8的零点时,其附近的函数值参考数据如下表所示:
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.687 5
f(x) -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18
则方程x3+2x-8=0的近似解可为(精确度为0.1)(　　)
A.1.50　　　　B.1.66　　　　C.1.70　　　　D.1.75
8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f =0时,函数f(x)的零点x0是　　　　.
9.已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用二分法求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是　　　　.此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε,则可用作为零点的近似值,由此求得x0=　　　　.
10.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
题组三　二分法思想的应用
11.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
12.为防范某种病毒的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
13.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,应如何迅速查出故障所在
答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.C　在A和D中,函数虽有零点,但这些零点均是不变号零点,因此都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是一条连续的曲线,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中图象对应的函数能用二分法求零点.
2.A　f(-1)=->0,则f(-1)·f(0)<0,即初始区间可选[-1,0].故选A.
3.AD　对于A,f(1.25)f(1.5)<0,由零点存在定理知,函数f(x)=x3+x2-2x-2在(1.25,1.5)上有零点,故A正确;
对于B,1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度,故B错误;
对于C、D,没有达到精确度,=1.437 5,所以应该接着计算f(1.437 5),故C错误,D正确.故选AD.
4.答案　
解析　设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
∴第一次取区间(0,1)的中点x1=,
f<0, f·f(1)<0,∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第二次取区间的中点x2=,
f·f<0,∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第三次取区间的中点x3=.
5.B　因为y=3x与y=3x-8在R上均单调递增,所以f(x)=3x+3x-8在R上单调递增,
因为f(x)的图象连续不断,f(1.25)<0, f(1.5)>0,所以f(x)在(1.25,1.5)上有唯一零点x0,即+3x0-8=0,故=8-3x0,所以方程的根落在区间(1.25,1.5)内,且为x=x0.故选B.
6.C　对于A,令f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A中命题正确;
对于B,令f(1)>0,f(2)<0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B中命题正确;
对于C,已知f(0)>0,若函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(2,3)内,则必有f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,故C中命题错误;
对于D,如果函数f(x)的两个零点都在区间(1,2)内,f(0)>0,那么必有f(1)>0,f(2)>0,进而有f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,所以函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内,故D中命题正确.
故选C.
7.B　由题表可知函数的零点在区间(1.625,1.687 5)内,结合选项知方程的近似解可为1.66,故选B.
8.答案　
解析　因为f =0,所以函数f(x)的零点是.
9.答案　5;
解析　开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n(n∈N+)次操作后,区间长度变为,故有<0.05,即2n>20,因为24=16,25=32,所以n≥5.
故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5.
f(0)=-1<0,f(1)=2>0.
因为f <0,所以第一次得到的区间为;
因为f >0,所以第二次得到的区间为;
因为f >0,所以第三次得到的区间为;
因为f <0,所以第四次得到的区间为;
因为f >0,所以第五次得到的区间为.
因为<0.05,所以函数零点为.
10.解析　作出y=-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=-1的图象可知,方程lg x=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-+1, f(1)=>0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
(0.5,0.562 5) 0.062 5
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=-1的近似解为0.562 5.
11.解析　(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符.
故a≠0,则易得f(x)在(-1,1)上是单调连续函数,
∵f(x)在区间(-1,1)上有一个零点,
∴f(-1)·f(1)=-4(6a-4)<0,解得a>,
故实数a的取值范围为.
(2)若a=,则f(x)=,
∵f(-1)=-4<0, f(0)=-<0, f(1)=>0,
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上,
又f =0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.
12.C　第1次检验:32人均分为两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人均分为两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人均分为两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人均分为两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:任意检验其中的1人,若该人检测结果为阴性,则另一个人感染,若该人检测结果为阳性,则该人感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要进行的检测次数为5.故选C.
13.解析　如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段的中点E检查,……,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,这样即可迅速找到故障所在.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)